角函数形式的傅里叶级数.ppt

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1、三角函数形式的傅里叶级数周期信号的复指数级数周期信号的功率特性对称信号的傅里叶级数傅里叶有限级数,4.2傅立叶级数,傅里叶生平,1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”一书中,4.2傅立叶级数,傅立叶的两个最主要的贡献,“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点,4.2傅立叶级数,周期信号与傅立叶级数,周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数：三角函数式的 傅立里叶级数 cosn1t,

2、sinn1t 复指数函数式的傅里叶级数 e j n 1t,4.2傅立叶级数,一、三角函数形式的傅里叶级数,直流分量,基波分量n=1,谐波分量n1,4.2傅立叶级数,直流系数,余弦分量系数,正弦分量系数,4.2傅立叶级数,狄利赫利条件：,在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内函数绝对可积，即 一般周期信号都满足这些条件.,4.2傅立叶级数,三角函数是正交函数,4.2傅立叶级数,周期信号的另一种三角函数正交集表示,4.2傅立叶级数,几种系数之间的关系,4.2傅立叶级数,周期信号的频谱,周期信号频谱的周期信号频谱的数学表达式,4.2傅立叶级数,信号的频谱:振幅谱,相位

3、谱.,f(t),解:,(n为奇数),(n为偶数为0),例1：计算下图傅立叶级数和频谱,4.2傅立叶级数,(n为奇数)(n为偶数时为0),4.2傅立叶级数,单边谱和双边谱,4.2傅立叶级数,1单边频谱,若周期信号 的傅里叶展开式为：,则对应的幅度频谱 和相位频谱 称为单边频谱,（a）单边幅度频谱（b）单边相位频谱,周期信号的单边频谱,4.2傅立叶级数,2双边频谱,若 周期信号的傅里叶展开式为：,4.2傅立叶级数,周期复指数信号的频谱图的特点,引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导；Fn 一般是复函数，当 Fn 是实函数时，可用Fn的正负表示0和相位，幅度谱和相位谱合一。,4.2傅立叶级数,

4、周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出：各分量的大小，各分量的频移，,Cn,4.2傅立叶级数,频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，即频谱具有离散性。频谱的每条谱线都只能出现在基波频率的整数倍的频率上，即频谱具有谐波性。频谱的各条谱线的高度，即各次谐波的振幅总是随着谐波次数的增大而逐渐减小；当谐波次数无限增大时，谐波分量的振幅也就无限趋小，即频谱具有收敛性。,周期信号频谱特点,4.2傅立叶级数,二、周期信号的复指数级数,由前知由欧拉公式其中,引入了负频率,4.2傅立叶级数,指数形式的傅里叶级数的系数,两种傅氏级数的系数间的关系,4.2傅立叶级数,两种傅氏级数的系

5、数间的关系,4.2傅立叶级数,周期复指数信号的频谱图,-,4.2傅立叶级数,周期复指数信号频谱图的特点,引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导；cn 是实函数，Fn 一般是复函数，Fn=(1/2)cn;每个分量幅度分在对称的频率分量上；当 Fn 是实函数时，可用Fn 的正负表示0和相位，幅度谱和相位谱合一；,4.2傅立叶级数,三、周期信号的功率特性,P为周期信号的平均功率符合帕斯瓦尔定理,4.2傅立叶级数,四、对称信号的傅里叶级数,四种对称：偶函数：f(t)=f(-t)奇函数：f(t)=-f(-t)半周期重叠对称：f(t)=f(tT/2)奇谐函数：半周期镜像对称f(t)=-f(tT/2)

6、任意周期函数有：,偶函数项 奇函数项,4.2傅立叶级数,周期偶函数只含直流和,其中a是实数bn=0Fn是实数,4.2傅立叶级数,例2:周期三角函数是偶函数,E,f(t),T1/2,-T1/2,t,4.2傅立叶级数,周期奇函数只含正弦项,Fn为虚数,4.2傅立叶级数,例3：周期锯齿波是奇函数,E/2,-E/2,T1/2,-T1/2,f(t),t,0,4.2傅立叶级数,半周期重叠对称,半周期对称平移半个周期与原波形完全重合 波形不变,4.2傅立叶级数,半周期重叠对称波形,实际周期为T/2，实际角频率为20，基波和谐波频率均为0的偶数倍，只有偶次谐波分量。,0,T/2,-T/2,A,4.2傅立叶级数

7、,半周期重叠对称的傅氏级数,4.2傅立叶级数,奇谐函数：,沿时间轴移半个周期；沿时间轴反转重合；波形不变；半周期对称,4.2傅立叶级数,奇谐函数 的波形：,f(t),T1/2,-T1/2,0,t,4.2傅立叶级数,奇谐函数的傅立叶级数,奇谐函数的偶次谐波的系数为0,4.2傅立叶级数,例4：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量,周期偶函数，奇谐函数，只含基波和奇次谐波的余弦分量,周期奇函数，奇谐函数，只含基波和奇次次谐波的正弦分量,4.2傅立叶级数,含有直流分量和正弦分量,只含有正弦分量,含有直流分量和余弦分量,4.2傅立叶级数,五、傅里叶有限级数,如果完全逼近，则 n=;实际中，n=N,

8、N是有限整数。如果 N愈接近 n，则 其均方误差愈小若用2N1项逼近，则,4.2傅立叶级数,误差函数和均方误差,误差函数均方误差,4.2傅立叶级数,例5:对称方波,是偶函数且奇谐函数,只有奇次谐波的余弦项。,E/2,-E/2,T1/4,-T1/4,t,4.2傅立叶级数,对称方波有限项的傅里叶级数,N=1N=2N=3,4.2傅立叶级数,有限项的N越大，误差越小例如:N=11,4.2傅立叶级数,由以上可见：,N越大，越接近方波快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真有吉伯斯现象发生,4.2傅立叶级数,典型周期信号的傅立叶

9、级数,周期矩形脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波脉冲信号周期全波脉冲信号,4.2傅立叶级数,1.周期矩形脉冲信号,f(t),t,0,E,-T,T,4.2傅立叶级数,4.2傅立叶级数,2.周期矩形脉冲的傅立叶级数,4.2傅立叶级数,x(t),Fn,t,0,0,E,T,-T,4.2傅立叶级数,频谱分析表明：,离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。各谱线的幅度按 包络线变化。过零点为：主要能量在第一过零点内。主带宽度为：,4.2傅立叶级数,周期矩形的频谱变化规律：,若T不变，在改变的情况若不变，在改变T时的情况,T,4.2傅立叶级数,对称方波是周期矩形的特例,T1,T1/4,-T1/4,实偶函数,周期矩形奇谐函数,对称方波奇次余弦,4.2傅立叶级数,对称方波的频谱变化规律,T,T/4,-T/4,奇次谐波,0,0,0,1/n,4.2傅立叶级数,傅立叶级数,傅立叶级数的系数,T1 信号的周期,脉宽,基波频率1,傅立叶级数小结,4.2傅立叶级数,