等数学多元复合函数的求导法则PPT课件.ppt

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1、第四节 复合函数求导法则,先回忆一下一元复合函数的微分法则：,，则复合函数,对 x 的导数为：,这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用.,那么为什么还要介绍多元复合函数的微分呢？,这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数,如,由于 f 没有具体给出，,一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此要引入多元复合函数的微分法来解决这一问题。,一、多元复合函数求导的链式法则,定理.若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复

2、合函数,证:设 t 取增量t,则相应中间变量,且有链式法则,有增量u,v,(全导数公式),(t0 时,根式前加“”号),推广:,1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.,2)中间变量是多元函数的情形.例如,又如,当它们都具有可微条件时,有,注意:,这里,表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导,口诀:,分线相加,连线相乘,与,不同,例,解,例2.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,设,求,例,解,设,求,例,解,自己做,例,解,设函数,均可微,求,g,g,例,解,设函数,均可微,求,g,g,例,解,为简便起见,引入记号,例.设,f 具有二阶连续偏导

3、数,求,解:令,则,二、全微分形式不变性,全微分形式不变性的实质：无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理,且作微分运算的结果对自变量的微分,来说是线性的，从而为解题带来很多方便，而且也不易出错。,设,应用全微分形式不变性求,例,解,设,应用全微分形式不变性求,例,解,总结：关于多元复合函数求偏导问题,这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公

4、式，在解题时自如地运用公式：,用图示法表示出函数的复合关系,函数对某个自变量的偏导数的结构,（项数及项的构成）,仍是复合函数,且复合结构与原来的 f(u,v)完全相同,即仍是以 u,v 为中间变量，以 x,y 为自变量的复合函数,因此，求它们关于 x,y 的偏导数时必须使链式法则,是与 f(u,v)具有相同结构的复合函数，易被误认为仅是 u 的函数，从而导致漏掉,原因就是不注意,求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量,注意引用这些公式的条件,外层函数可微（偏导数连续）,内层函数可导,的合并问题,视题设条件而定。,三、小结,1、链式法则（分三种情况）,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,2、全微分形式不变性,（理解其实质）,思考与练习,解答提示:,P31 题7,P31 题7;8(2);P73 题11,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P31 题8(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P31 2;4;6;9;10;12(4);13,P73题 11,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1.已知,求,解:由,两边对 x 求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,求,解:由题设,(2001考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P31 2;4;6;8(2)(3);11;12(4);,