锅炉辅助设备第一章.ppt
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1、第五章 线性系统的频域分析法,第五章,一、频率特性,1、频率特性,考察一个系统的好坏,通常用阶跃信号输入下系统的阶跃响应来分析系统的动态性能和稳态性能。,有时也用正弦信号输入时系统的响应来分析,但这种响应并不是单看某一个频率的正弦信号输入时的瞬态响应,而是考察频率由低到高无数个正弦信号输入下所对应的每个输出的稳态响应。因此,这种响应也叫频率响应。,频率响应的概念,【问题】:对于线性定常系统,输入是正弦信号,输出信号的稳态值?,在正弦信号作用下,系统响应特性,在不同频率正弦信号作用下,系统响应特性,频率特性的概念:,线性定常系统,当输入为正弦信号时,其输出的稳态分量一定是同频率的正弦信号。当然,
2、正弦信号的幅值和相位会有所不同,且幅值比与相位差均是频率的函数。,定义:对于线性定常系统,在正弦信号的作用下,输出的稳态分量与输入的复数比,称为系统的频率特性。,讨论正弦信号作用下系统响应的一般规律。先看一个熟悉的例子:,请注意输入输出信号之间幅值与相位的关系,并将之与传递函数对照。,不难发现:输出的稳态信号与输入信号相比,传递函数:,输入:,输出的稳态:,问题:这一结论是巧合还是必然?结论是肯定的,另一方面,令传递函数中 则,幅值比(放大倍数),相位差(超前角),证明:设稳定线性定常系统的传递函数 当系统输入为谐波信号 即 系统输出的拉氏变换为 其中sk(k=3,4,)的实部为负数,且:因为
3、系统稳定,输出响应稳态分量为,证明(去掉中间过程):设稳定线性定常系统的传递函数为 当系统输入为谐波信号 系统输出响应稳态分量为 两相对照立即可得于是,依定义,系统的频率特性是这就是要证的结论,频率特性的傅氏定义:,稳定系统的频率特性等于输出和输入的傅氏变换之比。,【性质】,G(j)是G(s)中令s=j所得的复向量;,频率特性也是一种数学模型;,频率特性的三种表示方法:指数形式、三角式、代数式,U()G(j)的实部,实频特性V()G(j)的虚部,虚频特性,频率特性物理意义明确,在工程应用中很广泛。获 取方便:试验方法。,频率特性是从正弦的稳态相应求出的,但表示的是系统的动态特性。频率特性是指
4、时的频率响应,在某一频率下的响应不能表示系统的动态特性。从稳态响应测频率特性,给试验获取频率特性提供了方便,但不稳定系统频率特性是观察不到的。,微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性之间的关系如下:,结论:当传递函数中的复变量s用jw 代替时,传递函数就转变为频率特性。反之亦然。,例子:设传递函数为:,微分方程为:,频率特性为:,频率特性可以写成复数形式:,也可以写成指数形式:。其中,为实频特性,为虚频特性;为幅频特性,为相频特性。,在控制工程中,频率分析法常常是用图解法进行分析和设计的,因此有必要介绍常用的频率特性的四种图解表示。,幅频特性、相频特性曲线 极坐标频率特性曲线(又称奈魁斯特
5、Nyquist曲线)对数频率特性曲线(又称波德Bode图)对数幅相特性曲线(又称尼柯尔斯Nichols图),2、频率特性的几何表示法,1)幅频特性、相频特性曲线,2)极坐标频率特性曲线(又称奈魁斯特曲线),它是在复平面上用一条曲线表示 由 时的频率特性。即用矢量 的端点轨迹形成的图形。是参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。,极坐标图是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标,以其虚部为纵坐标,以w为参变量画出幅值与相位之间的关系。,根据频率特性和传递函数的关系,可知:频率特性曲线是S平面上变量s沿正虚轴变化时在G(s)平面上的映射。,由于幅频特性是w的偶函数,而相频特性
6、是w的奇函数,所以当w从0 的频率特性曲线和w从0的频率特性曲线是对称于实轴的。,极坐标图的优点是可在一张图上绘出整个频率域的频率响应特性;缺点是不能明显地表示出开环传递函数中每个典型环节的作用。,3)对数频率特性曲线(波德图,Bode图),Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。,波德图坐标(横坐标是频率,纵坐标是幅值和相角)的分度:,横坐标(称为频率轴)分度:它是以频率w 的对数值 logw 进行线性分度的。但为了便于观察仍标以w 的值,因此对w 而言是非线性刻度。w 每变化十倍,横坐标变化一个单位长度,称为十倍频程(或十倍频),用dec表示。类似地,频率w 的数值变化一倍,横
7、坐标就变化0.301单位长度,称为“倍频程”,用oct表示。如下图所示:,由于w 以对数分度,所以零频率点在处。,更详细的刻度如下图所示,纵坐标分度:对数幅频特性曲线的纵坐标以 L(w)=20logA(w)表示。其单位为分贝(dB)。直接将 20logA(w)值标注在纵坐标上。,相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。,一般将幅频特性和相频特性画在一张图上,使用同一个横坐标(频率轴)。,当幅制特性值用分贝值表示时,通常将它称为增益。幅值和增益的关系为:增益=20log(幅值),使用对数坐标图的优点,可以展宽频带;频率是以10倍频表示的,因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相
8、频特性。可以将乘法运算转化为加法运算。,所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线(渐近线)近似表示。对实验所得的频率特性用对数坐标表示,并用分段直线近似的方法,可以很容易的写出它的频率特性表达式。,RC网络中取,其对数频率特性曲线如图所示。,一阶RC网络的伯德图,4)对数幅相特性曲线(又称尼柯尔斯图),尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一条曲线。横坐标为相角特性,单位度或弧度。纵坐标为对数幅频特性,单位分贝。横、纵坐标都是线性分度。,二、典型环节与开环系统 频率特性,典型环节,惯性环节:1/(Ts+1),式中T0 一阶微分环节:(Ts+1),式中T0,振荡环节:1/(s/n)2
9、+2s/n+1;式中n0,01,比例环节:K(K0)积分环节:1/s纯微分环节:s,二阶微分环节:(s/n)2+2s/n+1;式中n0,01,最小相位环节:零、极点在源点或S平面左半平面,最小相位系统非与最小相位系统,最小相位传递函数,非最小相位传递函数,在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数,在右半s平面内有极点和(或)零点的传递函数,最小相位系统,非最小相位系统,具有最小相位传递函数的系统,具有非最小相位传递函数的系统,非最小相位环节,比例环节:K(K0 一阶微分环节:(-Ts+1),式中T0振荡环节:1/(s/n)2-2s/n+1;式中n0,00,01延迟环节:,K,1)比例环节:,1
10、、典型环节的极坐标图,比例环节的极坐标图为实轴上的K点。,频率特性:,2)积分环节的频率特性:,积分环节的极坐标图为负虚轴。频率w从0+特性曲线由虚轴的趋向原点。,若考虑负频率部分,当频率w从 0,特性曲线由虚轴的原点趋向+。,3)惯性环节的频率特性:,极坐标图是一个圆,对称于实轴。证明如下:,整理得:,下半个圆对应于正频率部分,而上半个圆对应于负频率部分。,实频、虚频、幅频和相频特性分别为:,讨论 时的情况。当K=1时,频率特性为:,4)振荡环节的频率特性:,当 时,曲线在3,4象限;当 时,与之对称于实轴。,实际曲线还与阻尼系数有关。,由图可见无论是欠阻尼还是过阻尼系统,其图形的基本形状是
11、相同的。,当 时,有谐振峰值。,微分环节有三种:纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为:,频率特性分别为:,5)微分环节的频率特性:,纯微分环节:,微分环节的极坐标图为正虚轴。频率w从0特性曲线由原点趋向虚轴的+。,一阶微分:,一阶微分环节的极坐标图为平行于虚轴的直线。频率w从0特性曲线相当于纯微分环节的特性曲线向右平移一个单位。,二阶微分环节:,幅频和相频特性为:,极坐标图是一个圆心在原点,半径为1的圆。,6)延迟环节的频率特性:,传递函数:,频率特性:,幅频特性:,相频特性:,2、开环系统极坐标频率特性的绘制(绘制奈氏图),设系统开环传递函数由若干典型环节串联,开环频率特性,系统开环幅
12、频和相频分别为,系统的开环极坐标图是当 从 变化,频率特性 向量端点的运行轨迹。绘制极坐标图当然可以选一些频率点,逐点计算 的幅值和相角,然后用光滑曲线连接起来,然而,这样作极坐标图非常麻烦,且没有必要,事实上,只需要作概略图即可。,作极坐标概略图的基本方法步骤:,1)确定起始点 和终止点;,极坐标图与负实轴的交点至关重要,与虚轴和正实轴的交点则不那么重要,甚至可以不求。,2)确定极坐标图与实轴和虚轴的交点;,3)确定角度变化范围。,例1:系统的开环传递函数为:要求绘制它的幅相曲线。,解:系统的开环频率特性为:,开环幅相曲线的终点为:,1)开环幅相曲线的起点为:,2)与实轴交点,令虚部等于零得
13、到:,与虚轴交点,令实部等于零得到:,3)确定角度变化范围:,解:系统的开环频率特性为:,开环幅相曲线的终点为:,1)开环幅相曲线的起点为:,例:2 某零型控制系统,开环传递函数为:试概略绘制系统开环幅相图。,2)与实轴交点,令虚部等于零得到:,与虚轴交点,令实部等于零得到:,3)确定角度变化范围:,例3:某单位反馈系统,其开环传递函数为:试概略绘制系统的开环幅相曲线。,解:系统的开环频率特性为:,开环幅相曲线的终点为:,1)开环幅相曲线的起点为:,2)与实轴交点,令虚部等于零得到:,3)确定角度变化范围:,例4:系统的开环传递函数为:要求绘制它的幅相曲线。,解:系统的开环频率特性为:,开环幅
14、相曲线的终点为:,1)开环幅相曲线的起点为:,2)与实轴的交点:,变化范围:,开环幅相曲线位于第象限或第与第象限。,开环幅相曲线位于第与第象限。,3)确定角度 变化范围:,对数幅频特性:,相频特性:,3、典型环节的波德图,频率特性:,可见斜率为20dB/dec,2)积分环节的频率特性:,对数幅频特性:,为了图示简单,采用分段直线近似表示。方法如下:,低频段:当 时,称为低频渐近线。,高频段:当 时,称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线(表示 每增加10倍频程下降20分贝)。,当 时,对数幅频曲线趋近于低频渐近线,当 时,趋近于高频渐近线。,低频高频渐近线的交点为:,得:,称为
15、转折频率或交换频率。,可以用这两段渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。,3)惯性环节的频率特性:,图中,红、绿线分别是低频、高频渐近线,蓝线是实际曲线。,波德图误差分析(实际频率特性和渐近线之间的误差):,当 时,误差为:,当 时,误差为:,最大误差发生在 处,为,相频特性:,作图时先计算几个特殊点:,由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(w0,45)点是斜对称的,这是对数相频特性的一个特点。,当时间常数T 变化时,对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变,仅仅是根据转折频率1/T 的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时,相频特性不变,幅频特性上下平移。,4)振荡环节的频率
16、特性:,讨论 时的情况。频率特性为:,幅频特性为:,相频特性为:,对数幅频特性为:,低频段渐近线:,高频段渐近线:,两渐近线的交点 称为转折频率。ww0后斜率为-40dB/Dec。,由图可见:对数幅频特性曲线有峰值。,对 求导并令等于零,可解得 的极值对应的频率。,该频率称为谐振峰值频率。可见,谐振峰值频率与阻尼系数z有关,当 时,;当 时,无谐振峰值;当 时,有谐振峰值。,当,。,因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。,由幅频特性,幅值 与 的关系:,左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之
17、间的误差曲线。,当0.3z0.8,误差约为4dB,相频特性:,几个特征点:,相频特性曲线在半对数坐标中关于(w0,90)点是斜对称的。,这里要说明的是当 时,,当 时,。此时若根据相频特性的表达式用计算器来计算只能求出90之间的值(tg-1函数的主值范围),也就是说当 时,用计算器计算的结果要经过转换才能得到。即当 时,用计算器计算的结果要减180才能得到。或用下式计算,5)微分环节的频率特性:,微分环节有三种:纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为:,频率特性分别为:,纯微分:,一阶微分:,这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐近线的交点为,相频特性:几个特殊点如下,相角的变化范



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