电磁场与电磁波-第四版-第三章.ppt

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1、1,第3章 静态电磁场,2,本章内容 3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析,静态电磁场：场量不随时间变化，包括：静电场、恒定电场和恒定磁场,时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立,3,3.1 静电场分析,学习内容 静电场的基本方程和边界条件 电位函数 导体系统的电容 静电场的能量,4,2.边界条件,微分形式：,本构关系：,1.基本方程,积分形式：,或,若分界面上不存在面电荷，即S0，则,或,3.1.1 静电场的基本方程和边界条件,5,由,即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数 称为静电场

2、的标量电位或简称电位。,1.电位函数的定义,电位函数,6,2.电位的表达式,对于连续的体分布电荷，由,面电荷的电位：,故得,点电荷的电位：,线电荷的电位：,7,3.电位差,上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得,关于电位差的说明,P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；电位差也称为电压，可用U 表示；电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。,8,静电位不惟一，可以相差一个常数，即,选参考点,令参考点电位为零,电位确定值(电位差),两点间电位差有定值,选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义；应使电位表

3、达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点；同一个问题只能有一个参考点。,4.电位参考点,为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即,9,在均匀介质中，有,5.电位的微分方程,在无源区域，,10,6.静电位的边界条件,设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间距离l0时,若介质分界面上无自由电荷，即,导体表面上电位的边界条件：,由 和,常数，,11,电容器广泛应用于电子设备的电路中：在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路

4、、选频等作用；通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路；在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率；,3.1.3 导体系统的电容与部分电容,12,电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能力的物理量。,孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即,1.电容,孤立导体的电容,两个带等量异号电荷（q）的导 体组成的电容器，其电容为,电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。,13,(1)假定两导体上分别带电荷+q 和-q；(2)计算两导体间的电场强度E；,计算电

5、容的步骤：,(4)求比值，即得出所求电容。,(3)由，求出两导体间的电位差；,14,解：设内导体的电荷为q，则由高斯定理可求得内外导体间的电场,同心导体间的电压,球形电容器的电容,当 时，,例3.1 同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为b，其间填充介电常数为的均匀介质。求此球形电容器的电容。,15,例 3.2 如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的轴线距离为D，且D a，求传输线单位长度的电容。,解 设两导线单位长度带电量分别为 和。由于，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为,两导线间的电位差,

6、故单位长度的电容为,16,例3.3 同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。,内外导体间的电位差,解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为,故得同轴线单位长度的电容为,17,如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。,静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量,静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。,任何形式的带电系统，都要经过从没有电

7、荷分布到某个最终电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而作功。,3.1.4 静电场的能量,18,1.静电场的能量,设系统从零开始充电，最终带电量为 q、电位为。充电过程中某一时刻的电荷量为q、电位为。(01)当增加为(+d)时，外电源做功为:(q d)。对从0 到 1 积分，即得到外电源所做的总功为,根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电场能量We，即,对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元dV中的电荷dV具有的电场能量为,19,故体分布电荷的电场能量为,对于面分布电荷，电场能量为,对于多导体组成的带电系统，则有,第i个导体所带的电荷,第

8、i个导体的电位,式中：,20,2.电场能量密度,从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。,电场能量密度：,电场的总能量：,对于线性、各向同性介质，则有,21,由于体积V外的电荷密度0，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面S无限扩大时，则有,故,推证：,22,例3.4 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电荷，试求静电场能量。,解：利用 计算,根据高斯定理求得电场强度,故,23,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,由JE 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分

9、布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。,恒定电场与静电场重要区别：（1）恒定电场可以存在导体内部。（2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。,恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。,24,3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件,1.基本方程,恒定电场的基本方程为,微分形式：,积分形式：,恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度,线性各向同性导电媒质的本构关系,恒定电场的电位函数,由,若媒质是均匀的，则,25,2.恒定电场的边界条件,场矢量的边界条件,即,即,场矢量的折射关系,26,电位的

10、边界条件,恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等位面；,说明：,27,3.2.2 恒定电场与静电场的比拟,如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。,28,恒定电场与静电场的比拟,29,例3.5 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为1和2、电导率为 1和2。设内

11、导体的电压为U0，外导体接地。求：两导体之间的电流密度和电场强度分布。,外导体,内导体,介质2,介质1,30,设同轴电缆中单位长度的径向电流为I,则由 可得电流密度,介质中的电场：,解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，由求出电流密度 的表达式，然后求出 和，再由 确定出电流 I。,31,故两种介质中的电流密度和电场强度分别为,由于,于是得到,32,工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流

12、 J 存在。,漏电流与电压之比为漏电导，即,其倒数称为绝缘电阻，即,3.2.3 漏电导,33,(1)假定两电极间的电流为I；计算两电极间的电流密度 矢量J；由J=E 得到 E;由，求出两导 体间的电位差；(5)求比值，即得出 所求电导。,计算电导的方法一：,计算电导的方法二：,静电比拟法：,34,例3.6 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为l，其间媒质的电导率为、介电常数为。,解：直接用恒定电场的计算方法,电导,绝缘电阻,设由内导体流向外导体的电流为I。,35,3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 电感 恒定磁场的能量,3.3 恒定磁场分析

13、,36,微分形式:,1.基本方程,2.边界条件,本构关系：,或,若分界面上不存在面电流，即JS0，则,积分形式:,或,3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件,37,矢量磁位的定义,磁矢位的任意性 与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即,由,即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。,磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的A，可以对A的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。,1.恒定磁场的矢量磁位,3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位,38,磁矢位的微分方程,在无源区：,利用磁矢位计算磁通

14、量：,39,2.恒定磁场的标量磁位,一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电流（J0）的空间 中，则有,即在无传导电流（J0）的空间中，可以引入一个标量位函数来描述磁场。,标量磁位的引入,磁标位的微分方程(均匀线性各向同性介质,40,1.磁通与磁链,3.3.3 电感,单匝线圈形成的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量,多匝线圈形成的导线回路的磁 链定义为所有线圈的磁通总和,粗导线构成的回路，磁链分为 两部分：一部分是粗导线包围 的、磁力线不穿过导体的外磁通量o；另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量i。,41,设回路C中的电流为I，所产生的磁场与回路 C 交

15、链的磁链为，则磁链 与回路 C 中的电流 I 有正比关系，其比值,称为回路 C 的自感系数，简称自感。,外自感,2.自感,内自感；,粗导体回路的自感：L=Li+Lo,自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围磁介质有关，与电流无关。,自感的特点：,42,解：先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为I，由安培环路定理,穿过沿轴线单位长度的矩形面积元dS=d的磁通为,例3.7 求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为a，外导体厚度可忽略不计，其半径为b，空气填充。,得,与di交链的电流为,则与di相应的磁链为,43,因此内导体中总的内磁链为,故单位长度的内自感为,再求内、外导体间的外自感。,则,故单位长度的

16、外自感为,单位长度的总自感为,44,例3.8 计算平行双线传输线单位的长度的自感。设导线的半径为a，两导线的间距为D，且D a。导线及周围媒质的磁导率为0。,穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为,解 设两导线流过的电流为I。由于D a，故可近似地认为导线中的电流是均匀分布的。应用安培环路定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的磁感应强度为,45,于是得到平行双线传输线单位的长度的外自感,两根导线单位的长度的内自感为,故得到平行双线传输线单位的长度的自感为,46,对两个彼此邻近的闭合回路C1和回路C2，当回路C1中通过电流 I1时，不仅与回路C1交链的磁链与I1成正比，

17、而且与回路C2交链的磁链12也与I1成正比，其比例系数,称为回路C1 对回路C2 的互感系数，简称互感。,3.互感,同理，回路 C2 对回路 C1 的互感为,47,互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围 磁介质有关，而与电流无关。,满足互易关系，即M12=M21,互感的特点：,48,3.3.4 恒定磁场的能量,1.磁场能量,在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势作功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。,电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定 磁场具有能量。,磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从 零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因

18、 而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。,假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。,假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐 射损耗。,49,设回路从零开始充电，最终的电流为 I、交链的磁链为。在时刻t 的电流为i=I、磁链为=。(01),根据能量守恒定律，此功也就是电流为 I 的载流回路具有的磁场能量Wm，即,对从0 到 1 积分，即得到外电源所做的总功为,外加电压应为,所做的功,当增加为(+d)时，回路中的感应电动势:,50,对于多个载流回路，则有,对于体分布电流，则有,例如，两个电流回路C1和回路C2,51,2.磁场能量密度,从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。,磁场能量密度：,磁场的总能量：,对于线性、各向同性介质，则有,52,若电流分布在有限区域内，当闭合面S无限扩大时，则有,故,推证：,53,例3.8 同轴电缆的内导体半径为a，外导体的内、外半径分别为 b和c，如图所示。导体中通有电流 I，试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。,解：由安培环路定律，得,54,三个区域单位长度内的磁场能量分别为,