经济数学边际与弹性.ppt

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1、,一.经济学中常用的几个函数,ESC,3.3 边际与弹性,三.弹性,3.3 边际与弹性,二.边际,1.需求函数与供给函数,2.收益函数,3.成本函数,4.利润函数,一.经济学中常用的几个函数,ESC,3.3 边际 弹性,三.弹性,3.3 边际 弹性,二.边际,1.需求函数与供给函数,2.收益函数,3.成本函数,4.利润函数,ESC,一.经济学中常用的几个函数,1.需求函数与供给函数,(1)需求函数,案例1,需求,需求是指消费者在一定价格条件下对商品的需要,消费者愿意购买而且有支付能力的有效需求.,请问:“商场为什么要打价格战?”,需求价格是指消费者对所需要的一定量的商品所愿支付的价格.,需求

2、函数,假定除商品的价格之外的因素都保持不变,只有商品的价格影响需求.这时,商品的需求量 可以看成是商品价格 的函数,称为需求函数,记作,ESC,一.经济学中常用的几个函数,需求函数的特点:,案例1的 解释,通常假设需求函数是单调减少的.即商品的需求量随价格的上涨而减少,随价格的下降而增加.,需求 曲线,商场通过采取降低价格、增加商品的销售量(需求量)的营销策略,增加销售收入,这正是案例1中商场打价格战的主要原因.,单调减少,需求函数的图像称为需求曲线.,ESC,一.经济学中常用的几个函数,是需求函数的反函数,也称为需求函数,有时称为价格函数.,从,中,需求函数,(2)供给函数,案例2,解出,供

3、给,供给价格是指生产者为提供一定量商品所愿意接受的价格.,供给 函数,假定除商品的价格之外的因素都保持不变,只有商品的价格影响供给量.这时,商品的供给量 可以看成是该商品价格 的函数,称为供给函数,记作,请问:“为什么有的商家要囤积商品,等待时机再销售?”,供给是指在某一时期内,生产者在一定价格条件下,愿意并可能出售的产品.,ESC,一.经济学中常用的几个函数,案例2的 解释,通常假设供给函数是单调增加的.即商品的供给量随价格的上涨而增加,随价格的下降而减少.,供给 曲线,价格越高,厂商越愿意供给商品,价格太低,厂商不会供给商品.这正是案例2中有的商家要囤积商品,等待时机再销售的主要原因.,单

4、调增加,供给函数的图像称为供给曲线.,供给函数的特点:,在经济学上应理解为,只有当价格超过 时,生产者才开始提供产品.,ESC,一.经济学中常用的几个函数,(3)局部市场均衡,均衡是指经济现象中变动着的各种力量处于一种暂时的稳定状态.,当,=,可得,市场的需 求量,市场的供 给量,均衡数量,均衡价格,需求曲线,供给曲线,均衡数量,均衡价格,ESC,解,练习1,一.经济学中常用的几个函数,市场上对某种衬衫的需求函数为 该种,由前述均衡价格 和均衡数量 的含义及题设知,应有,解上述方程组,可得均衡价格 和均衡数量:,即该种衬衫的均衡价格为50元,均衡数量为1500件.,当价格低于50元时,需求大于

5、供给;当价格高于50元时,供给大于需求.,衬衫的供给函数为.试确定该种衬衫的均衡价格 和均衡数量.,ESC,一.经济学中常用的几个函数,2.收益函数,收益,收益是指生产者出售商品的收入.,总收益 函数,总收益是指将一定量产品出售后所得到的全部收入.总收益记作,总收益 为销售价格 与销售数量 的乘积.若以销量 为自变量,总收益 为因变量,则 与 之间的函数关系称为总收益函数.,在已知需求函数 时,总收益函数,(1)需求函数,ESC,一.经济学中常用的几个函数,总收益函数,总收益函数的曲线,平均收 益函数,因需求函数 单调减少,且,平均收益是指出售一定量的商品时,每单位商品所得的平均收入,即每单位

6、商品的售价.平均收益函数,记作,则,ESC,一.经济学中常用的几个函数,练习2 某公司出售移动硬盘,并规定:,的总收益,则,售出的移动硬盘个数,每个移动硬盘的售价.,分析:依题设,设 表示售出的移动硬盘个数,表示销售移动硬盘获得,对于不超过150个的订购合同,每个移动硬盘售价定为200元;对超出150个的订购合同,超过150个的部分每个移动硬盘的售价按八折销售.试写出该公司销售移动硬盘获得的总收益与售出移动硬盘个数的函数关系.,不超过150个,按每个200元出售;,超过150个,150个按每个200元出售;,超过的每个按八折出售.,解,ESC,练习2(续解),一.经济学中常用的几个函数,综上,

7、该公司销售移动硬盘获得的总收益 与售出的移动硬盘个数 的函数关系为,分段函数,当 时,超过150个的部分,每个移动硬盘的售价,(元).,(元).,于是,此时,于是,此时,当 时,每个移动硬盘的售价为200元.,(元).,ESC,一.经济学中常用的几个函数,3.成本函数,总成本是指生产特定产量的产品所需要的成本总额.,(1)总成本函数,固定成本,可变成本,指尚没生产产品时的支出,在一定限度内是不 随产量变动而变动的费用.如厂房费用、机器 折旧费用,一般管理费用、管理人员的工资等.,指随产量变动而变动的费 用,如原材料、燃料和动力 费用,生产工人的工资等.,总成本 函数,若以 表示产量,表示总成本

8、,则 与 之间的函数关系称为总成本函数,记作,是固定成本,是可变成本,ESC,一.经济学中常用的几个函数,总成本函 数的性质:,总成本函 数的曲线,单调增加,(1)总成本函数是单调增函数,这是因为当产量增加时,成本总额必然随之增加;,(2)固定成本非负,即.这很显然,在尚没生产商品时,也需要支出,这与产量无关的支出是固定成本.因此可将 理解为固定成本,即.,ESC,一.经济学中常用的几个函数,平均成本函数的曲线,平均成本,(2)平均成本 函数,平均成本是平均每个单位产品的成本.平均成本记作.若已知总成本函数,则平均成本函数为,ESC,一.经济学中常用的几个函数,4.利润函数,在假设产量与销量一

9、致的情况下,总利润函数定义为总收益函数 与总成本函数 之差.若以 表示总利润,则总利润函数(简称利润函数),显然,当 时,为盈利;,当 时,为亏损.,ESC,一.经济学中常用的几个函数,总成本函数非线性时,在需求函数是单调减的情况下 销售产品,其总收益函数的曲线,总利润函 数的曲线,盈亏平衡点,盈亏平衡点,亏损,亏损,盈利,ESC,边际,在经济分析中,通常用“边际”这个概念来描述一个变量关于另一个变量的变化情况.“边际”表示在的某一个值的“边缘上”的变化情况,即从一个给定值发生微小变化时的变化情况.显然,这是的瞬时变化率,也就是变量对变量的导数.,即边际概念就是导数的经济意义.,由导数的定义知

10、,函数的导数是函数的变化率.它实质上描述了由该函数所表示的那个事物或现象的变化情况.,二.边际,ESC,案例3,已知生产某产品的总成本,如何确定边际成本?,是指生产最后增加的那个单位产品所花费的成本.即,边际成本是每增加或减少一个单位产品而使总成本变动的数值.边际成本记作,总成本与边际成本的关系,我们以具体数值来说明:,之差,之差,之差,之差,之差,之差,二.边际,ESC,案例3,已知生产某产品的总成本,如何确定边际成本?,在高等数学中,假设总成本函数 是可导的.,则比值,若已经生产 单位的产量,在此产出水平上,产量增至,就是产量由 增至 这一生产过程中,每增加单位产量总成本的增量.,令 则极

11、限,就表示产量为某一值 的“边缘上”总成本的变化情况.,这样一个极限就是产量为 单位时总成本的变化率,称为产量为 时的边际成本,记作,二.边际,ESC,案例3,已知生产某产品的总成本,如何确定边际成本?,这样一个极限就是产量为 单位时总成本的变化率,称为产量为 时的边际成本,记作,即边际成本就是总成本 对产量 的导数,边际成本函数为,边际成本可解释为:生产第 单位产品,总成本增加(实际上是近似的)的数量,即生产第单位产品所花费的生产成本(不包括固定成本).,二.边际,ESC,线性总成本函数,这说明,产量为任何水平时,每增加单位产品,总成本都增加6.,练习3,由于,三次总成本函数,练习4,由于,

12、即边际成本是的 函数,说明在不同的产量水平上,每增加单位产品,总成本的增加额将是不同的.,二.边际,ESC,练习4,即边际成本是的 函数,说明在不同的产量水平上,每增加单位产品,总成本的增加额将是不同的.,(续),例如,当 时,这表明,生产第4个单位产品,总成本将增加28个单位,即生产第4个单位产品所花费的生产成本为28.,例如,当 时,这表明,生产第5个单位产品,总成本将增加35个单位,即生产第5个单位产品所花费的生产成本为35.,二.边际,ESC,边际,对于其它经济函数,“边际”概念有类似的意义.,即对经济学中的函数而言,因变量对自变量的导数,统称为“边际”.,边际 收益,总收益函数,则

13、对 的导数称为边际收益,记作 即,边际收益可解释为:销售第 单位产品,总收益增加的数额,即销售第 单位产品所得到的收益.,二.边际,ESC,三.弹性,1981年秋烟酒提价为什么没能达到预期目的?,案例4,80年代初,我国处于计划经济时期,各种商品的价格都由国家物价管理局统一制定.当时,烟酒价格偏低,供不应求.物价部门于1981年秋,决定对烟酒进行提价,主要想达到以下两个目的:一是使供需达到基本平衡:二是增加烟酒行业收入.,背景 资料,效果 评价,由于烟酒不是老百姓的生活必需品,且当时的工资水平很低.在某些地区,由于烟酒提价的幅度较大,致使烟酒的销售量很快降了下来,甚至发生了积压现象,由原来的供

14、不应求变为供过于求,没能实现供需基本平衡的目的,当然也没能实现增加收入的目的.,1.需求价格弹性,ESC,1981年秋烟酒提价为什么没能达到预期目的?,案例4,原因 分析,这件事情表明,由于物价部门没能掌握适当的提价幅度,也就是说,未能掌握烟酒的需求量对价格变化的反应程度,导致事与愿违.,需求价格弹性能为这类问题的解决提供有效的数学工具.,对策,在市场经济的今天,需求价格弹性对于确定商品的价格、调整商品的价格,起着重要的参考作用.,三.弹性,ESC,(1)需求价格弹性的定义,案例5,对某种商品,已知价格 与需求 之间的关系,如何分析价格变动时,需求对价格变动的反应程度?,格的相对改变量是,需求

15、相对应的相对改变量是 则需求,价格弹性记作,定义为,设某一商品价格为 时,其需求量为,当价格从 开始提高或降低 时,需求减少或增加 这时,价,三.弹性,ESC,(1)需求价格弹性的定义,需求价格弹性,因此,在经济分析中,需求价格弹性 反映了需求量变动对价格变动的敏感程度.,由于 与 是按相反方向变化的,这个比值是一个负数.它表明当价格为 时,若价格提高或降低百分之一,需求由 起减少或增加的百分数.,三.弹性,ESC,例如,某商品的价格 为10元时,需求量 是100件;,这时,价格变化(提高)的百分数是,从而需求价格弹性,上述计算结果表明:商品由原来价格10元提高了20%,需求由原需求量100件

16、降低了5%.若用需求价格弹性表示,则是价格在10元时提高了1%,需求则由原100件降低了,而需求量变化(减少)的百分数是,当价格 为12元时,需求量 是95件.,这是用初等数学描述需求价格弹性.,三.弹性,ESC,下面,我们给出需求价格弹性的定义:,下面用高等 数学来描述 需求价格弹性.,设需求函数是 当价格从 起改变了 时,价格的相对改变量是 需求相对应的相对改变量则是,设需求函数 可导,则极限,称为需求函数在点 的 需求价格弹性,记作,三.弹性,ESC,即,一般情况,由于,因假设需求函数是单调减函数,知,故,在点的需求价格弹性,记作,即,设商品价格为 时,需求量为.需求价格弹性 的经济意义

17、是:在价格为 时,若价格提高或降低1,需求量将由 起减少或增加(近似地).所以需求价格弹性反映了当价格变动时相应的需求量变动对价格变动的灵敏程度.,三.弹性,ESC,练习5,已知某商品的需求函数为,并说明经济意义.,解 由于,故,当 时,又当 时,三.弹性,ESC,练习5,已知某商品的需求函数为,并说明经济意义.,续解,当 时,又当 时,当 时,又当 时,三.弹性,ESC,(2)需求价格弹性的分类,生活必需品多属于这种情况.,奢侈品多属于这种情况.,三.弹性,ESC,(3)需求价格弹性与收益的关系,在经济分析中,应用商 品的需求价格弹性,可 以指明当价格变动时,销售总收益的变动情况.,设是需求

18、函数 将总收益表示为价格 的函数,即,对 的导数是 关于价格 的边际收益,三.弹性,ESC,(3)需求价格弹性与收益的关系,注意到 有,这时,总收益随价格的提高而增加.换句话说,当需求是低弹性时,由于需求下降的幅度小于价格提高的幅度,因而提高价格可使总收益增加.,春运期间的火车票价,三.弹性,ESC,(3)需求价格弹性与收益的关系,注意到 有,在这种情况下,提高价格,总收益随反而减少.这是因为需求是富有弹性的,需求下降的幅度大于价格提高的幅度.,前面提到的81年烟酒提价问题,就是因为烟酒是富有弹性的商品,当时,由于人们对烟酒需求下降的幅度大于价格提高的幅度,因而提高价格没有达到增加收入的目的.

19、,豪华旅游,别墅,高档轿车,三.弹性,ESC,(3)需求价格弹性与收益的关系,注意到 有,这时,总收益是常数.这表明总收益不因价格的变动而变动.,以上分析说明,测定商品的需求价格弹性,对进行市场分析,确定或调整商品的价格有参考价值.,三.弹性,ESC,案例6,情人节期间,情人之间互赠礼物.男子往往会送情人玫瑰花,女子会送情人巧克力.,背景 资料,原因 分析,玫瑰花价格上涨有两个原因:一是玫瑰花的生产是有一定的时间周期的,其供给量在短时间内不可能增加很多;二是玫瑰不便于保存.,2.供给价格弹性,巧克力的价格上涨幅度小是因为增加巧克力的产量比较容易,节日前储备大量巧克力以满足节日需求也不难.,背景 资料,情人节期间,一般情况下,为什么玫瑰花的价格比巧克力的价格上涨幅度大?,三.弹性,ESC,供给价格弹性是反映当价格变动时,相应商品的供给量变动对价格变动的灵敏程度.,2.供给价格弹性,又,设供给函数 是可导的,记 为供给价格弹性,定义为,所以,供给价格弹性 取正值.,设商品价格为 时,供给量为.供给价格弹性 的经济意义是:在价格为 时,若价格提高或降低1,供给量将由 起增加或减少,三.弹性,ESC,练习6,并说明经济意义.,解 由于,故,当 时,又当 时,已知某产品的供给函数为,于是,三.弹性,