习题课68多元微分学的应用.ppt

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1、机械1509 1510 没交作业名单:,2.求函数,在抛物线,x轴正向的切线方向的方向导数.,解:将抛物线用参数方程表示为,它在点(1,2)的切线方向为,上点(1,2)处,沿,着这抛物线在该点处偏向,2.求函数,在抛物线,x轴正向的切线方向的方向导数.,解:先求切线斜率：在,它在点(1,2)的切线方向为,上点(1,2)处,沿,着这抛物线在该点处偏向,两端分别对x求导，得,求可微函数最大值和最小值的一般方法：,（1）求函数在 D 内的所有驻点；,（2）求函数在 D 的边界上的最大值和最小值；,（3）将函数在所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的 最大值和最小值相比较，最大者就是函数在 D 上 的

2、最大值，最小者就是最小值。,在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最 大或最小值存在且一定在 D 的内部取得，而函数在 D 内只有一个驻点，则该驻点就是函数在 D 上的最大或 最小值点。,解,如图,得,在边界,和在边界,上,第九章,习题课,三、多元函数微分法的应用,多元函数微分法的应用,一、基本概念,连续性,偏导数存在,方向导数存在,可微性,1.多元函数的定义、极限、连续,定义域及对应规律,判断极限不存在及求极限的方法,函数的连续性及其性质,2.几个基本概念的关系,偏导数连续,二、多元函数微分法,显示结构,隐式结构,1.分析复合结构,(画变量关系图),自变量个数=变量总个数 方程总个数,

3、自变量与因变量由所求对象判定,2.正确使用求导法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,注意正确使用求导符号,3.利用一阶微分形式不变性,三、多元函数微分法的应用,1.在几何中的应用,求曲线的切线及法平面,(关键:抓住切向量),求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量),2.极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法),求解最值问题,3.在微分方程变形等中的应用,最小二乘法,1)近似计算,2)几何应用,几何应用,曲线切线(法平面),曲面切平面(法线),一、内容小结：,多元微分学的应用,曲线：参数方程情形,切线：,法平面：,一般方程情形,切线：,法平

4、面：,也可表为,法平面方程,则曲线在该点的切线可以看作两曲面在该点切平面的交线：,一般方程,若,另：,曲面：,该曲面上，则相应的切平面：,法线：,曲面方程：，点 在,称之为函数在l 方向上的增量。,如果极限,存在,射线l的参数方程为,则称此极限为 f(x,y)在点 处沿方向 l 的方向导数。,记为,3)方向导数与梯度,其中 为 轴正向到方向 的转角,二元函数的方向导数,其中 是方向 l 的方向余弦.,三元函数的方向导数,梯度,注：梯度方向为方向导数取最大值的方向,或者,函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.,同样,的等值面(等量面).,当其各偏导数不同,其上点 P 处的法向量为

5、,称为,时为零时,则,上点P 处的法向量为,4)极值问题,必要性：可导的极值点是驻点,充分性：,则,时，极小值；,时，极大值；,时不能确定；,时 非极值,(1)无条件极值,(2)条件极值,方法：,最后对方程组的解进行讨论而得到所求极值,构造Lagrange函数,单条件极值 求函数 在条件,下的条件极值,解方程组,方法：,解方程组,构造Lagrange函数,两条件极值,下的条件极值,最后对方程组的解进行讨论而得到所求极值,求函数 在条件,(3)函数的最大值和最小值求函数在有界区域上的最大值和最小值的方法 1.求出该函数在内的所有驻点和偏导数不存在的点的函数值，2.求出在边界上可能的最大值最小值,

6、3.比较大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值。在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定驻点是否是最值点。,1.选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:,设函数 z=f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义,且,函数f(x,y)在点(0,0)处的两个偏导数存在,不一定可微.,则有_.,P133 题2,解:,取x为参数,故(C)正确.,2.(),选择题,解:,平面的法向量,曲线的切向量:,3.若z=f(x,y)在(x0,y0)处取得极大值,则g(y)=f(x0,y)在y0处一定有(),A.g(y)在y0取得最大值;B.g(y)在y0取得极大值,C.y0是g(y)的驻点 D.以上都不

7、对.,1314 ABC,3.若 f(x0,y)及 f(x,y0)在(x0,y0)都取得极值,则f(x,y)在(x0,y0)处(),A.不一定取得极值;B.取得极值;C.取得最值.D.取不到极值,不一定取得极值.,例如,在,不取极小值.,此时,取极小值;,在,当,时,分析:,当,时,取极小值;,在,令,A.不一定取得极值;B.取得极值;C.取得最值.D.取不到极值,不一定取得极值.,例如,在,不取极值.,但,取极大值;,在,当,时,分析:,当,时,取极小值;,在,3.若 f(x0,y)及 f(x,y0)在(x0,y0)都取得极值,则f(x,y)在(x0,y0)处(),则(0,0)(),(A).不

8、是f(x,y)的连续点;(B).不是f(x,y)的极值点;(C).是f(x,y)的极小值点.(D).是f(x,y)的极大值点,分析:,4.,设函数,的全微分为,令,得驻点(0,0).,在点(0,0)处,为极小值;,5.设函数,在,处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型,分析 这是二元函数求极值的反问题，即已知,取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题,解：,因为,可微,故,必为驻点，则有,因此有,，即,1112B,5.设函数,在,处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型,在点,为极小值.,求二阶偏导数,解：,处,即,解:令,切平面方程,法线方程,法向量,7在椭球面

9、 上求一点，使函数,在该点沿方向,的方向导数为最大,解:,设,为椭球面,上任一点，,问题归结为求,在条件,下的最大值.,设拉格朗日函数,解方程组,7在椭球面 求一点，使函数,在该点沿方向,的方向导数为最大,得驻点,得驻点,在点,的方向导数为最大,沿方向,由已知条件可知本题的最大值与最小值一定存在.,而且,解:,由方向导数的计算公式知,P133 题15,故,例1.,例2.求函数,在椭球面,解:,的方向导数.,沿外法线方向,对于封闭的曲面，上述两个法向量中，一个指向曲面的外侧，另一个则指向曲面的内侧。,设,则椭球面上任意一点 P(x,y,z)处的法向量可取为,指向外侧，称为外法线方向向量,指向内侧

10、，称为内法线方向向量,上点,处,P134 题16,解:,例2.求函数,在椭球面,的方向导数.,沿外法线方向,上点,处,椭球面在点 处的一个外法线方向向量,例3.在第一卦限作椭球面,的切平面,解:设,切点为,则切平面的法向量为,即,切平面方程,使其与三坐标面所围的四面体体积最小,并求切点和最小体积.,P134 题18,问题归结为求,在条件,下的最小值.,设拉格朗日函数,切平面在三坐标轴上的截距为,所围四面体的体积,V 最小等价于 f(x,y,z)=x y z 最大,令,由此问题的性质知,为所求切点.,得唯一驻点,四面体的最小体积为,上求一点,使该点处的法线垂直于,在曲面,并写出该法线方程.,解:

11、设所求点为,曲面的法向量,利用,得,平面,法线垂直于平面,点在曲面上,P134 题14,则法线方程为,所以法线方程为,例4.,例4.抛物面 被平面 截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离。,分析：设 为椭圆上任一点,则 到原点的距,.又 点既在抛物面上,又在已知平面上,故本题可转化为求目标函数 在约束条件,及 下的最大值和最小值。,可用拉格朗日乘数法求解。,解：设 椭圆上任一点，则它到原点的距离为,下面求 在约束条件,及 下的最值.,离为,P121 题11,解方程组,得两个驻点,由题意可知这种距离的最大值与最小值一定存在；而驻点只有两个,故最大值、最小值一定在这两个驻点处取得。,由于,故最

12、长距离为,最短距离为,作拉格朗日函数,P92,证明:隐函数求导法,P92 11,解法2 复合函数求导法.,因为 t 是由方程,当,(1),将上面的两个式子代入(1),得,时,确定的 x,y 的隐函数,故,P89,解法3 微分法.,对各方程两端分别求全微分,得,由(2),得,当,(2),(1),乘以(1)两端,并以(3)式代入,得,(3),时,P131 题11 设,求,解:,P131 题11,其中 f 具有连续的二阶偏导数.,这里 仍是以u,x,y 为中间变量的函数,且与函数 f 有相同的复合结构,故对它们求偏导要按复合函数求导法则.,P131 题12 设,求,解:,利用行列式解出,两端对x求导

13、，得,P131 题12,上式中的第一式乘 第二式乘 两式相减，,得,上式中的第一式乘 第二式乘 两式相加，,得,同理可得,因此,P131 题12 设,求,提示:,利用行列式解出 du,dv：,代入即得,代入即得,四、应用题,7.,求函数,解:第一步 求驻点.,得驻点:(0,0),(0,2),(1,1),(1,1).,第二步 判别.,在点(0,0)处,为极大值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,在点(1,1)处,不是极值;,在点(0,2)处,为极小值.,在点(1,1)处,不是极值;,例4.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解:设,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结为求,作

14、拉格朗日函数,到平面,在条件,下的最小值.,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值一定存在,且有唯一驻点,故,2.设,均可微,且,在约束条件(x,y)0下的一个极值点,已知(x0,y0)是 f(x,y),下列选项正确的是(),提示:设,(),代入()得,D,(2006考研),例3.设,有二阶连续偏导数,且,求,解:,例10.设,其中 f 与F分别具,解法1 方程两边对 x 求导,得,有一阶导数或偏导数,求,(1999 考研),解法2,方程两边求微分,得,化简,消去 即可得,作业,P130 5，6，10，15，17,应用题（每小题10分，共20分）6.求旋转抛物面,上垂直于直线,的切平面方程.,解:,设 为,此点的法向量,设,切平面方程为,已知直线的方向向量,曲面上的切点,依题意,得,1213B,应用题（每小题10分，共20分）6.求旋转抛物面,上垂直于直线,的切平面方程.,解:,得,所以所求的切平面方程为,即,1213B,注:已知直线的方向向量也可以按下面的两种方式求,1.把 y,z,看成是x,的函数，在各个方程两端对x求导,解得,则方向向量,2.令,直线的方向向量,