多项式矩阵理论.ppt

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1、05级研究生线性系统理论教案,第六章 数学基础：多项式矩阵理论,一些基本概念（6.1,6.2,6.3,6.4,6.5,6.6)多项式：多项式矩阵：元为多项式的矩阵注1：多项式的集合不构成域，是环；因其对乘逆运算不封闭；注2：扩展成包括所有有理分式，则构成有理分式域，记为R(s)。总是在有理分式域内讨论多项式矩阵和有理分式矩阵。,04级研究生线性系统理论教案,奇异和非奇异：对方多项式矩阵而言，Q(s)线性相关和线性无关：对象是有理分式域中的一组多项式向量,04级研究生线性系统理论教案,注意：,04级研究生线性系统理论教案,秩：与通常矩阵秩的定义相同,04级研究生线性系统理论教案,单模矩阵：一类特

2、殊的多项式矩阵 方阵，非奇异 方多项式矩阵Q(s)，若detQ(s)是独立于s的一个非零常数，则称其为单模矩阵。性质：（1）Q(s)为单模阵Q(s)的逆也是多项式矩阵；（2）Q(s)为单模阵Q(s)非奇异；（3）单模矩阵的逆阵也是单模矩阵；（4）单模矩阵的乘积也是单模矩阵。初等变换：（1）行（列）交换；（2）用一非零实或复数乘以某行或列；（3）用某行（列）乘以一个多项式加到另一行（列）上。,04级研究生线性系统理论教案,注：（1）初等行（列）变换初变换的矩阵Q(s)左乘（右乘）初等矩阵；（2）初等矩阵都是单模矩阵；（3）对Q(s)进行一系列初等变换，相当于Q(s)左乘和（或）右乘单模矩阵；（4

3、）单模矩阵可以分解成同维的初等矩阵的乘积，反之，初等矩阵的乘积为同维的单模矩阵。,04级研究生线性系统理论教案,6.7埃尔米特形,多项式矩阵的规范形之一。Hermite形的特征，见书；化为Hermite的算法：只通过一系列的行初等运算即可化为行Hermite形，即性质：对多项式矩阵做行（列）初等运算，不改变其Hermite形,04级研究生线性系统理论教案,6.8公因子和最大公因子,一.公因子的定义相同列数的两个多项式矩阵间可以定义右公因子(是多项式矩阵).假定N(s)和D(s)列数相同,若 则R(s)称为N(s)和D(s)的右公因子.相同行数的两个多项式矩阵间可以定义左公因子(是多项式矩阵).

4、假定B(s)和A(s)行数相同,若 则Q(s)称为B(s)和A(s)的左公因子.,04级研究生线性系统理论教案,二.gcd(最大公因子)的定义gcrd:(1)R(s)是N(s)和D(s)的一个右公因子;(2)R(s)是N(s)和D(s)的任一个其它右公因子R1(s)的左倍式,即R(s)=W(s)R1(s)则称R(s)是N(s)和D(s)的gcrd.gcld:(1)Q(s)是B(s)和A(s)的一个左公因子;(2)Q(s)是B(s)和A(s)的任一个其它左公因子R1(s)的右倍式,即Q(s)=Q1(s)V(s)则称Q(s)是B(s)和A(s)的gcld.,04级研究生线性系统理论教案,三.如何求

5、gcd 以gcrd为例.,04级研究生线性系统理论教案,Why:,04级研究生线性系统理论教案,04级研究生线性系统理论教案,三.Gcd 的性质以gcrd为例(1)gcrd不唯一.若R(s)是D(s)和N(s)的gcrd,W(s)是单模矩阵,则W(s)R(s)也是D(s)和N(s)的gcrd.Why:,04级研究生线性系统理论教案,(2)D(s),N(s)的所有gcrd在非奇异性和单模性上相同,即 若R1(s)是D(s),N(s)的一个gcrd R2(s)也是D(s),N(s)的一个gcrd 则R1(s)非奇异R2(s)非奇异 R1(s)单模R2(s)单模(3)(4)gcrd R(s)可表示为

6、R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s)(5)gcrd的多项式元的次数可以高于D(s),N(s)元多项式的次数.,04级研究生线性系统理论教案,6.9 互质性,一.右互质和左互质D(s)和N(s)列数相同,可以定义gcrd.若gcrd为单模阵,则称D(s)和N(s)右互质.A(s)和B(s)行数相同,可以定义gcld.若gcld为单模阵,则称A(s)和B(s)左互质.二.右互质判据判据1:贝佐特等式判据D(s),N(s)右互质存在X(s),Y(s)多项式矩阵 使X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I,04级研究生线性系统理论教案,证明:必要性:已知D(s),N(s)右互质，证等式成立充分性

7、：等式成立，证D(s),N(s)右互质 令R(s)为D(s),N(s)的一个gcrd.只要证R(s)单模。,04级研究生线性系统理论教案,判据2：秩判据判据3：非右互质判据,04级研究生线性系统理论教案,三.Gcrd构造关系式的一个性质,04级研究生线性系统理论教案,6.10 列次数和行次数,一.次数多项式的次数：多项式向量的次数：所有元多项式中，s的最高幂次。多项式矩阵中，有列次数（列向量的次数）和行次数（行向量的次数）之分。,04级研究生线性系统理论教案,如,04级研究生线性系统理论教案,二.多项式矩阵的列（行）次表示式1.列次表示式 上例中的M(s)可表示为一般地，,04级研究生线性系统

8、理论教案,2.行次表示式,04级研究生线性系统理论教案,6.11 既约性,一.既约性的定义此处是对非奇异多项式矩阵定义的，方阵（可推广至非方）。M(s)列既约：M(s)行既约：注：列既约和行既约之间无必然的联系；M(s)为对角阵时，列既约等价于行既约。二.既约性判据如果已求出detM(s),则可利用定义判断；利用列（行）次表示式,04级研究生线性系统理论教案,三.非既约矩阵的既约化 通过左乘或右乘单模矩阵，即行（列）初等变换实现既约化。实质：降低行或列的次数含义：在初等运算下，degdetM(s)不变。实现既约化以后，次数不能被降低了。,04级研究生线性系统理论教案,6.12 Smith形,一.史密斯形的特征,04级研究生线性系统理论教案,特征：二.Smith形的求法 见书。三.对Smith形的一些讨论（1）对给定的多项式矩阵Q(s)，其Smith形唯一。（变换U(s),V(s)不唯一）,04级研究生线性系统理论教案,(2)若Q1(s)和Q2(s)具相同的Smith形，则称其在初等行和列运算下等价，记为 具有反身性，自反性，传递性等性质。(3)存在单模矩阵P(s),T(s)，使(4)若A,B同维，则四.Smith形的应用之一判断互质性,04级研究生线性系统理论教案,证明：右互质的情况,