高等数学第四章不定积分习题.ppt

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1、第四章 不定积分习题课,一、不定积分的基本概念与性质,1原函数与不定积分的概念,(1)原函数的定义：,(2)不定积分的定义：,在区间 上，若,2不定积分的性质,(1)线性性质：,(2)微分与积分运算：,二、基本计算方法,1直接积分法,首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定积分的基本性质和基本积分表求出不定积分。,2第一类换元法（凑微分法）：,3第二类换元法（变量置换法）：,第二类换元法：,三角代换,倒代换,简单无理函数代换,5有理函数的积分法：,积分法要点：若是假分式，先作多项式除法，使,4分部积分法：,或,变为一次分式和二次分式的代数和。,之变为：“多项式+真分式”。对真分式进行分项，使

2、之,6万能公式法：,如果被积函数是三角函数有理式,则可采用万能公式。,令,则,从而,在具体计算不定积分的过程中，不是一种方法就可,以解决，要熟练掌握几种积分法并融会贯通，综合应用。,三、典型例题,故,【例2】求不定积分,解：利用不定积分的性质,，可知,【例3】求不定积分,解：,分析：由于被积函数不能直接利用基本公式和凑微,然后可利用基本公式。,分法求解，所以应该首先对被积函数进行代数恒等变形，,【例4】求不定积分,解：,【例5】求不定积分,解：,【例6】求不定积分,解：,【例7】求不定积分,解：,【例8】求不定积分,解法1：因为,所以,解法2：因为,所以,解法3：令,则,于是,【例9】求不定积

3、分,则,【例10】求不定积分,解法2：(三角代换)设,则,解：,【例11】求不定积分,解：原式,注意 运算中综合使用不同方法往往更有效.。,【例12】求不定积分,把根式去掉，然后选择合适的方法计算。,解法1：令,，则,所以应用分部积分法,所以,解法2：因为,所以应用分部积分法,【例13】求不定积分,解：,【例14】求不定积分,，于是,解法2：因为,所以,，则,解法1：令,【例15】求不定积分,分析：本题中隐含着不能积分的积分项，但在积分,的过程中正、负项抵消.,解：,从而,【例17】求不定积分,把假分式化成一个多项式与一个真分式的和，对真,分析：由于被积函数为有理函数，且为假分式，所以首先,采

4、用拆项积分。,解：,设,即,得,于是,【例18】求不定积分,分析：由于被积函数为有理函数且为真分式，分母是二次,质因式，即不能分解成一次因式的乘积，注意到分子,子变成分母的导数 形式，,解：,【例19】求不定积分,分析：(1)由于被积函数为三角函数有理式，所以首先,想到用万能公式计算；,解法1：令,，则,，于是,则,，于是,解法3：由于,所以,注：(1)通过上面三种解法可看出，用万能代换计算三角函数有理式的积分一定能解出，但计算复杂，所以不是最优的。其余的二种解法，很明显解法3最简单快捷，因为它首先对被积函数进行了恒等变形，进而转化成几个基本积分公式的代数和。(2)在计算三角函数有理式的不定积分时，关键是利用三角公式进行恒等变形，并利用三角函数与导数之间的关系进行换元或凑微。,