结构稳定及极限荷载计算的基本知识.ppt

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1、,9.1 两类稳定问题概述9.2 两类稳定问题分析的方法及简例9.3 结构的极限荷载9.4 极限平衡法及比例加载时极限荷载的一些定理9.5 结论和讨论,第9章 结构稳定及极限荷载计算的基本知识,9.1 两类稳定问题概述,9.1.1 工程结构的稳定问题,加拿大魁北克大桥、美国华盛顿剧院的倒塌事故，1983年北京社会科学院科研楼兴建中脚手架的整体失稳等都是工程结构失稳的典型例子。,刚架、拱、窄长截面梁整体失稳示意图,高层、大跨、高强方向发展，结构的部件或整体丧失稳定性的可能性增大。因此，结构设计除须保证足够的强度和刚度外，保证结构具有足够的稳定性也就日显重要。,9.1.2 稳定问题分类,1.定义,

2、结构中凡受压的杆件均为理想中心受压杆，这类结构体系称为完善体系。图示的结构,在不考虑轴向变形时，均为完善体系。,结构中受压的杆件或有初曲率，或荷载有偏心（例如为压弯联合受力状态），这类结构体系称为非完善体系。,9.1 两类稳定问题概述,2.结构平衡状态的分类,对结构所处的平衡状态作如下分类：稳定的平衡状态外界干扰消除后，结构能完全恢复初始平衡位置，则初始平衡状态是稳定的。不稳定平衡状态外界干扰消除后，结构不能恢复初始平衡位置，则初始平衡状态是不稳定的。经简化抽象，可能出现受干扰后可在任何位置保持平衡的现象，称此现象为随遇平衡状态。,结构随荷载的增加也可能由稳定平衡转为不稳定平衡，这时称结构丧失

3、了稳定。根据失稳前后变形性质（即平衡构形和平衡路径的性质）是否改变等，结构失稳可分为如下三类：,3.稳定问题分类,9.1 两类稳定问题概述,分支点失稳 分支点处既可在原始位置平衡，也可在偏离后的新位置平衡，即平衡具有二重性。,临界荷载小挠度理论（或线性理论）大挠度理论（或非线性理论）,9.1 两类稳定问题概述,极值点失稳 失稳前后变形性质没有变化，力-位移关系曲线存在极值点，其对应的荷载即为临界荷载FPcr，FP达临界荷载FPcr变形将迅速增长，很快结构即告破坏。,9.1 两类稳定问题概述,急跳 对图示扁平二杆桁架或扁平拱来说，当荷载、变形达一定程度时，可能从凸形受压的结构突然翻转成凹形的受拉

4、结构，这就是急跳或跳跃（snap-through）。,9.1 两类稳定问题概述,9.2 两类稳定问题分析的方法及简例,9.2.1 完善体系分支点失稳分析简例,静力法和能量法两种方法。,解：静力法1）按非线性理论分析 考察图b所示失稳后的任意平衡位置，其中为有限值（非微小量）。则,例题 9-1 试求图示结构的临界荷载，其中AB为刚性杆，CAD为弹性杆。,2）按线性理论分析 认为图中为微量，有,3）总结与推广,(1)按静力法，线性与非线性理论所得分支点荷载FPcr完全相同，但线性理论分析过程简单。,9.2 两类稳定问题分析的方法及简例,(2)非线性理论结果表明，FP=FPcr后，要使AB杆继续偏转

5、（角增大），必须施加更大的荷载（FP增加）。而线性理论结果表明，不管角多大，荷载均保持为FPcr，也即所谓随遇平衡。前者与实验吻合，后者实际是一种虚假的现象。静力法线性与非线性理论分析分支点失稳的步骤均为：(1)令结构偏离初始平衡位置，产生可能的变形状态；(2)分析结构在可能变形状态下的受力，作隔离体受力图；(3)由平衡条件建立稳定分析的特征方程；(4)由特征方程在平衡两重性条件下求解临界荷载。,9.2 两类稳定问题分析的方法及简例,例题 9-2 试求图示单自由度结构体系的临界荷载。,解：能量法求解。在分支点失稳问题中，临界状态的能量特征为体系总势能取驻值。,1）按非线性理论计算,9.2 两类

6、稳定问题分析的方法及简例,定义1：从变形位置退回无变形位置过程中外荷载所做的功，称为外力势能，记作 或。,定义2：应变能加外力（外荷载）势能为体系的总势能，记作 或。,由稳定问题临界状态为总势能取驻值的能量特征可得,分支点处（=0）荷载为,9.2 两类稳定问题分析的方法及简例,2）按线性理论计算,9.2 两类稳定问题分析的方法及简例,3）总结与推广(1)体系的总势能等于体系的应变能与体系的外力（荷载）势能之和；,9.2 两类稳定问题分析的方法及简例,(2)确定体系临界荷载的能量准则是体系总势能取驻值，对单自由度体系驻值条件为,式中x是体系位移参数。对多自由度体系总势能是各自由度位移参数的函数，

7、体系驻值条件为,(3)非线性理论分析结果表明荷载达到分支点后，结构受干扰将压溃。由图9-9(c)可见本例的分支点也是极值点。因此设计验算此类结构时要特别小心，应该按非完善体系极值点失稳来验算。,计算体系的弹性应变能和外力势能，从而获得总势能，将总势能表示为位移参数的函数；,9.2 两类稳定问题分析的方法及简例,(4)线性理论分析虽能得出分支点临界荷载正确结果，但不能解释干扰后反而减小的压溃现象，反而给出虚假的随遇平衡结论。,(5)利用体系总势能的能量准则计算临界荷载的方法，称为能量法。它的一般分析步骤为（线性和非线性均适用）：,设定一种满足位移约束条件的可能失稳变形状态（也称失稳构形），将失稳

8、构形用位移参数表示；,从总势能的驻值条件建立稳定性分析的特征方程；,由特征方程解得临界荷载。,例题 9-3 试用线性理论静力法和能量法求图9-10a单自由度结构的临界荷载。,解：1)按静力法求解（1）令体系产生图9-10b所示的可能失稳位移。（2）根据AC杆的转动刚度（形常数），取杆为隔离体，求解所需的受力图如图9-10c所示。（3）对A点取矩可建立如下平衡方程,（4）由于分支点失稳的平衡两重性，可得,图9-10 例题9-3图,9.2 两类稳定问题分析的方法及简例,2）按能量法求解（1）设定可能的失稳变形状态如图9-10b所示，刚性杆转动了角。,（2）由于失稳弹性杆所储存的应变能刚性杆无应变能

9、，所以体系的总应变能,B点相对B点下降了外力势能,总势能,（3）驻值条件，可得稳定方程为,（4）由稳定方程即可求得,9.2 两类稳定问题分析的方法及简例,9.2.2 非完善体系极值点失稳分析简例,例题 9-4 试求图9-11a所示有初偏离角度的单自由度结构体系的临界荷载。图中偏角很微小（1）。,解：静力法求解。1）按非线性理论计算,9.2 两类稳定问题分析的方法及简例,9.2 两类稳定问题分析的方法及简例,2）按线性理论计算,9.2 两类稳定问题分析的方法及简例,3）总结与推广（1）不同的初偏角将影响临界荷载，初偏离增大时减小，这表明制造或安装误差对稳定性都是不利的。（2）非线性理论计算结果存

10、在极值点失稳，这一结果与实际吻合。（3）线性理论计算结果比非线性理论计算结果大，因而是偏于危险的。（对比图9-12 和 图9-13）。（4）在线性理论（微小）前提下，FP()是单调增加的，不存在极值点。（5）非完善体系的临界荷载只能由非线性理论确定。,9.2 两类稳定问题分析的方法及简例,9.2 两类稳定问题分析的方法及简例,9.2.3 完善体系多自由度分支点失稳分析简例,例题 9-5 试求图9-14a所示体系的临界荷载。,解：确定此结构失稳位置需要三个竖向坐标y1、y2、y3，因此这是一个三自由度体系分支点失稳问题。,整体平衡方程,BC部分平衡方程,将FPcr1=kl/3代入式(a)，可得失

11、稳的形态为：,(a),y1y3 2y1y2,9.2 两类稳定问题分析的方法及简例,9.3.1 基本假定 本节分析基于以下基本假定：（1）假定材料具有相同的拉、压力学性能以及理想弹塑性的应力-应变关系，如图9-15所示。实际工程中的建筑钢材，变形不大时的性能与这一假定比较接近。,（2）假定结构上所受荷载是按荷载参数P以同一比例由小变大逐步加载的，同时荷载参数P单调增加，不出现卸载情形，这种加载方式称为比例加载(proportion load)。（3）假定在弹塑性阶段横截面应变仍符合平截面假定。,9.3 结构的极限荷载,9.3.2 基本概念,图9-16纯弯矩形等截面梁的弹塑性过程分析,（1）在基本

12、假定条件下，加载过程中，梁将从弹性阶段经弹塑性阶段，最后进入塑性阶段。,9.3 结构的极限荷载,（2）弹性阶段（图9-16c）以梁边缘应力达屈服应力为终止，屈服弯矩（yield moment），是弹性阶段所能承受的最大弯矩，,（4）荷载增加到使截面上各点的应力均达屈服应力时，梁将破坏，对应截面上的弯矩称为极限弯矩(ultimate moment)。此时的荷载即为极限荷载。,9.3 结构的极限荷载,（5）,（6）,（3）弹塑性阶段,当梁处于非纯弯曲状态时，实验和理论分析结果都表明，对于细长梁，切应力对极限承载力影响很小，可不予考虑。因此，其分析过程和纯弯梁类似。对理想弹塑性体由于变形的增加，将出

13、现塑性铰而使结构破坏。,为极限荷载,9.3 结构的极限荷载,（1）弹塑性阶段,（2）,（3）当 时，跨中截面两侧变形不断增加，可产生有限的相对转动,因为是理想弹塑性材料，截面弯矩并不增加，其作用与铰相似。因此，称此截面为塑性铰（plastic hinge）。,9.3 结构的极限荷载,塑性铰和实际铰的差别,塑性铰和实际铰的差别,（4）在一些简化的非线性分析和极限荷载分析中，认为塑性区仅集中在塑性铰截面，杆件的其他区段都是弹性的。（5）从卸载时的应力应变关系可见，当截面因卸载应力减小时，截面又将回到弹塑性或弹性（有残余应变）状态，因此塑性流动引起的铰链作用消失，故塑性铰是单向的（单方向可允许转动，

14、反方向铰链将闭合）。（6）实际的铰结点允许相连杆件间相对转动，不能传递弯矩而塑性铰截面能承受该截面对应的极限弯矩。,（1）中性轴位置将随弹塑性区的变化而改变。（2）出现塑性铰（截面弯矩达Mu）时中性轴为截面拉、压区面积相等的“等面积轴”。,如果杆件平面弯曲的中性轴并非对称轴，材料仍为拉、压性能相同且具有理想弹塑性的应力-应变关系，同时还不考虑剪力、轴力的影响时，与上述分析过程相似，可以得到以下结论:,9.3 结构的极限荷载,（3）极限弯矩。式中ST和SC分别为拉、压区面积对中性轴的静矩.,9.4 极限平衡法及比例加载时极限荷载的一些定理,根据上述基本概念，结构达极限状态时应该同时满足以下条件：

15、,平衡条件 结构整体或任何部分均应是平衡的.,单向机构条件 结构达极限状态时，对梁和刚架必定有若干（取决于具体问题）截面出现塑性铰，使结构变成沿荷载方向能作单向运动的机构（也称为破坏机构）。,内力局限条件 极限状态时，结构中任一截面弯矩绝对值不可能超过其极限弯矩，亦即。,根据这些条件，经过分析可以确定结构的极限荷载。,9.4.1 极限平衡法,例题 9-6 试求图示单跨超静定梁的极限荷载。已知,图9-18(a)梁的弯矩图形状为图(b)、(c)所示的折线，因此可能的破坏情形（即极限状态）有图9-18(b)（A、D出现塑性铰）和9-18(c)（B、D出现塑性铰，因为，所以B处塑性铰出现在B右截面）两

16、种(特殊情况为A、B、D三截面同时出现塑性铰而破坏，可从上述两种情形中导出)。,解：,9.4 极限平衡法及比例加载时极限荷载的一些定理,求，由图(b)令破坏机构沿荷载方向发生虚位移，建立刚体虚功方程,静力法另解列平衡方程求得：,要出现图(b)所示破坏时，从极限状态弯矩图分析，B截面弯矩必须满足如下条件,9.4 极限平衡法及比例加载时极限荷载的一些定理,要出现图(c)所示破坏情形时，从极限状态弯矩图几何分析，A截面弯矩必须满足如下条件,求，由图(c)令破坏机构沿荷载方向发生虚位移，建立刚体虚功方程,讨论：,时，两种情况都能产生，A、B、D三处都出现塑性铰。极限荷载为,9.4 极限平衡法及比例加载

17、时极限荷载的一些定理,任何结构（静定、超静定）的极限荷载只需分析破坏机构（collapse mechanism），由平衡条件（静力平衡方程或虚功方程）即可求出。这种方法称为极限平衡法(ultimate equation method)。对超静定结构计算无需考虑变形协调条件，因此比弹性计算简单.,超静定结构的温度改变、支座移动等外因只影响结构弹塑性变形的过程（或称历程），并不影响极限荷载值。亦即当仅计算极限荷载时，可不考虑温度改变、支座移动等外因的作用,9.4 极限平衡法及比例加载时极限荷载的一些定理,1）定义（1）只满足单向破坏机构和平衡条件的荷载称为可破坏荷载，记作FP+。（2）只满足内力极

18、限条件和平衡条件的荷载称为可接受荷载，记作FP-。显而易见，极限荷载应该既是可破坏荷载，又是可接受荷载。,9.4 极限平衡法及比例加载时极限荷载的一些定理,9.4.2 比例加载时判定极限荷载的若干定理,2）定理,（1）基本定理 可破坏荷载恒不小于可接受荷载，亦即,9.4 极限平衡法及比例加载时极限荷载的一些定理,证明：,（2）唯一性定理 结构的极限荷载是唯一的。,（3）极小定理 可破坏荷载是极限荷载的上限，亦即,（4）极大定理 可接受荷载是极限荷载的下限，亦即,证明：设结构存在两种极限状态，其极限荷载分别为 和。因为极限荷载既是可破坏荷载，也是可接受荷载，所以可先将 看成可破坏荷载，作为可接受

19、荷载。这时，基于基本定理有。反之，将 看成可破坏荷载，作为可接受荷载，则又可得。要两个都是极限荷载，必须=。证毕。,9.4 极限平衡法及比例加载时极限荷载的一些定理,例题 9-7 图9-19(a)所示等截面梁,Mu=常数。试求在均布荷载作用下的极限荷载。,解：由此梁的弯矩分布可知，当梁处于极限状态时，有一个塑性铰在固定端A形成，另一个塑性铰C的位置是待定的，可应用极小定理确定。,破坏机构，塑性铰C的坐标设为x。,求出此破坏机构的可破坏荷载，列出虚功方程,(弃去),9.4 极限平衡法及比例加载时极限荷载的一些定理,例题 9-8 设有n跨的连续梁，每跨内截面相同，但各跨截面可不相同，也即极限弯矩可

20、以不同。各跨荷载方向指向均相同（这里设指向下方）。试证明此连续梁的极限荷载是每个单跨破坏机构相应可破坏荷载中间的最小者。,证明：分别考虑n个单跨破坏机构，求出相应的n个可破坏荷载 设其中以 为最小。,可设各支座弯矩等于-Mu（如果相邻两跨的值不相等，则取其中的较小者），然后根据平衡条件即可画出在 作用下各跨的M图。由于 是所有单跨破坏荷载中的最小者，因此在这样画出的各跨M图中，任一截面的M都不会超过+Mu值。这就是说，这个M图的确是一个可接受的M图，因而确实是一个可接受荷载。,显然是一种可破坏荷载。,根据唯一性定理，就是极限荷载。,9.4 极限平衡法及比例加载时极限荷载的一些定理,9.5.1

21、结论,（1）稳定性分析中，结构可区分为完善和非完善两类。压杆都是理想中心受压情形为完善体系，否则为非完善体系。,（2）稳定问题主要有两类：分支点和极值点失稳。分支点稳定问题的静力准则为分支点处平衡具有两重性，或称为平衡路径发生分叉。分支点稳定问题的能量准则为总势能取驻值。完善体系一般属分支点稳定问题，非完善体系一般为极值点稳定问题。此时的临界荷载如果小于极限荷载，表明问题由稳定性控制，临界荷载就是极限荷载。反之，表明失稳之前结构便已经破坏，结构失效由弹塑性控制。,（3）分支点稳定线性和非线性理论关于临界荷载的结果是相同的，线性分析要方便得多。但是，线性理论得出“随遇平衡”的状态却是不正确的。,

22、9.5 结论和讨论,（5）稳定性分析可以用静力法，也可以用能量法。对难以用静力法求“精确解”的复杂系统，往往可用能量法来求近似解。这时所设的失稳形态必须满足位移边界条件，如果所设失稳形态就是真实的变形情形，能量法所得的结果是精确的。,（6）在理想弹塑性假定下，全截面应力达到e 时，截面不能承担更大的荷载，可以产生单向相对转动，称此截面出现塑性铰，它是一种单向铰。当结构出现的塑性铰使结构变成单向机构时，对应的状态为极限状态，此时的荷载为极限荷载。,（4）极值点失稳必须应用非线性理论来分析，用线性理论在变形微小条件下得到的所谓“临界荷载”，远大于实际的极值点荷载，因此是很不安全的。,9.5 结论和讨论,9.5.2 讨论,（1）利用压杆刚度方程，结合位移法思想可求解刚架稳定问题。,（2）利用塑性铰线可以计算板的极限承载力。,（7）结构全弹性设计除特别重要结构外，是极不经济的。在理想弹塑性、比例加载、只关心到破坏为止所能承受的荷载大小时，可用极限平衡法计算结构的极限荷载。对简单结构实际上这是一种试算法，首先分析确定可能的破坏形式，根据极限状态的平衡、局限和单向机构条件进行试算，同时满足三条件的就是极限状态，对应的荷载就是极限荷载。,（8）比例加载下的一些定理在简单结构分析中十分有用，也是计算机方法的基础。,9.5 结论和讨论,再见,第9章 结构稳定及极限荷载计算的基本知识,