专题07 恒成立问题(讲义)(学生版).docx
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1、专题7恒成立问题【重难点知识点网络】:不等式恒成立问题常见处理方法:分离参数Q/(X)恒成立(QNf(x)可)或Q/(x)恒成立max(a()即可);数形结合(y=()图象在y=gG)上方即可):讨论最值/G)ominmin或/(x)O恒成立;讨论参数.max一、分离参数法1、参变分离:顾名思义,就是在不等式中含有两个字母时(一个视为变量,另一个视为参数),可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧,即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数:一般情况下,那个字母的范围已知,就将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母
2、(一般为所求)视为参数.3、参变分离法的适用范围:判断恒成立问题是否可以采用参变分离法,可遵循以下两点原则:(1)已知不等式中两个字母是否便于进行分离,如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的,则参变分离法可行.但有些不等式中由颦今字母的关系过于“紧密”,会出现无法分离的情形,此时要考虑其他方法.例如:(xT)1等01-X(2)要看参变分离后,已知变量的函数解析式是否便于求出最值(或临界值),若解析式过于复杂而无法求出最值(或临界值),则也无法用参变分离法解决问题.(可参见”恒成立问题一一最值分析法“中的相关题目)4、参变分离后会出现的情况及处理方法:(假设X为自变量,其范围设为。,/(X)为函
3、数;a为参数9Q)为其表达式)(1)若/(X)的值域为m,MDxO,g(Q)/(x),则只需要g(a)G)=mminxO,g(x)f(x),则只需要g(a)f(x),则只需要9Q)f()=Mmax*D,g(q)/(x),则只需要gQ)/(x)=Mmax3xD,g()/(x),则只需要g(。)/(x),则只需要gQ)/(x)=mmin(2)若/(X)的值域为(m,M) xD,gG)(x),则只需要g()mxD,g(q)f(x),则只需要g(q)M(注意与()中对应情况进行对比)mxD,g()/(X),则只需要g(Q)M(注意与.)中对应情况进行对比)3xD、g(q)/(x),则只需要g(q)(x
4、),则只需要gQ)mxk+w5、多变量恒成立问题:对于含两个以上字母(通常为3个)的恒成立不等式,先观察好哪些字母的范围已知(作为变量),那个是所求的参数,然后通常有两种方式处理(1)选择一个已知变量,与所求参数放在一起与另一变量进行分离.则不含参数的一侧可以解出最值(同时消去一元),进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了.(2)将参数与变量进行分离,即不等号一侧只含有参数,另一侧是双变量的表达式,然后按所需求得双变量表达式的最值即可.二、数形结合法1函数的不等关系与图象特征:(1)若qXWD,均有/(乂)g()o/G)的图象始终在g()的上方2、在作图前,可利用不等式的性质对恒成立不
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