随机过程随机过程的基本概念.ppt
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1、第二章 随机过程的基本概念,马春光,哈尔滨工程大学,2,第2章 随机过程的基本概念,2.1 随机过程的定义2.2 随机过程的分类和举例2.3 随机过程的有限维分布函数族2.4 随机过程的数字特征2.5 两个随机过程的联合分布和数字特征2.6 复随机过程2.7 几类重要的随机过程,第2章 随机过程的基本概念,2.1 随机过程的定义2.2 随机过程的分类和举例2.3 随机过程的有限维分布函数族2.4 随机过程的数字特征2.5 两个随机过程的联合分布和数字特征2.6 复随机过程2.7 几类重要的随机过程,2.1 随机过程的定义,在客观世界中,有许多随机现象表现为带随机性的变化过程,它不能用一个或几个
2、随机变量来刻画,而要用一族无穷多个随机变量来描绘,这就是随机过程.随机过程是概率论的继续和发展.被认为是概率论的“动力学”部分.它的研究对象是随时间演变的随机现象.事物变化的过程不能用一个(或几个)时间t 的确定的函数来加以描述.对事物变化的全过程进行一次观察得到的结果是一个时间t 的函数,但对同一事物的变化过程独立地重复进行多次观察所得的结果是不同的,而且每次观察之前不能预知试验结果.,2.1 随机过程的定义,例 当t(t0)固定时,电话交换站在0,t时间内收到的呼叫次数是随机变量,记为X(t).X(t)服从参数为t的Poisson分布,其中是单位时间内平均收到的呼叫次数,且0.如果t从0变
3、到+,t 时刻前收到的呼叫次数需用一族随机变量X(t),t 0,+来表示,则该随机现象就是一个随机过程.对电话交换站做一次实验,便可得到一个“呼叫次数时间函数”(即呼叫次数关于时间t 的函数 x(t).,2.1 随机过程的定义,这个“呼叫次数时间函数”是不可能预先确定的,只有通过测量才能得到.由于呼叫的随机性,在相同条件下,每次测量都产生不同的“呼叫次数时间函数”.,2.1 随机过程的定义,例 电子元件或器件由于内部微观粒子(电子)的随机热噪声引起的端电压称为热噪声电压,它在任一确定时刻的值是随机变量,记为V(t).如果t 从0变到+,t 时刻的热噪声电压需要用一族随机变量V(t),t 0,+
4、来表示,则该随机变量就是一个随机过程.对某种装置做一次试验,便可得到一个“电压时间函数”v(t).这个“电压时间函数”是不可能预先确知的,只有通过测量才能得到.如果在相同的条件下独立地再进行一次测量,则得到的记录是不同的.,所谓一族随机变量,首先是随机变量,从而是该试验样本空间上的函数;其次形成一族,因而它还取决于另一个变量,即还是另一参数集上的函数.所以,随机过程就是一族二元函数.定义 设(,F,P)是一个概率空间,T 是一个实的参数集,定义在 和T 上的二元函数 X(,t),如果对于任意固定的t T,X(,t)是(,F,P)上的随机变量,则称X(,t),t T 为该概率空间上的随机过程(S
5、tochastic Process),简记为X(t),t T.,2.1 随机过程的定义,2.1 随机过程的定义,X(,t),t T:固定t=t0 T,X(t0)是一个随机变量(第i次试验值为xi(t0)).对随机过程做一次试验,即固定样本点,得到一个参数t 的普通函数 x(t).,定义 设X(t),t T 是随机过程,则当t固定时,X(t)是一个随机变量,称之为X(t),t T 在t时刻的状态.随机变量X(t)(t固定,t T)所有可能的取值构成的集合,称为随机过程的状态空间,记为S.定义 设X(t),t T 是随机过程,则当 固定时,X(t)是定义在上T不具有随机性的普通函数,记为x(t),
6、称为随机过程的一个样本函数.其图像成为随机过程的一条样本曲线(轨道或实现).,2.1 随机过程的定义,例 设X(t)=Vcost,t+其中为常数,V服从区间0,1上的均匀分布,即(1)画出X(t),t+的几条样本曲线;(2)求 时随机变量X(t)的概率密度函数;(3)求 时X(t)的分布函数,2.1 随机过程的定义,解(1)取 则;取V=0,则x(t)=0;取V=1,则x(t)=cost.这些都是 t 的确定函数,即随机过程的样本函数.,2.1 随机过程的定义,(2)当t=0时,X(0)=V,故X(0)的概率密度函数就是V的概率密度函数,即当 时,故 的概 率密度函数为,2.1 随机过程的定义
7、,当 时,,故 的概率密度函数为当 时,故 的概率密度函数为,2.1 随机过程的定义,(3)当 时,不论V取何值,均有,因此,从而 的分布函数为,2.1 随机过程的定义,第2章 随机过程的基本概念,2.1 随机过程的定义2.2 随机过程的分类和举例2.3 随机过程的有限维分布函数族2.4 随机过程的数字特征2.5 两个随机过程的联合分布和数字特征2.6 复随机过程2.7 几类重要的随机过程,2.2 随机过程的分类和举例,随机过程可以根据参数集 T 和状态空间 S 是离散集还是连续集分为四大类.1、离散参数、离散状态的随机过程 这类过程的特点是参数集是离散的,同时固定t T,X(t)是离散型随机
8、变量即其取值也是离散的。例(贝努利过程)考虑抛掷一颗骰子的试验,设Xn是第n(n1)次抛掷的点数,对于n=1,2,的不同值,Xn是不同的随机变量,因而Xn,n1构成一随机过程,称为贝努利过程,其参数集T=1,2,,状态空间S=1,2,3,4,5,6.,例 设有一质点在x轴上作随机游动,在t=0时质点处于x轴的原点O,在t=1,2,时质点可以在x轴上正向或反向移动一个单位,作正向移动一个单位的概率为p,作反向移动一个单位的概率为q=1-p,在t=n时,质点所处的位置为Xn,则Xn,n=1,2,为一随机过程,其参数集T=0,1,2,,状态空间S=,-2,-1,0,1,2,。,2.2 随机过程的分类
9、和举例,2、离散参数、连续状态的随机过程这类过程的特点是参数集是离散的,对于固定的tT,X(t)是连续性随机变量。例 设Xn,n=,-2,-1,0,1,2,是相互独立同服从标准正态分布的随机变量,则Xn,n=,-2,-1,0,1,2,为一随机过程,其参数集T=,-2,-1,0,1,2,,状态空间S=(,+),2.2 随机过程的分类和举例,3、连续参数、离散状态的随机过程 这类过程的特点是参数集是连续的,而对于固定的tT,X(t)是离散型随机变量。例(Possion过程)设X(t)表示在期间0,t内到达服务点的顾客数,对于t0,+的不同值,X(t)是不同随机变量,因而X(t),t0构成一随机过程
10、,其参数集T=0,+,状态空间S=0,1,2,.,2.2 随机过程的分类和举例,4、连续参数、连续状态的随机过程 这类过程的特点是参数集是连续的,而对于固定的tT,X(t)是连续型随机变量。例 设X(t)=Acos(t+),0,是常数,服从区间-,上的均匀分布,则X(t),t+是一随机过程,其参数集T=(,+),状态空间S=-A,A.,2.2 随机过程的分类和举例,第2章 随机过程的基本概念,2.1 随机过程的定义2.2 随机过程的分类和举例2.3 随机过程的有限维分布函数族2.4 随机过程的数字特征2.5 两个随机过程的联合分布和数字特征2.6 复随机过程2.7 几类重要的随机过程,2.3
11、随机过程的有限维分布函数族,定义 设X(t),t T 是一个随机过程,对于任意固定的t T,X(t)是随机变量,称 F(t;x)=P(X(t)x),xR,tT为随机过程X(t),t T 的一维分布函数;对于任意固定的t1,t2T,X(t1),X(t2)是两个随机变量,称 F(t1,t2;x1,x2)=P(X(t1)x1,X(t2)x2),x1,x2R,t1,t2T为随机过程的二维分布函数;,一般地,对于任意固定的t1,t2,tnT,X(t1),X(t2),X(tn)是n个随机变量,称F(t1,t2,tn;x1,x2,xn)=P(X(t1)x1,X(t2)x2,X(tn)xn),xiR,tiT,
12、i=1,2,n 为随机过程X(t),t T 的n维分布函数.,2.3 随机过程的有限维分布函数族,定义 设X(t),t T 是一随机过程,其一维分布函数,二维分布函数,n维分布函数,的全体 F=F(t1,t2,tn;x1,x2,xn),xiR,tiT,i=1,2,n,nN 称为随机过程X(t),t T 的有限维分布函数族.容易看出,随机过程的有限维分布函数族具有对称性和相容性.,2.3 随机过程的有限维分布函数族,1、对称性 设 i1,i2,in 是 1,2,n 的任一排列,则 事实上,,2.3 随机过程的有限维分布函数族,2、相容性设mn,则 事实上,,2.3 随机过程的有限维分布函数族,定
13、义 设X(t),t T 是一随机过程,对于任意固定的t1,t2,tnT,X(t1),X(t2),X(tn)是n个随机变量,称 uiR,tiT,i=1,2,n,j=为随机过程X(t),t T 的n维特征函数.,2.3 随机过程的有限维分布函数族,称 为随机过程X(t),t T 的有限维特征函数族.例 设X(t)=A+Bt,t0,其中A 和B 是相互独立的随机变量,分别服从正态分布N(0,1),试求随机过程X(t),t 0 的一维和二维分布.,2.3 随机过程的有限维分布函数族,解 先求一维分布.是正态随机变量,因为 EX(t)=EA+tEB=0 DX(t)=DA+t2DB=1+t2所以X(t)服
14、从正态分布N(0,1+t2),从而X(t),t 0的一维分布为 X(t)N(0,1+t2),t 0再求二维分布,从而,2.3 随机过程的有限维分布函数族,又A,B相互独立同服从正态分布,故(A,B)服从二维正态分布,从而(X(t1),X(t2)也服从二维正态分布.EX(t1)=0,EX(t2)=0 DX(t1)=1+t12,DX(t2)=1+t22 cov(X(t1),X(t2)=EX(t1)X(t2)-EX(t1)EX(t2)=E(A+Bt1)(A+Bt2)=1+t1t2故(X(t1),X(t2)的均值向量为0=(0,0),协方差矩阵为,2.3 随机过程的有限维分布函数族,所以随机过程X(t
15、),t 0的二维分布为(X(t1),X(t2)N(0,B),t1,t20,2.3 随机过程的有限维分布函数族,例 令X(t)=Acost,t+,其中A是随机变量,其分布律为 P(A=i)=,i=1,2,3试求(1)随机过程X(t),t+的一维分布函数(2)随机变量X(t),t+的二维分布函数,2.3 随机过程的有限维分布函数族,解(1)先求.由于,因此的可能取值为,并且,2.3 随机过程的有限维分布函数族,于是再求.由于 因此 只能取0值,于是,2.3 随机过程的有限维分布函数族,(2)因为,2.3 随机过程的有限维分布函数族,所以,2.3 随机过程的有限维分布函数族,第2章 随机过程的基本概
16、念,2.1 随机过程的定义2.2 随机过程的分类和举例2.3 随机过程的有限维分布函数族2.4 随机过程的数字特征2.5 两个随机过程的联合分布和数字特征2.6 复随机过程2.7 几类重要的随机过程,2.4 随机过程的数字特征,1、随机过程的均值函数设X(t),t T 是一随机过程,是一个随机变量,如果 EX(t)存在,记为mX(t),则称mX(t),tT为 X(t),t T 的均值函数.如果X(t),t T 的一维分布函数为F(t;x),那么 tT 随机过程的均值函数mX(t)在t 时刻的值,表示随机过程在t 时刻所处状态取值的理论平均值,当tT 时,mX(t)在几何上表示一条固定的曲线.,
17、2、随机过程的方差函数设X(t),t T 是一随机过程,是一随机变量,如果DX(t)存在,记为DX(t),则称 DX(t),t T 为 X(t),t T 的方差函数.显然 DX(t)=DX(t)=EX(t)-mx(t)2,t T随机过程的方差函数DX(t)在t 时刻的值,表示随机过程在t 时刻所处状态取值离开均值的偏差程度,当t T 时,DX(t)是一个普通的函数.,2.4 随机过程的数字特征,3、随机过程的协方差函数设X(t),t T 是一随机过程,X(s),X(t)是两个随机变量,如果cov(X(s),X(t)存在,记为Cx(s,t),则称Cx(s,t),s,tT 为X(t),t T 的协
18、方差函数.显然 Cx(s,t)=cov(X(s),X(t)=E(X(s)-mx(s)(X(t)-mx(t)=EX(s)X(t)-mx(s)mx(t),t T,2.4 随机过程的数字特征,随机过程的协方差函数Cx(s,t)在s,tT 时刻的绝对值表示随机过程在时刻s,t所处状态的线性联系的密切程度,若Cx(s,t)的绝对值较大,则在两个时刻s,t的状态X(s),X(t)线性联系较密切;若Cx(s,t)的绝对值较小,则在两个时刻s,t的状态X(s),X(t)线性联系不密切.4、随机过程的相关函数设X(t),t T 是一随机过程,X(s),X(t)是两个随机变量,如果EX(s)X(t)存在,记为Rx
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