多项式和数据分析.ppt

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1、第六讲 多项式 和数据分析,本讲教学目标 掌握多项式表达和创建方法 掌握多项式的运算 掌握多项式的拟合和插值 了解常用的数据分析的方法 了解傅里叶变换和应用,6.1 多项式多项式在数学中有着极为重要的作用，同时多项式的运算也是工程和应用中经常遇到的问题。MATLAB 提供了一些专门用于处理多项式的函数，用户可以应用这些函数对多项式进行操作。MATLAB 中对多项式的操作包括多项式求根、多项式的四则运算及多项式的微积分。,6.1.1 多项式的表示在MATLAB中多项式用一个行向量表示，向量中的元素为该多项式的系数，按降序排列。即用行向量 p=an an-1 a1 a0 表示 f(x)=anxn+

2、an-1xn-1+a0函数 y=poly2str(p,x)将多项式显示为一般形式，即期数学形式。即 y=anxn+an-1xn-1+a0,6.1.2 多项式的创建 1)直接用行向量创建P=1,3,4,5,6,7%创建一个5阶多项式2)利用函数ploy创建已知多项式的全部根，可用函数ploy建立多项式；也可用函数ploy求矩阵的特征多项式。,PPA=x3-15x2-24x+360,例：生成特征多项式M=magic(3);PM=poly(M);%A的特征多项式PPM=poly2str(PM,x),6.1.3 多项式的四则运算由于多项式是利用向量来表示，多项式的四则运算可以转化为向量的运算。(1)多

3、项式加、减对于次数相同的若干个多项式，可直接对多项式系数向量进行加、减的运算。如果多项式的次数不同，则应该把低次的多项式系数不足的高次项用零补足，使同式中的各多项式具有相同的次数。,(2)多项式乘多项式的乘法实际上是多项式系数向量之间的卷积运算。命令格式为：C=conv(A,B)(3)多项式除多项式的除法为乘法的逆运算，命令格式为：Q,r=deconv(A,B)。deconv是conv的逆函数，即有 A=conv(B,Q)+r。,例1：a(x)=x2+2x+3;b(x)=4x2+5x+6;c(x)=(x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=1 2 3;b=4 5 6;c=conv(a,b)c=

4、4.00 13.00 28.00 27.00 18.00 p=poly2str(c,x)p=4 x4+13 x3+28 x2+27 x+18 d=deconv(c,a)d=4.00 5.00 6.00,6.1.4 多项式的其他运算 函数roots(A)求多项式的根。A是多项式的系数。例2:a=1-11 7 7;r=roots(a)r=10.2505 1.2821-0.5326 p=poly(r)p=1.0000-11.0000 7.0000 7.0000,roots函数和poly 函数为功能互逆的两个函数。系数向量用行向量表示，根用列向量表示。,函数polyval(p,x)代数多项式求值。若

5、x 为一数值，则求在该点的值；若 x 为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其值。函数polyvalm(p,A)矩阵多项式求值。若 A 为方阵，以方阵为自变量求多项式的值。函数polyder(p)多项式微分。计算多项式 p 的导数。函数polyint(p)多项式积分。计算多项式p的积分。,例3：多项式的求值和求导。a=1,2,3,4;b=1,1;1,1;polyvalm(a,4)%同polyval(a,4)ans=112 polyval(a,b)%数组运算 polyvalm(a,b)%矩阵运算 polyder(a)ans=3 4 3,ans=10 10 10 10,ans=15 11 11

6、 15,6.1.5 多项式的拟合和插值 1）曲线拟合函数 polyfit 给出在最小二乘意义下最佳拟合系数，调用格式为：P,S=polyfit(X,Y,m)其中待拟合数据X,Y是等长向量，P是长度为m+1的m次多项式的系数向量，S为误差向量。在MATLAB中，用polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数，再用polyval函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。,例4：对中国1952年到1998年的国民总收入GDP的数据，用1、2、4和6阶多项式拟合，并将结果用图形表示出来。GDP的数据文件为 gdp.txt。,AA=load(e:datagdp.txt);x=AA(:,1);y

7、=AA(:,2);p1=polyfit(x,y,1)%用一阶多项式拟合p2=polyfit(x,y,2)%用二阶多项式拟合p3=polyfit(x,y,4)%用四阶多项式拟合p4=polyfit(x,y,6)%用六阶多项式拟合f1=polyval(p1,x);%计算一阶多项式的插值点f2=polyval(p2,x);%计算二阶多项式的插值点f3=polyval(p4,x);%计算四阶多项式的插值点f4=polyval(p4,x);%计算六阶多项式的插值点subplot(2,2,1),plot(x,y,.,x,f1,-),title(一阶图)subplot(2,2,2),plot(x,y,.,x

8、,f2,-),title(二阶图)subplot(2,2,3),plot(x,y,.,x,f3,-),title(四阶图)subplot(2,2,4),plot(x,y,.,x,f4,-),title(六阶图),2）多项式的插值多项式拟合不必点点通过给定的数据点，而插值建立的函数必须点点通过。,一维多项式插值基本语法为：y1=interp1(x,y,x1,method)x、y：等长的采样数据(横坐标和纵坐标)x1：待插值的位置method：采用的插值方法如下表。,例5：某观测站测得某日6:00时至18:00时之间每隔2小时的室内外温度()，用3次样条插值分别求得该日室内外6:30至17:30时

9、之间每隔2小时各点的近似温度()。h=6:2:18;%时间变量 t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30;X=6.5:2:17.5%欲插值点 Y=interp1(h,t,X,spline),二维多项式插值基本语法为：Z1=interp2(x,y,z,x1,y1,method)x、y：分别是描述两个参数的采样点z：与采样点对应的函数值x1,y1：两个向量或标量，描述欲插值的点z1：插值结果method：与一维插值函数相同。x1,y1的取值不能超出x,y的范围，否则会给出“NaN”错误，x,y,z也可以是矩阵。,例6：实验对一根长10米的钢轨进行热源的

10、温度传播测试，试用线性插值求出在一分钟内每隔20秒、钢轨每隔1米处的温度ti。其中，x：测量点，h：测量时间，T：所得各点的温度()。x=0:2.5:10;h=0:30:60;T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41;xi=0:10;hi=0:20:60;ti=interp2(x,h,T,xi,hi),6.2 数据分析 6.2.1 数据统计处理1）随机数的产生 均匀分布的随机数据的产生（unifrnd）指数分布的随机数据的产生（exprnd）二项分布的随机数据的产生（binornd）正态分布的随机数据的产生（normrnd）,例7：均匀分布的随机数据

11、的产生 unifrnd(1,4)ans=1.6971 unifrnd(1,10,4,4)ans=8.2438 1.4478 8.5948 4.9581 9.1756 1.7055 2.5651 4.0604 3.0870 6.7673 2.5371 3.8280 3.1538 2.7180 9.9487 4.2857,2）统计量的数字特征 最大值和最小值（max、min）求和和求积（sum、prod）累加和与累加积（cumsum、cumprod）平均值和中位数（mean、geomean）数据比较（sort、sortrows、range）期望和方差（mean、var）常见分布的期望和方差（uni

12、fstat、binostat）标准差、协方差与相关系数（std、cov、corrcoee）,例8：统计量的应用。x=1 8 4 2;9 6 2 5;3 6 7 1;y,l=max(x,1)%按列操作 y=9 8 7 5 l=2 1 3 2 y1=median(x)%按列操作,结果为行向量 y1=3 6 4 2 y2=median(x,2)%按行操作,结果为列向量 y2=3.0000 5.5000 4.5000,x=4 5 6;1 4 8;y=sum(x,1)y=5 9 14 y1=mean(x,2)y1=5.0000 4.3333 y2=prod(x,1)y2=4 20 48,3）傅立叶分析与

13、变换傅立叶分析可以将输入的波长进行变换，分离出各种不同的频率或者提取输入波长不同的数字特征。一般情况下，我们都是对连续的波进行离散化处理，得到一个离散的向量进行傅立叶变换。,例9：的著名例子 观测太阳黑子变化规律。已有 300 多年太阳黑子的数据 Wolfer number。并且也已经知道太阳黑子的变化周期是11年。本例用 fft 方法对该时间序列进行变换，并进行周期特征的提取。load sunspot.dat%读入太阳黑子数据 year=sunspot(:,1);wolfer=sunspot(:,2);plot(year,wolfer)title(300年的太阳黑子数据图),可以看出太阳黑子

14、是呈周期性变化的，初步观察它的周期是在1012年之间。为得出更精确的周期，我们进行序列的特征提取，即进行fft变换。Y=fft(wolfer)变换后Y元素为复数。,为寻找最大周期，先求Y元素的模平方，记power，建立周期和power的图形，然后找出周期。N=length(Y);Y(1)=;power=abs(Y(1:N/2).2;nyquist=1/2;freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;period=1./freq;plot(period,power),grid on,axis(0 40 0 2e7)ylabel(Power)xlabel(Period(Years/Cycle)title(周期提取示意图),从图中可知power最高点处周期的值大约为11年。为精确起见，我们来搜索最高点处的周期值。mp,index=max(power);period(index)ans=11.0769%即周期为 11.0769年,本节完，谢谢！,