利用平方根概念解方程式.ppt

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1、,例1,利用平方根概念解方程式,解下列各一元二次方程式。x225(x3)216,解,由 x225 得 x 是 25 的平方根，25 的平方根是 和，因此 x 5 或 x 5，所以原方程式的解為 5 和 5。,將 x3 當作一個數，則 x3 是 16 的平方根，16 的平方根是 4，所以 x34，也就是 x34 或 x34，得到 x1 或 x7，所以原方程式的解為 1 和 7。,解下列各一元二次方程式。25x281(x4)225,所以原方程式的解為 和。,x4 5x45，x9 或 x1所以原方程式的解為 9 和1。,例2,先移項再利用平方根概念解方程式,解下列各一元二次方程式。(x7)230。4

2、(2x3)2626,解,例2,先移項再利用平方根概念解方程式,解下列各一元二次方程式。(x7)230。4(2x3)2626,解,解下列各一元二次方程式。(x3)2230 2(4x5)2153,(x3)223，x3，x3，所以原方程式的解為 3。,(4x5)29，4x53，x，x2 或 x，所以原方程式的解為2 和。,如果 x2mx32 可以配成完全平方式，那麼 m 是多少？,例3,配方法,分別找出適當的數填入中，使下列各式變成完全平方式。x212x x25x x2 x,解,的值等於 x 項係數一半的平方，所以()26236，因此 x212x36(x6)2。,的值等於 x 項係數一半的平方，所以

3、()2，因此 x25x(x)2。,的值等於 x 項係數一半的平方，所以()2()2，因此 x2 x(x)2,分別找出適當的數填入空格中，使下列各式變成完全平方式。x218x(x)2 x26x(x)2 x215x(x)2 x2 x(x)2,x218x81(x9)2,81,9,()2(3)29x26x9(x3)2,9,3,例4,利用配方法解 x2 項係數為 1 的方程式,解下列各一元二次方程式。x22x20 x2x1,解,例4,利用配方法解 x2 項係數為 1 的方程式,解下列各一元二次方程式。x22x20 x2x1,解,所以原方程式的解為,等號兩邊同加()2()2,解下列各一元二次方程式。x21

4、0 x3 x225x,x210 x52352(x5)222x5x5所以原方程式的解為 5。,x25x2x25x()22()2(x)2，x x 所以原方程式的解為。,例5,利用配方法解 x2項係數不為 1 的方程式,解下列各一元二次方程式。3x25x10 2x23x10。,解,3x25x10,所以原方程式的解為,例5,利用配方法解 x2項係數不為 1 的方程式,解下列各一元二次方程式。3x25x10 2x23x10。,解,2x23x10,所以原方程式的解為,解下列各一元二次方程式。2x211x20 2x27x10,所以原方程式的解為。,所以原方程式的解為。,例6,利用配方法解常數項係數較大的方程

5、式,解一元二次方程式 x24x3960。,解,x24x3960 x24x396x24x2239622(x2)2400 x2 20 x220，x22 或 x18所以原方程式的解為 22 和18。,移項,等號兩邊同加()222,解一元二次方程式 x26x891。,x26x891x26x9900(x3)2900 x330 x330 x33 或 x27所以原方程式的解為 33 和27。,例7,已知兩根求原一元二次方程式的係數,以配方法解一元二次方程式 3x210 xa0，可得，則 a的值是多少？,想法,解,可先利用移項法則將 寫成等號一邊有根式，另一邊沒有根式的形式，再將等號兩邊同時平方就可找到滿足此

6、解的一元二次方程式。,與 3x210 xa0 比較係數可得 a。,以配方法解一元二次方程式 2x22xb0，可得，則 b 的值是多少？,與 2x22xb0 比較係數可得 b5。,將x25x40 等號兩邊同乘以1，再利用上述公式求解，與直接將x25x40 的各項係數代入上述公式，所求得的解是一樣的嗎？,將 x25x40 等號兩邊同乘以 1 得 x25x40，,則 x,，所以 x4 或 x1。,而x25x40 的公式解為 x,所以 x4 或 x1。,因此兩種方法所求得的解是相同的。,利用判別式判別下列各方程式解的情形。4x22x 0 2x29x50 x2x10,令 a4、b2、c2244 0即方程

7、式的兩根相等。,令 a2、b9、c5(9)2425410即方程式有兩個相異的根。,令 a1、b1、c11241130即方程式無解。,例8,利用公式解求 x2 項係數為正的方程式,利用公式解求一元二次方程式 5x213x70 的解。,解,令 a5、b13、c7得 b24ac(13)2457169140290故方程式的兩根為 x,即 或，,所以方程式的兩根為 和。,利用公式解求下列各一元二次方程式的解。x28x120 3x25x7,令 a1、b8、c12b24ac824112160,令 a3、b5、c7b24ac5243(7)1090,例9,利用公式解求 x2 項係數為負的方程式,利用公式解求一元

8、二次方程式4x22x50 的解。,解,令 a4、b2、c5得 b24ac224(4)5840,故方程式的兩根為 x,即 或，,所以方程式的兩根為 和。,利用公式解求下列各一元二次方程式的解。2x27x50 11x23x2,令 a2、b7、c5b24ac(7)24(2)5 890,3x211x20令 a3、b11、c2b24ac 1124(3)(2)970,例10,已知方程式有重根，求未知數,已知 m0 且一元二次方程式 x2mx5m110 有重根，求 m 之值。,解,因為方程式有重根，所以 b24acm241(5m11)0m220m440(m22)(m2)0m22 或 m2(不合)所以 m22

9、。,已知 m0 且一元二次方程式 x2(m1)x3m60 有重根，求 m 之值及此方程式的解。,因為方程式有重根，所以 b24ac(m1)241(3m6)0m210m250，(m5)20，m5(重根)所以 m16，3m63569原方程式為 x26x90，(x3)20，x3(重根)。,1,利用平方根概念解一元二次方程式,可以利用平方根的概念，解形如 x2k(k 0)及 a(xb)2c(ac0)的一元二次方程式。例 x225，x 5，所以原方程式的解為 5 和5。2(x3)216，(x3)28，x3 2，x32，所以原方程式的解為32。,2,將 x2mx 加上適當常數項化成完全平方式,將形如 x2

10、mx 的式子加上 x 項係數一半的平方，可以配成完全平方式。例 x214x()2x214x72(x7)2,3,利用配方法解一元二次方程式,利用配方法解一元二次方程式的步驟歸納如下：先整理方程式為 ax2bxc，a0 的形式。利用等量公理使 x2 項的係數變為 1。等號兩邊同時加上一次項係數一半的平方。等號左邊配成完全平方式。利用平方根概念解出 x。,例 3x26x60 3x26x6 x22x2 x22x()2 2()2(x1)23 x1 x1,4,一元二次方程式的公式解,當 a0 且 b24ac 0 時，一元二次方程式 ax2bxc0 的公式解為,例 解 x26x30 時，令 a1，b6，c3

11、，,利用公式解可得,解2x25x10 時，令 a2，b5，c1，,利用公式解可得,5,一元二次方程式 ax2bxc0(a0)解的情形,當 b24ac0 時，此方程式的解為,例 2x210 x50，b24ac600，,當 b24ac0 時，此方程式的解為(重根)。,例 4x28x40，b24ac0，x 1(重根)。,當 b24ac0 時，此方程式無解。,例 x22x20，b24ac40，此方程式無解。,1,已知下列各式都是完全平方式，試求出 b、c 的值。bx230 x9 9x2cx16,(x)22 x332所以 6 30即 b25,(3x)223x442所以 c23424,2,解下列各一元二次

12、方程式。(x3)219 9(x2)2160 2x28x17920 3x25x10,x3x3,(x2)2，x2 x2 x 或 x,x24x8960 x24x48964(x2)2302x230 x32 或28,令 a3、b5、c1b24ac52431130,2,9x2412x 3x26x62x2x2,9x212x40令 a9、b12、c4b24ac(12)24940 x(重根),5x25x40令 a5、b5、c4b24ac5245(4)1050,3,若一元二次方程式 2x212xk0 可配方成(x3)2，則 k 的值是多少？,(x3)2，x26x9，x26x 0，2x212x90，比較係數可得 k

13、9。,4,利用判別式判別下列各方程式解的情形。5x213x80 9x216x x3x25 x2 x4,令 a5、b13、c8b24ac(13)245890所以此方程式有兩個相異的根。,9x26x10令 a9、b6、c1b24ac(6)24910所以此方程式的兩根相等。,3x2 x50令 a3、b、c5b24ac()24(3)(5)0所以此方程式無解。,x2 x40令 a、b、c4b24ac()24(4)0所以此方程式有兩個相異的根。,5,已知一元二次方程式 ax2(a1)x10(a0)有重根，則 a 是多少？,因為方程式有重根，所以(a1)24a10，a22a10，(a1)20，a1(重根)。,