集合的基本概念、关系及运算.ppt

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1、集合的基本概念、关系及运算,2023/10/5,一、集合的定义,某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合中每个对象叫做这个集合的元素集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的,例如：A=1，3，B=a,b,c,用大写字母A，B，C表示集合,用小写字母a,b，c 表示集合中的元素.,用花括号 把元素括起来表示集合,2023/10/5,确定性：给定的集合，他的元素必须是确定的。即集合中的元素必须是意义明确的，不能模棱两可，含糊不清。,互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同。,无序性：集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置。,二、集合中元素的性质,2

2、023/10/5,如果a是集合A的元素，就说a 属于集合A，记作 aA；,如果a不是集合A的元素，就说a 不属于集合A，记作 aA。,三、元素与集合的关系,即元素与集合之间只能用“”或“”符号连接,2023/10/5,常用的数集及其记法,非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N;正整数集：非负整数集内排除0的集，记作N+或N+;,整数集：全体整数的集合，记作Z;,有理数集：全体有理数的集合，记作Q;,实数集：全体实数的集合，记作R.,2023/10/5,1、列举法把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法2、描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 符号描述

3、法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征如：所有奇数的集合可表示为：=x|x=2k+1，k 文字描述法 用文字把元素所具有的属性描述出来，如自然数3、大写字母法4、venn图法及数轴法,四、集合的表示方法,1，2，3,2,2023/10/5,思考,请说出下列集合含义：,x|y=f(x),y|y=f(x),(x,y)|f(x,y)=0,表示函数y=f(x)的定义域,表示函数y=f(x)的值域,表示方程f(x,y)=0对应的曲线,2023/10/5,五、集合的分类,有限集含有有限个元素的集合。无限集含有无限个元素的

4、集合。,空集不含任何元素的集合。记作，如：,2023/10/5,1集合的定义;,2集合元素的性质：确定性，互 异性，无序性；,3数集及有关符号；,4.集合的表示方法；,5.集合的分类.。,2023/10/5,2023/10/5,1.集合元素的特征有哪些?2.元素与集合之间的关系是什么?如何表示?3.集合的表示法有哪些?,确定性、互异性、无序性,列举法、描述法、图示法、大写字母法,回顾旧知,2023/10/5,知识与能力,教学目标,（1）了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集;（2）理解子集、真子集的概念;（3）能体会图示对理解抽象概念的作用.,2023/10/5,教学重难点,重点,

5、集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念.,属于关系与包含关系的区别.,难点,2023/10/5,下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？（1）设A为一颗苹果树上所有的苹果，B为这棵苹果树上所有的烂苹果.（2）设A=x|x是平行四边形 B=x|x是正方形.（3）设A为高一(1)班的全体学生组成的集合，B为高一(1)班所有的男生组成的集合.（4）设A=a,b,c,B=a,b,c,e.,共性:集合B中的任何一个元素都是集合A的元素.,观察1,2023/10/5,一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.,1子集

6、的概念,知识要点,2023/10/5,A,B,2.在数学中，经常用平面上的封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.,A（B）,A B用Venn图表示如下：（有两种情况）,2023/10/5,与 的区别：前者表示集合与集合之间的关系；后者表示元素与集合之间的关系.,注意,一般地，a表示一个元素，而a表示只有一个元素的一个集合.a=a是错误的.,2023/10/5,下面两个集合，你能发现什么？,观察2,（1）A=xx是两条边相等的三角形 B=xx是等腰三角形（2）A=2，4，6 B=6，4，2,共性:集合B中元素与集合A的元素是一样的.,2023/10/5,3.集合相等与真子集的概念,知识要

7、点,A（B）,2023/10/5,读作：A真包含于B（或B真包含A）,对于实数a，有aa；则对于集合A，有,结论：任何一个集合都是它本身的子集.,A B(或B A),A,B,2023/10/5,由此可见，集合A是集合B 的子集，包含了A是B的真子集和A与B相等两种情况.,注意,NO!,2023/10/5,空集是任何集合的子集.,空集是任何非空集合的真子集.,我们规定：不含有任何元素的集合叫做空集，记作.,知识要点,2023/10/5,(3)对于两个集合A，B，如果 且,那么A=B,4.由集合之间的基本关系，可以得到以下结论.,(4)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集,即,2023/1

8、0/5,例 写出集合 的所有子集，并指出哪些是它的真子集.,2023/10/5,例如：集合a,b,c，则其子集为a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c,共8=个。其真子集有7=个.,子集个数为，真子集个数为,2023/10/5,1概念：子集、集合相等、真子集2性质：（1）空集是任何集合的子集,A.（2）空集是任何非空集合的真子集.A（A）（3）任何一个集合是它本身的子集.,课堂小结,2023/10/5,（4）含n个元素的集合的子集数为；非空子集数为；真子集数为；非空真子集数为.,2023/10/5,高考链接,1.（2008 广东）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京

9、举行，若集合A=参加北京奥运会比赛的运动员，集合B=参加北京奥运会比赛的男运动员，集合C=参加北京奥运会比赛的女运动员，则下列关系正确的是（）A.A B B.B C C.AB=C D.BC=A,D,2023/10/5,B,2023/10/5,解析：集合M的含有两个元素的子集共有15个，考虑到题设要求，则（1，2）、（2，4）、（3、6）这三个子集只能取一个；（1，3）、（2、6）这两个子集只能取一个；（2，3）、（4、6）这两个子集只能取一个；所以K得最大值为15-2-1-1=11.,6,2023/10/5,解析：根据题意知满足新定义集合的有：2，4，6、2，4，7、2，4，83，5，7、3，

10、5，8、4，6，8共6个.,依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素因此，符合题意的集合是：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，5，6，7，6，7，8共6个故选D,2023/10/5,随堂练习,A,2023/10/5,2023/10/5,2023/10/5,4.设集合A=x|1x3，B=x|x-a0，若A是B的真子集，实数a的取值范围（）.,a1,2023/10/5,2023/10/5,2023/10/5,2023/10/5,思考：,类比引入,两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加

11、”呢？,2023/10/5,思考：,类比引入,考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？,（1）A=1，3，5，B=2，4，6，C=1，2，3，4，5，6,（2）A=x|x是有理数，B=x|x是无理数，C=x|x是实数,集合C是由所有属于集合A或属于B的元素组成的,2023/10/5,一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union set）,记作：AB（读作：“A并B”）即：AB=x|x A，()x B,Venn图表示：,说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）,并集概念,或

12、,2023/10/5,例1设A=4，5，6，8，B=3，5，7，8，求AUB,解：,例2设集合A=x|-1x2，B=x|1x3，求AUB,并集例题,解：,可以在数轴上表示例2中的并集，如下图：,集合运算常用数轴画图观察,2023/10/5,并集性质,AA；A；ABA B_A,2023/10/5,并集的交换律,并集的结合律,并集的相关性质：,2023/10/5,思考：,类比引入,考察下面的问题，集合C与集合A、B之间有什么关系吗？,（1）A=2，4，6，8，10，B=3，5，8，12，C=8,（2）A=x|x是新华中学2004年9月入学的女同学，B=x|x是新华中学2004年9月入学的高一年级同

13、学，C=x|x是新华中学2004年9月入学的高一年级女同学,集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的,2023/10/5,一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集（intersection set）,记作：AB（读作：“A交B”）即：A B=x|x A（）x B,Venn图表示：,说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的公共元素组成的集合,交集概念,且,2023/10/5,交集性质,AA；A；ABA A_B,2023/10/5,(1)设A1，2，B2，3，4，则AB(2)设Ax|x2，则AB.,2,2023/10/5,D,2023

14、/10/5,(4)设A1,2，Ba,3，若AB1，则a；若AB，则a.(5)设Ax|x1，Bx|x2，则AB.,1,1或2,2023/10/5,类比并集的相关性质,2023/10/5,例题：,2023/10/5,例题：,解：,5,A,0,B,2023/10/5,例题：,解：,0,B,10,C,2023/10/5,例题：,解：,5,A,0,B,10,C,2023/10/5,例题：,AB A,B AB，AB AAB B，AB AB,2023/10/5,一些性质（补充）：(AB)CA(BC)；(AB)CA(BC)；A(BC)(AB)(AC)；A(BC)(AB)(AC),2023/10/5,(2010

15、湖南文，9)已知集合A1，2，3，B2，m，4，AB2，3，则m_.解析由题意知m3.答案3,2023/10/5,6(09上海)已知集合Ax|x1，Bx|xa，且ABR，则实数a的取值范围是_答案解析将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示要使ABR，则a1.,a1,2023/10/5,7你会求解下列问题吗？集合Ax|2xm，AB，则m的取值范围 是.(2)若Bx|xm，AB，则m的取值范围 是.(3)若Bx|xm5且x2m1，AB，则m的取值范围是.,m2,m1,1m3,2023/10/5,1、解方程或不等式2利用数形结合的思想，将满足条件的集合用韦恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并

16、集，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用3集合元素的互异性在解决集合的相等关系、子集关系、交集等时常遇到，忽视它很多时候会造成结果失误，解题时要多留意解决集合问题时，常常要分类讨论，要注意划分标准的掌握，做到不重、不漏，注意检验,解题思路：,2023/10/5,若已知xAB，那么它包含三种情形：xA且xB；xB且xA；xA且xB，这在解决与并集有关问题时应引起注意,2023/10/5,在求AB时，只要搞清两集合的公共元素是什么或公共元素具有怎样的性质即可反之，若已知aAB，那么就可以断定aA且aB；若AB，说明集合A与B没有公共元素,2023/10/5,例(09全国)设集合

17、MmZ|3m2，NnZ|1n3，则MN()A0,1B1,0,1C0,1,2 D1,0,1,2 解析M2，1,0,1，N1,0,1,2,3，MN1,0,1，故选B.,B,2023/10/5,若集合Ax|2x3，Bx|x4，则集合AB等于()Ax|x3或x4 Bx|1x3 Cx|3x4 Dx|2x1答案D解析将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得ABx|2x1，故选D.,2023/10/5,例3已知A(x，y)|4xy6，B(x，y)|3x2y7，则AB_.,2023/10/5,2023/10/5,例5已知集合A4，2a1，a2，Ba5，1a，9，分别求适合下列条件的a值(1)9AB；(2)9AB.

18、分析9AB与9AB意义不同，9AB说明9是A与B的一个公共元素，但A与B中允许有其它公共元素9AB，说明A与B的公共元素有且只有一个9.,2023/10/5,解析(1)9AB，9A 2a19或a29，a5或a3.检验知：a5或a3满足题意(2)9AB，9AB，a5或a3.检验知：a5时，AB4，9不合题 意，a3.,2023/10/5,已知：Ax|2x2axb0，Bx|bx2(a2)x5b0，且AB 1/2，求AB.,2023/10/5,2023/10/5,例6高一(3)班的学生中，参加语文课外小组的有20人，参加数学课外小组的有22人，既参加语文又参加数学小组的有10人，既未参加语文又未参加

19、数学小组的有15人，问高一(3)班共有学生几人？分析借助Venn图可直观地得出有限集元素的个数用card(A)表示集合A中所含元素的个数，则计数公式card(AB)card(A)card(B)Card(AB),2023/10/5,解析设U高一(3)班学生，A高一(3)班参加语文小组的学生，B高一(3)班参加数学小组的学生，则AB高一(3)班既参加语文小组又参加数学小组的学生有card(U)15card(AB)15card(A)card(B)card(AB)1520221047(人)故高一(3)班有47名学生,2023/10/5,辨析以上解法不对集合A，B应该结合代表元素从整体意义上把握，它们是

20、当x取一切实数时所得的y的值的集合，在审题时必须首先弄清集合的本质含义正解AyR|y1，BR，故AByR|y1，正确答案为D.,2023/10/5,4(09广东理)已知全集UR，集合Mx|2x12和Nx|x2k1，k1,2，的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A3个 B2个 C1个 D无穷多个,B,答案B解析Mx|1x3，N为正奇数集，MN1,3,2023/10/5,8定义集合运算A*Bz|zxy，xA，yB，若A1,2，B0,3，则集合A*B中所有元素之和为_答案9解析由A*B的定义知，A*B0,3,6，所有元素的和为9.,2023/10/5,三、解答题9已

21、知：Ax|xa|4，Bx|x1或x5，且ABR，求实数a的范围,此题容易将符号弄错,-1,5,2023/10/5,实例引入,请看下例：A=班上所有参加足球队同学B=班上没有参加足球队同学U=全班同学那么S、A、B三个集合之间有什么关系？,2023/10/5,一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe set）通常记作U,全集概念,2023/10/5,实例引入,请看下例：A=班上所有参加足球队同学B=班上没有参加足球队同学U=全班同学那么U、A、B三个集合之间有什么关系？,A=1,2,3,4B=5,6,7,8U=1,2,3,4,5,6,7,

22、8那么U、A、B三个集合之间有什么关系？,全集,1,2,5,6 3,4 7,8,U,1,2 3,4,2023/10/5,对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的补集（complementary set）,简称为集合A的补集,补集概念,记作：A 即：A=x|x U 且x A,2023/10/5,U,A,A,说明：补集是与全集同时存在的。补集的概念必须要有全集的限制,2023/10/5,Venn图表示：,补集的性质,(1)、A(A)=.,(2)、A(A)=,2023/10/5,问题：,在下面的范围内求方程 的解集：,（1）有理数范围；（2）实数范围,

23、并回答不同的范围对问题结果有什么影响？,解：（1）在有理数范围内只有一个解2，即：,（2）在实数范围内有三个解2，即：,2023/10/5,补集例题,例设U=x|x是小于9的正整数，A=1，2，3，B=3，4，5，6，求 A，B,解：根据题意可知：U=1，2，3，4，5，6，7，8，所以：A=4，5，6，7，8，B=1，2，7，8,说明：可以结合Venn图来解决此问题,2023/10/5,补集例题,例6设全集U=x|x是三角形，A=x|x是锐角三角形，B=x|x是钝角三角形.求AB，（AB）,解：根据三角形的分类可知,AB，,AB x|x是锐角三角形或钝角三角形，,（AB）x|x是直角三角形,

24、2023/10/5,例.设全集为R,求 A,B,解：A,5,A,A,A,2023/10/5,例 设U=x|x是小于9的正整数,A=1,2,3B=3,4,5,6,求CUA,CUB.,解:根据题意可知,U=1,2,3,4,5,6,7,8,所以 CUA=4,5,6,7,8 CUB=1,2,7,8.,2023/10/5,例.设全集为R,求 A,B,解：B,3,B,B,小结,说明:(1)涉及不等式,常用数轴法.注意标明实心,空心,2023/10/5,1.已知xR，集合A=-3,x2,x1,B=x3,2x1,x21如果AB=-3，求AB。,2023/10/5,2.已知集合A=x|2x4,B=x|xa若AB

25、=,求实数a的取值范围;若AB=A,求实数a的取值范围,3，Ax|2x5,Bx|m1x2m1，若ABA，求m的取值范围.,2023/10/5,练习：1.判断正误（1）若U=四边形，A=梯形，则CUA=平行四边形,（2）若U是全集，且AB，则CUACUB,（3）若U=1，2，3，A=U，则CUA=,错,错 如图利用数轴,对,2023/10/5,2.如果全集UN，那么N*的补集UN*,0,3(09浙江理)设UR，Ax|x0，Bx|x1，则AUB()Ax|0 x1答案B解析Bx|x1，UBx|x1，AUBx|x0 x|x1x|0 x1故选B.,2023/10/5,2.设集合A=|2a1|，2，B=2

26、，3，a2+2a3 且CBA=5，求实数a的值。,解：易得集合A中没有5，集合B中一定有5.,a2+2a35.,a2 or 4.,接下来验证是否满足题意要求。,此步骤一般不可少！,当a2时，|2a1|3.此时，满足CBA5.,当a4时，|2a1|9.此时，显然不满足.,综上所述，a2.,2023/10/5,几点说明,（1）补集是相对全集而言，离开全集谈补集没有意义；（2）若B UA，则A UB，即 U(UA)A；（3）UU，UU(4)U(AB)=(UA)(UB)U(AB)=(UA)(UB),2023/10/5,例2设全集U，已知集合M、P、S之间满足关系：MUP，PUS，则集合M与S之间的正确

27、关系是()AMUSBMS CS M DM S,2023/10/5,分析研究抽象集合的关系问题，可以利用集合的Venn图去分析，在作图的时候要设法将所有可能的情况都考虑进去，以防因思虑不全面和由局部图形的先入为主而导致解题的失误解析由图形可得正确选项为B.,2023/10/5,例3已知Ax|x3，Bx|xa(1)若AB，问RBRA是否成立？(2)若RARB，求a的取值范围解析(1)AB，如图(1)a3，而RBx|xa，RAx|x3RBRA.即RBRA成立,2023/10/5,(2)如图(2)，RAx|x3，RBx|xaRARB，a3.故所求a的取值范围为 a|a3,总结评述：解决这类问题一要注意

28、数形结合，以形定数，才能相得益彰，二要注意验证端点值，做到准确无误，不然功亏一篑,2023/10/5,已知全集U2,0,3a2，P2，a2a2，且UP1，则实数a_.答案2解析由PUPU知，,2023/10/5,已知全集U=1，2，3，4，5，非空集 A=xU|x25x+q=0，求CUA及q的值。,解：集合A非空，则x25x+q=0一定有解.,由根及韦达定理知：,x1x25，254q0，q x1x2.,x1，x2的组合可以是：1和4，2和3.,即A1，4，2，3.,CUA2，3，5，q4；or CUA1，4，5，q6.,2023/10/5,2023/10/5,2023/10/5,2023/10

29、/5,例已知集合Ax|x24mx2m60，Bx|x0，若AB，求实数m的取值范围分析集合A是由方程x24mx2m60的实根组成的集合，AB说明方程的根可能为：(1)两负根；(2)一负根一零根；(3)一负根一正根三种情况，分别求解十分麻烦，这时我们从求解问题的反面考虑，采用“正难则反”的解题策略，先由0求出全集U，然后求方程两根均为非负时m的取值范围，最后再利用“补集”求解,2023/10/5,2023/10/5,解：不等关系一般都会借助于数轴。,前面几个例题都是等式关系，接下来我们来思考不等关系。,在数轴上画出集合A的区域如下所示：,2023/10/5,例已知集合UxR|1x7，AxR|2x5

30、，BxR|3x7，求(1)(UA)(UB)；(2)U(AB)；(3)(UA)(UB)；(4)U(AB)(5)观察上述结果你能得出什么结论,2023/10/5,解析利用数轴工具，画出集合U、A、B的示意图，如下图所示 可以得到，ABxR|3x5 ABxR|2x7，UAxR|1x2或5x7，UBxR|1x3或x7,从而可求得(1)(UA)(UB)xR|1x27(2)U(AB)xR|1x27(3)(UA)(UB)xR|1x3或5x7(4)U(AB)xR|1x3或5x7(5)认真观察不难发现：U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB),2023/10/5,1求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合,知识小结,3注意结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法,2区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,2023/10/5,