高等数学曲面及其方程.ppt

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1、复习,3.两向量的数量积,4.两向量的夹角,5.两向量的向量积,6.两向量互相平行垂直的条件,7.向量的混合积,卫星接收装置(旋转抛物面),.,化工厂或热电厂的冷却塔(旋转双曲面),第三节 曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,四、二次曲面,5,一、曲面方程的概念,平面解析几何中,如果某曲线c上的点与一个二元方程f(x,y)=0的解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。,任何曲面都可以看作是点的几何轨迹.,曲面 S 与三元方程,则方程(1)就叫做曲面S的方程,

2、而曲面S就叫做方程(1)的图形.,有下述关系：,曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);,不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1),空间解析几何中,解,(2),若球心在原点，则,球面的方程为,半径为 R 的球面方程.,(3),例1 求到点M0(x0,y0,z0)的距离等于R的点的轨迹方程.,设轨迹上的动点为M(x,y,z),即,则,以下给出几例常见的曲面.,解：,例2 求到A(1,2,3),B(2,-1,4)两点距离相等的点的轨迹方程.,设轨迹上的动点为M(x,y,z),即,整理得,即为所求点的轨迹方程.,线段 的垂直平分面.,有,配方得,半径为 的球面.,解,原方程表示球心在点,一般地，三元二

3、次方程,(1)x2,y2,z2项系数相同;,(2)缺 xy,yz,zx 项.,其图形可能是一个球面，或点，或虚轨迹.,特点：,以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,10,11,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线分别称为旋转曲面的母线和旋转轴。,12,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。,13,二、旋转曲面

4、,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。,14,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。,15,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。,16,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。,17,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上

5、的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。,18,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。,19,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。,20,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。,21,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为

6、旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。,22,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。,23,二、旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。,1、yOz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,就是所求旋转曲面的方程.,(5),，点M1(0,y1,z1)在曲线C,则,当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,思考：,26,2、注意：绕哪个轴旋转，哪个变量不变,1.yoz平面上的母线 绕oz轴旋

7、转得旋转曲面,2.yoz平面上的母线 绕oy轴旋转得旋转曲面,3.xoy平面上的母线 绕ox轴旋转得旋转曲面,解,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,一周,求所形成的旋转曲面的方程.,将zOx平面上的双曲线,例4,绕 x 轴旋转得,绕 z 轴旋转得,分别绕 x 轴和 z 轴旋转,28,旋转面-圆锥面,两边平方,例5 建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为,的圆锥面方程.,解,在yOz面上的直线 L的方程为:,L绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,的大小与圆锥面的张口大小有何关系？,思考：,旋转椭球面,旋转抛物面,30,特点：,曲面方程 中若除一个变量外，另外两个变量能写成平方和的形式，则该曲面是旋转曲

8、面,例：,31,例6 试判断方程,表示何种曲面?并作图.,yOz 面上的抛物线,绕 z 轴旋转所得旋转曲面.,或 zOx 面上的抛物线,绕 z 轴旋转所得旋转曲面.,解,33,播放,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。,34,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。,观察柱面的形成过程:,35,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。,观

9、察柱面的形成过程:,36,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。,观察柱面的形成过程:,37,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。,观察柱面的形成过程:,38,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。,观察柱面的形成过程:,39,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。,观察柱面的

10、形成过程:,40,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。,观察柱面的形成过程:,41,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。,观察柱面的形成过程:,42,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。,观察柱面的形成过程:,43,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。,观察柱面的形成过程

11、:,44,定义,三、柱面,沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。,观察柱面的形成过程:,45,柱面举例,抛物柱面,平面,母线平行于 z 轴的柱面方程为：,一般地，已知准线方程,注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母线平行于z轴的柱面。,一般地，在空间直角坐标下,（缺z），,表示母线？，准线为？的柱面。,（缺y），,表示母线？，准线为？的柱面。,（缺x），,表示母线？，准线为？的柱面。,二元方程的几何图形为柱面,47,问：,（1）表示什么曲面？,（2）表示什么曲面？,回顾,1.三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的

12、一张曲面S。,2.表示一张球面。,3.表示空间的一张平面。,4.yoz平面上的母线 绕oz轴旋转得旋转曲面,48,四、二次曲面,三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。,目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状。,即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。,5.xoy平面上的准线方程 母线平行于 z 轴的,柱面方程为：,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,49,（一）椭球面,椭球面与三个坐标面的交线：,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面x=x1和y=y1 的交线也是椭圆,截痕法,用z=h截曲面,用y=m截曲面,用x=n截曲面

13、,a,b,c,椭球面,51,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 或 绕z轴旋转而成。,球面,方程可写为,截痕法,用z=a截曲面,用y=b截曲面,用x=c截曲面,1.椭圆抛物面,（二）抛物面,得点（0，0，0）,实际上，,用z=a截曲面,用y=0截曲面,用x=b截曲面,截痕法,（马鞍面）,2.双曲抛物面,用z=a截曲面,用y=0截曲面,用x=b截曲面,截痕法,（马鞍面）,2.双曲抛物面,单叶双曲面：,双叶双曲面：,椭圆锥面：,双曲面的渐进锥面,（三）双曲面,即,内容小结,空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,yOz 面上曲线 C:,二次曲面,三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.,2.二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,