巧妙建模多题归一.ppt

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1、巧妙建模 多题归一,两点之间线段最短的应用,鲁迅外国语学校 寿杏娟,古罗马有一位将军，他每天都要从营地A出发，到河边给马饮水，再到河岸同侧的指挥所B处开会。他经常想一个问题：应该沿怎样的路线行走才能使路程最短？请你帮他想一想，并画出最短的路线。,地位分析,上题要用到的基本知识是两点之间线段最短，这是数学的基本公理，可谓人尽皆知，但一旦要运用它来解题，学生往往一脸茫然，不知从何做起。上题其实体现了数学建模思想，本质上是要培养学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力。,变式1 背景为直角坐标系一束光线从y轴上的点A（0，2）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（6，6），则光线从点A 到点B所经过的路

2、程是（）A.10 B.8 C.6 D.4,A,A,D,C,变式2,例:(08黄岩)如图,已知在等腰ABC 中,ABC=1200,P是底边AC上的一个动点,M、N分别是AB、BC的中点,若PM+PN的最小值为2，求 ABC的周长.,M,P,背景为等腰三角形,2.正方形ABCD的周长为8,点E是线段AB的中点,点P是对角线AC上的一个动点,求PE+PB的最小值。,变式3 背景为正方形,3.如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，M、N分别是AB，BC边上的中点，PM+PN的最小值是(),P,变式4 背景为菱形,4.在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=AD=1，B=60，直线MN

3、为梯形ABCD的对称轴，P 为MN上一点，那么PC+PD的最小值为 多少？,说明：此题即求AC的长。,P,变式5 背景为等腰梯形,5.如图，AB是O的直径，OC是O的半径，OCAB，OC=1，点D在圆上，AD=2DC，点P是半径OC上的一个动点，那么AP+PD的最小值是(),P,变式6 背景为圆,x,y,3,6,2,-2,-3,在反比例函数 上有两点A(3,2),B(6,1)，在直线 y=-x 上有动点P,那么当PA+PB最小时，求P点的坐标.,A,B,A,P,变式7,背景为双曲线,例:(09衢州)如图已知点A（-4，8)和点B（2，n）在抛物线y=ax2上.,（1）求a的值及点B关于X轴对称

4、点P的坐标,并在X轴上找一点Q，使得+最短，求点的坐标；,Y 8642,x,.,变式五,背景为抛物线,Y 8642,.,.,A,(2)平移抛物线y=ax2，记平移后点的对应点为,点的对应点为，点(-2,0)和点(-4,0)是x轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，最短，求此时抛物线的函数解析式；,x,.,-4-2 0 2 4,.,B,.,A,变式六,例:(08成都)如图,已知点A是锐角MON内的一点,试分别在OM,ON上确定点B、点C，使ABC的周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点(要求画出草图,保留作图痕迹),M,O,N,A,A,A,B,C,逆向应用,在平面直角坐标系中，有

5、A（3，-2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n等于多少时，AC+BC的值最小。,C,B,综合提升1,如图，在直角坐标系中，有四个点A（-8，3），B（-4，5），C（0,n），D（0,m），当四边形ABCD的周长最短时的值为.,说明：此题可转化为求何时BC+DC+AD最小.即当点A关于x轴对称点A，B关于y轴的对称点B，与D，C在 同一直线上时。,综合提升2,链接中考,（2008年恩施自治州）如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作ABBD,EDBD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.(1)用含x的代数式表示ACCE的长；(2)请问点C满足什么条件时,ACCE的值最小?,(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式 的最小值.,链接中考,链接竞赛,求代数式 的最小值。,说明：转化为 即可,1、引导学生找到对称轴和三个点，三点在同一直线上时就是最短路线。2、以上求最短路线的问题都要求学生能把不同的问题抽象为同一类型，即构建数学模型。3、在教学中不但要培养学生一题多解的能力，还应积极培养学生多题归一的能力。,小结,