第1讲 函数与方程思想.ppt

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1、,专题八 数学思想方法,第 1讲 函数与方程思想,思 想 方 法 概 述,热 点 分 类 突 破,真 题 与 押 题,思想方法概述,1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等.,(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程的教学是对方程概念的本质认识，用于

2、指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.,2.和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.,(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解.(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次

3、方程与二次函数的有关理论.,(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.,热点一 函数与方程思想在不等式中的应用,热点二 函数与方程思想在数列中的应用,热点三 函数与方程思想在几何中的应用,热点分类突破,例1(1)f(x)ax33x1对于x1,1总有f(x)0成立，则a_.,热点一 函数与方程思想在不等式中的应用,解析若x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；,当x0即x(0,1时，,当x0即x1,0)时，,因此g(x)ming(1)4，从而a4，综上a4.答案4,(2)设f(x)，g(

4、x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是_.,解析设F(x)f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，,得F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即F(x)在R上为奇函数.,又当x0，所以x0时，F(x)也是增函数.因为F(3)f(3)g(3)0F(3).所以，由图可知F(x)0的解集是(，3)(0,3).答案(，3)(0,3),变式训练1,(1)若2x5y2y5x，则有()A.xy0 B.xy0C.xy0 D.xy0,解析把不等式变形为2x5x2y5y，构造函数y2x5x，其为R上的增函数，所以有

5、xy.,B,所以f(x)2x36x2，,令f(x)0得x0或x3，经检验知x3是函数的一个最小值点，,即f(x)9恒成立，,答案A,例2已知数列an是各项均为正数的等差数列.(1)若a12，且a2，a3，a41成等比数列，求数列an的通项公式an；,热点二 函数与方程思想在数列中的应用,解因为a12，a2(a41)，,又因为an是正项等差数列，故d0，所以(22d)2(2d)(33d)，得d2或d1(舍去)，所以数列an的通项公式an2n.,解因为Snn(n1)，,所以f(x)在1，)上是增函数，故当x1时，f(x)minf(1)3，,要使对任意的正整数n，不等式bnk恒成立，,变式训练2,(

6、1)(2014江苏)在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_.,解析因为a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由a8a62a4得a2q6a2q42a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2q220，解得q22，a6a2q41224.,4,又数列an是等比数列，,且数列 an是递增数列，,答案D,热点三 函数与方程思想在几何中的应用,(1)求椭圆C的方程；,设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，,所以，k的值为1或1.,变式训练3,解析设点B的坐标为(x0，y0)，,B,1.在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公

7、式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量.,本讲规律总结,2.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想.3.借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解.,4.许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想

8、有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.,真题感悟,押题精练,真题与押题,1,2,真题感悟,3,4,即01，所以cab.,C,1,2,真题感悟,3,4,1,2,真题感悟,3,4,解析如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2(y6)2r2(r0)，与椭圆方程 y21联立得方程组，消掉x2得9y212yr2460.,令12249(r246)0，,解得r250，,1,2,真题感悟,3,4,故选D.答案D,3.(2014江苏)在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_.,1,2,真题

9、感悟,3,4,3,4.(2014福建)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_.(单位：元),1,2,真题感悟,3,4,又设该容器的造价为y元，,1,2,真题感悟,3,4,所以ymin80204160(元).答案160,押题精练,1,2,3,1.函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A.(1,1)B.(1，)C.(，1)D.(，),4,5,6,押题精练,1,2,3,4,5,6,解析f(x)2转化为f(x)20，构造函数F(x)f(x)2x，得

10、F(x)在R上是增函数.又F(1)f(1)2(1)4，f(x)2x4，即F(x)4F(1)，所以x1.答案B,押题精练,1,2,3,4,5,6,解析可知|MN|f(x)g(x)x2ln x.,押题精练,1,2,3,4,5,6,答案D,押题精练,1,2,3,4,5,6,押题精练,1,2,3,4,5,6,解析当x0时，ax3x24x30变为30恒成立，即aR.,押题精练,1,2,3,4,5,6,所以(x)在(0,1上递增，(x)max(1)6.所以a6.,押题精练,1,2,3,4,5,6,当x2，1)时，(x)0，(x)在(1,0)上单调递增.所以当x1时，(x)有极小值，即为最小值.,押题精练,

11、1,2,3,4,5,6,综上知6a2.答案C,4.若关于x的方程(22|x2|)22a有实根，则实数a的取值范围是_.,押题精练,1,2,3,4,5,6,解析令f(x)(22|x2|)2.要使f(x)2a有实根，只需2a是f(x)的值域内的值.f(x)的值域为1,4)，1a24，1a2.,1,2),5.已知函数f(x)ax2ax和g(x)xa，其中aR，且a0.若函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试求OAB的面积S的最大值.,押题精练,1,2,3,4,5,6,解依题意，f(x)g(x)，即ax2axxa，整理得ax2(a1)xa0，a0，函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B，,0，即(a1)24a23a22a1(3a1)(a1)0，,押题精练,1,2,3,4,5,6,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，,押题精练,1,2,3,4,5,6,押题精练,1,2,3,4,5,6,押题精练,1,2,3,4,5,6,ax0a，a1ta1(a1).,押题精练,1,2,3,4,5,6,押题精练,1,2,3,4,5,6,押题精练,1,2,3,4,5,6,押题精练,1,2,3,4,5,6,