计算方法牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式.ppt

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1、第7次 牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式,计算方法(Numerical Analysis),牛顿柯特斯求积公式 牛顿-科特斯求积公式的例子 复合求积公式 复合求积公式的例子附录：复合梯形公式与复合辛普生公式算法实现与流程图,牛顿柯特斯求积公式,采用等距节点的插值型求积公式,4.2 牛顿柯特斯求积公式,是插值基函数。有关系式,定义：在插值求积公式,中,当所取节点,时称为牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式，其中：,是等距,利用等步长的特点计算积分系数Ak,求积节点为：,因此：,可以推出：,代入插值求积公式(4.1)有,称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数,引进记号(柯特斯系数)

2、,则,将区间a,b分为n等分，则n+1个柯特斯系数之和为1,证：由于插值型积分公式的系数Ak 之和等于（b-a）,柯特斯系数的性质,由关系：,得：,2.Ck是不依赖于积分区间a,b以及被积函数f(x)的 常数，只要给出n，就可以算出柯特斯系数。,例如，当n=1时,似曾相识,当n=2时，由,P104 表4-1给出了n从18的柯特斯系数。当n=8时，出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此，实用的只是低阶公式。,似曾相识,Newton-Cotes公式,柯特斯系数列表：当n=8的时候，出现负值，不稳定,对n=6,7,8的情况，见教材。,几个重要的低阶求积公式,在牛顿-柯特斯求积公式中n=1,2,4

3、时，就分别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。,定理4.2（梯形公式的误差）设f(x)在a,b上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为,当b-a1时，误差较大；b-a1时，误差较小,(1)梯形公式（是插值型求积公式）,当n=1时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式,（2）辛卜生公式（是插值型求积公式）,定理4.3（辛卜生公式的误差）设f(x)在a,b上具有连续的四阶导数，则Simpson公式的误差为,定理证明从略。,当n=2时，牛顿-柯特斯公式就是辛卜生公式,当b-a2时，误差较大；b-a2时，误差较小,(3)柯特斯公式（是插值型求积公式）,定理4.4（柯特斯公式的误差）设在a,b上

4、具有连续的6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为：,定理的证明从略。,当n=4时，牛顿-柯特斯公式为：,当b-a4时，误差较大；b-a4时，误差较小,总结：Newton-Cotes公式给出了等距节点的插值型求积 公式的统一计算公式。,定义：在插值求积公式,中,当所取节点,时称为牛顿-柯特斯公式：,是等距,k=0,n,n=1，梯形公式；n=2,辛普生公式；n=4，牛顿-柯特斯公式.,Home,牛顿-柯特斯求积公式例题,例4.11 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分 的近似值.,(1)用梯形公式计算,0.5,1,(2)用辛卜生公式,0.5,1,0.75,误差,(3)用柯特斯公式计算(n=

5、4,4等份，5个节点)，系数为,积分的准确值为,可见，三个求积公式的精度逐渐提高。,0.426777,0.43093,0.43096,例4.12 用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分,的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数),解:辛卜生公式,由于f(x)是3阶多项式，所以,辛卜生公式余项,1,3,2,解:柯特斯公式,知其误差为,该定积分的准确值，此例说明，对于同一个积分，当n2时，两个公式都是精确的。原因：辛卜生公式具有3次代数精度，柯特斯公式具有5次代数精度，它们对被积函数为3次多项式当然是精确成立的。,复合求积公式,4.3 复合求积公式,一般地，应用牛顿-柯特斯求积公式求积分的近似解的时

6、候，随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高。但n8时，开始出现负值的柯特斯系数。因此，可能导致舍入误差增大，且往往难以估计。不能单纯用增加求积节点数（例如，8个节点，确定一个7次多项式来近似被积函数）的方法来提高计算精度。新想法：将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式（低阶多项式），然后把所有小区间上的计算结果整合起来，得到整个区间上的求积公式。此即复合求积公式的基本思想。,4.3.1 复合梯形公式及其误差,上应用梯形公式，得：,将积分区间a,b划分为n等分,步长为,求积节点为,y=f(x),a,b,x1,x2,x3,x4,x5,x6,使用复合梯形公式计算,x,y

7、,然后将Ik累加求和,用作为所求积分I的近似值。,得到复合梯形公式：,(4.5),设f”(x)在a,b上连续,根据上次课关于梯形公式误差的讨论，知在 上梯 形公式的余项为：,复合梯形公式的误差,在a,b上的余项为,(*),因为 在a,b上连续，根据连续函数的介值定理知，存在，使,因此，注意到h=(b-a)/n，得余项,意义：当h0的时候，复合梯形求积公式收敛于f(x)在a,b上的定积分值，收敛阶为O(h2)。可以调整h的值，使得计算的结果满足预先定义的精度。,有界,4.3.2复合辛卜生公式及其误差,合并xk和xk+1项,将积分区间a,b划分为n等分,记子区间 的中点为,在每个小区间上应用辛卜生

8、公式，则有,y=f(x),x1,x2,x3,x,y,x0,类似于复合梯形公式余项的讨论，设 在 a,b上连续，则复合辛卜生公式(4.6)的求积余项为：,得到复合辛卜生公式：,(4.6),复合辛卜生公式的误差,O(h4),有界,若将每个子区间 4等分:,xk,xk+1,x,内分点记为:,复合柯特斯公式:,得复合柯特斯公式:,复合求积公式的余项表明，只要被积函数f(x)所涉及的各阶导数在a,b上连续，那么复合梯形公式、复化辛卜生公式与复化柯特斯公式所得近似值的余项和步长的关系依次为 因此当h0(即n)时,都收敛于积分真值，且收敛阶一个比一个高，收敛速度一个比一个快。,复合求积公式的例子,例4.13

9、 依次用n=8的复合梯形公式、n=4的复合辛卜生公式计算定积分,使用计算器计算f(x)在各个节点上的值,（积分准确值I=0.9460831）,解2：由复合辛卜生公式计算，将区间0,14等分，即n=4，h=0.25.,评：这两种方法计算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值比较，,积分准确值：I=0.9460831,例4.14 用复合梯形公式计算定积分,解:,则,又区间长度b-a=1，对复合梯形公式有余项,即,n 213，取n=213，即将区间0,1分为213等份时，用复合梯形公式计算误差不超过,问区间0,1应分多少等份，才能使误差不超过,Home,同学们计算,作业 P135:3，4题 P136:6题,Home,复合梯形求积算法实现,（1）复合梯形公式计算步骤 确定步长h=(b-a)/N(N 为等分数)对k=1,2,N，计算T=T+f(a+kh)T=hf(a)+2T+f(b)/2,附录：复合梯形公式与复合辛普生公式算法实现与 流程图,（2）复合梯形公式的流程图,（1）复合辛卜生公式计算步骤 确定步长h=(b-a)/N,S1=f(a+h/2),S2=0(N 为等分数)对k=1,2,N-1，计算 S1=S1+f(a+kh+h/2),S2=S2+f(a+kh)S=h f(a)+4S1+2 S2+f(b)/6,复合辛卜生求积算法实现,（2）复合辛卜生公式流程图,