结构力学矩阵位移法.ppt
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1、结构力学教程(I),第10章 矩阵位移法,10-1 概述10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤及算例10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析10-9 桁架结构的整体分析,主要内容,10-1 概述,1、结构分析方法 1)传统方法前面介绍的力法、位移法、力矩分配法等都是传统的结构分析方法,适用于手算,只能分析较简单的结构。2)矩阵分析方法矩阵力法和矩阵位移法,或称为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形式,以计算机作为计算手段
2、的电算结构分析方法,它能解决大型复杂的工程问题。,2、基本思路,1)手算位移法(1)取基本体系构造各自独立的单跨超静梁的组 合体;(2)写出杆端弯矩表达式建立各杆件的杆端弯矩与杆端位移间的关系;,3)矩阵位移法它是以结点位移作为基本未知量的结构分析方法。由于它易于实现计算过程程序化,故本章只对矩阵位移法进行讨论。杆件结构的矩阵位移法也被称为杆件结构的有限元法。,10-1 概述,(3)根据结点、截面的平衡条件建立力的平衡方程,即位移法方程。2)矩阵位移法(1)结构离散化划分单元;(2)单元分析建立单元的杆端力与杆端位移间的关系,形成单元刚度矩阵;(3)整体分析建立整个结构的结点位移与结点荷载间的
3、关系,形成结构刚度矩阵。,10-1 概述,下面用一道例题来说明矩阵位移法的基本思路。,用位移法解该题:,2、杆端弯矩:,1、未知量:,10-1 概述,3、建立方程:,4、解方程得:,5、回代得:杆端弯矩,10-1 概述,把以上解题过程写成矩阵形式:1、确定未知量:可以通过编号来解决(一个结点一个转角未知量)。2、杆端弯矩表达式(按杆件来写),1-2杆,单元刚度方程,10-1 概述,2-3杆,单元刚度方程,10-1 概述,3、位移法方程:,位移法方程写成矩阵形式:,整体刚度矩阵,4、解方程得:,5、回代得:杆端弯矩,以上五个方面就是我们在本章中需仔细研究的。,10-1 概述,结点荷载列阵,结点位
4、移列阵,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,1、单元划分及编号,在杆系结构中以自然的一根杆件 为一个单元,并以加圈的数字为记号。如图所示为刚架的单元划分。,2、结点编号及未知量确定,结点编号的作用:,用于单元定位确定未知量,结点编号的方法:,先处理法后处理法,因此一个刚结点就有3个位移:,而且支 座位移也要作为未知量。,在确定未知量时:,不忽略轴向变形;,所有单元都是两端固定的。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,后处理法:结点编号如图所示,,先处理法:,例1:,因此未知量为6个。,结点编号如图所示,编号顺序为:先水平,后竖向,再转动。位移为零编“0”号。,由于:,10-2 局部坐标下的单元
5、刚度矩阵,后处理法:单元编号如图所示,,先处理法:,例1:,单元编号如图所示,,单元两头的结点号为:“1”、“2”,如果结点的坐标已知,单元的位置就定了。,单元两头的结点号为:“1,2,3”、“4,5,6”,如果结点的坐标已知,单元的位置同样定了。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,后处理法:结点编号如图所示,,例2:,由于:,因此未知量为7个。,先处理法:结点编号如图所示,7个未知量,号就编到7。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,先处理法:,后处理法:,例3:,结点编号如图所示,,由于:,因此未知量为8个。,结点编号如图所示,8个未知量,号就编到8。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
6、,先处理法:,后处理法:,例3:,单元编号如图所示,,单元编号如图所示。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,后处理法:,例4:,结点编号如图所示,,桁架一个结点2各线位移,由于:,因此未知量为5个。,先处理法:,结点编号如图所示,,8个未知量,号就编到8。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,后处理法:,例4:,单元编号如图所示,,先处理法:,单元编号如图所示,,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,3、建立坐标,坐标系:,局部坐标整体坐标,1)局部坐标,作用:用于表明杆端力及单元定位,方法:x 轴与杆件重合及顺时针转原则。标法如图所示,箭头表示x 轴的方向,y轴 不标出。单元的起始点是“1”
7、,终点是“2”。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,后处理法:,例4:,局部坐标如图所示,,单元定位向量:,先起始点后终点,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,例4:,先处理法:,局部坐标如图所示,,单元定位向量:,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,2)整体坐标,作用:用于建立位移法方程,方法:可根据结构情况及顺时针转原则建立。,表述杆端力时每根杆件都需要一套局部坐标,但建立位移法方程时每个结构则需要一个统一的坐标。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,4、单元刚度矩阵,单元刚度矩阵两端固定单元,由两端发生单 位位移产生的杆端力的矩阵形式。,单元刚度矩阵,局部坐标下的单元刚度矩阵,整体坐标
8、下的单元刚度矩阵,本节先介绍局部坐标下的单元刚度矩阵,以两端固定单元为研究对象,让其两端各发生3个位移,求出6个杆端力,然后写成矩阵形式,即可得到单元刚度矩阵。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,单元形式 两端固定单元杆端位移 每端各三个位移,杆端力 每端各三个杆力,正负号规定 与局部坐标一致为正,相反为负。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,当两端固定单元的两端同时发生六个位移时,六个杆端力可利用叠加原理求出:,1号杆端,2号杆端,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,把杆端力与杆端位移的表达式写成矩阵形式:,=,10
9、-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,=,可缩写成:,-单元刚度方程,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,单元刚度方程:,其中:,-单元杆端力列阵,-单元杆端位移列阵,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,=,-单元刚度矩阵,也可写成:,1,2,2,1,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,单元刚度矩阵的性质,单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。,第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个 杆端力分量。,一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。,不 存在逆矩阵。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,=,1,2,2,1,由上述一般单元的刚度矩阵,可以根据实际情况处理后,得到特殊情况下的单元刚
10、度矩阵。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,1 2 3 4 5 6,123456,例如:已知两端固定单元两头只发生转角,其它位移等于零,同时只需要写杆端弯矩。处理的方法是:把下面刚度矩阵的第1、2、4、5行和列划掉即可。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,两端固定单元两头只发生转角的单元刚度矩阵:,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,1 2 3 4 5 6,123456,又如:已知两端固定单元没有轴向变形,也不需要写杆端轴力。处理的方法是:把下面刚度矩阵的第1、4行和列划掉即可。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,两端固定单元不考虑轴向变形的单元刚度矩阵:,10-2 局部坐标下的单元刚度
11、矩阵,1 2 3 4 5 6,123456,再如:对于轴力杆件的单元刚度矩阵,处理的方法是:把下面刚度矩阵的第2、3、5、6行和列划掉即可。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,轴力杆件的单元刚度矩阵应该是22的,但考虑到斜杆在整体坐标中的需要,写成44的。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,整体坐标下的单元刚度矩阵,如前所述,为了表述杆端力,需要每个单元都要有自己的一套局部坐标系。但当要建立位移法方程时,则需要结构有一套统一的整体坐标系,因此在建立方程之前,必须把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整体坐标下的。下面以一根斜杆为例,说明两套坐标系的转换方法。,
12、10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,局部坐标系中的杆端力,整体坐标系中的杆端力,局部坐标系中杆端力与整体坐标系中杆端力之间的关系:,局部坐标系中的杆端力,整体坐标系中的杆端力,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,其中:T单元坐标转换矩阵,同理:,可缩写成:,写成矩阵形式,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,T单元坐标转换矩阵;,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,T=,其中:,是一正交矩阵,T-1=TT。,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,整体坐标系中的单元刚度矩阵,局部坐标下的单元刚度方程:,将、式代入式,有:,与 比较,令:,杆端力、杆端位移局部坐标和整体坐标的关系式:,等式两边前乘
13、,得:,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,与 同阶,性质类似:,一般单元的 是奇异矩阵。,是对称矩阵。,表示在整体坐标系第j个杆端位移分量=1时引 起的第i个杆端力。,整体坐标下的单元刚度矩阵:,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,计算步骤:,1)对每个结点(包括支座结点)用先处理法或后处理法进行编号;对每个单元进行编号;对每个单元分别建立局部坐标;对结构建立一套整体坐标。,2)对每个单元按式写出局部坐标下的单元刚度矩阵。,3)对每个单元按式写出坐标转换矩阵。,4)对每个单元按式求出整体坐标下的单元刚度矩阵。,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,例1:求图示结构各单元的整体刚度矩阵,杆长5m
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