高数微积分中值定理.ppt

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1、1,微分中值定理与导数的应用,第 3 章,2,第一节 中值定理,一、罗尔(Rolle)定理,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,3,1.函数极值的定义,4,定义:,5,注：（1）极值的概念是局部性的（2）有的极大值可能比极小值还小（3）取得极值处，曲线的切线是水平的，即极值点处 导数为零。但是注意导数为零处，即有水平切线处，不一定取得 极值，例如图中的 点处,6,2.费马(fermat)引理,且,存在,证:设,则,证毕,存在,7,3.驻点：导数等于零的点。,注：（1）极值点要么是驻点，要么是不可导点（2）驻点不一定是极值点,费马引理的几何意义：,8,一、

2、罗尔(Rolle)定理,9,几何解释:,例如,10,证,11,注意:,定理条件不全具备,结论不一定成立.,例如,12,例,证,(1),(2),验证定理的假设条件满足,验证结论正确,验证罗尔定理的正确性.,13,13,例,试证方程,分析,注意到:,14,14,证,设,且,罗尔定理,即,试证方程,15,例,证:,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,16,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,17,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,18,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量 与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,19,拉格朗日中值定理又

3、称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,微分中值定理,20,推论,证:在 I 上任取两点,氏中值公式,得,由 的任意性知,在 I 上为常数.,21,例,证,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,22,例.证明不等式,证:设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,或,23,三、柯西(Cauchy)中值定理,24,几何解释:,分析:,要证,25,证:作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,思考:柯西定理的下述证法对吗?,两个 不一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,26,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,27,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例：

4、,28,例：,证：,分析:,结论可变形为,29,罗尔定理,拉格朗日中值定理,罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系:,推广,推广,这三个定理的条件都是充分条件,换句话说,满足条件,不满足条件,定理可能成立,不是必要条件.,而,成立;,不成立.,定理,也可能,30,应用三个中值定理常解决下列问题,(1)验证定理的正确性;,(2)证明方程根的存在性;,(3)引入辅助函数证明等式;,(4)证明不等式;,(5)综合运用中值定理(几次运用).,关键 逆向思维,找辅助函数（原函数）,31,例,分析,将结论交叉相乘得,辅助函数F(x),试证明:,

5、32,或将结论交叉相乘得,换成,辅助函数F(x),33,证,设辅助函数,因此F(x)满足Rolle定理的条件.,34,即,得,证毕.,35,练习,分析,即证,要证,证明:,对任意的实数k,设f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,36,证,即,证明:,对任意的实数k,设f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,由Rolle定理,37,试证必存在,设函数 f(x)在0,3上连续,在(0,3)内可导,证,因为 f(x)在0,3上连续,且在0,2上必有最大值M和最小值m,于是,故,由介值定理知,至少存在一点,使,所以f(x)在0,2上连续,且 f(x)在c,3上连续,在(c,3)内可导

6、,所以由Rolle定理知,必存在,以下4题目较难,38,试证:存在,设函数 f(x),g(x)在a,b上连续,在(a,b)内,证,设f(x),g(x)在(a,b)内最大值M分别在,取得.,由零点定理,至少介于,使得,具有二阶导数且存在相等的最大值,令,则,使得,再由罗尔定理,存在,使得,即,39,(1)证明拉格朗日中值定理:若函数 f(x)在,a,b上连续,在(a,b)内可导,则存在,(2)证明:,证(1),取,由题意知F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,40,由Rolle定理,即,41,(2)证明:,证(2),对于任意的,函数 f(x)在0,t上,由右导数定义及拉格朗日中,上连续,在(0,t)内可导,值定理,所以,42,例.试证至少存在一点,使,证:,法1 用柯西中值定理.,则 f(x),g(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,43,例.试证至少存在一点,使,法2 令,则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,44,内容小结,1.微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.微分中值定理的应用,(1)证明恒等式,(2)证明不等式,(3)证明有关中值问题的结论,关键:利用逆向思维（找原函数）设辅助函数,费马引理,45,思考题,反例,