材料力学土木类第六章简单的超静定问题.ppt

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1、第6章 简单的超静定问题,6.1 超静定问题及其解法,静定结构:仅靠静力平衡方程就可以求出结构的约束反力或内力,超静定结构(静不定结构):静力学平衡方程不能求解 超静定结构的未知力的数目多于独立的平衡方程的数目；两者的差值称为超静定的次数,习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为多余约束，相应的约束反力称为多余未知力。超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目。从提高结构的强度和刚度的角度来说，多余约束往往是必需的，并不是多余的 超静定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、物理关系得出需要的补充方程；则可求解超静定问题。,补充方程：为求出超静定结构的

2、全部未知力，除了利用平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补充方程的数目等于多余未知力的数目。根据变形几何相容条件，建立变形几何相容方程，结合物理关系（胡克定律），则可得出需要的补充方程。补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧。此处我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题进行说明。,6.2拉压超静定问题,1 拉压超静定问题解法,例 两端固定的等直杆 AB，在 C 处承受轴向力F如图，杆的拉压刚度为 EA，求杆的支反力.,解：一次超静定问题,(1)力：由节点 A 的平衡条件列出杆轴线方向的平衡方程,（2）变形：变形协调条件(求补充方程)可选取固定端 B 为多余约束，予以解除，在该处的施加对应

3、的约束反力FB，得到一个作用有原荷载和多余未知力的静定结构-称为原超静定结构的基本静定系或相当系统,注意原超静定结构的 B 端约束情况，相当系统要保持和原结构相等，则相当系统在 B 点的位移为零。,即得变形协调条件,在相当系统中求 B 点的位移,按叠加原理，可得,（3）胡克定理(物理关系),（4）得出补充方程,得,FB为正,表明其方向与图中所设一致.,例 设l，2，3杆用铰连接如图，1、2两杆的长度、横截面面积和材料均相同，即l1=l2=l，A1=A2=A，E1=E2=E；3杆长度为l3，横截面面积为A3，弹性模量为E3,试求各杆的轴力。,解：一次超静定问题(1)力：由节点A的平衡条件列出平衡

4、方程,(2)变形：变形协调条件(求补充方程),(3)胡克定理,A,(4)得出补充方程,联立平衡方程、补充方程，求解得,在超静定杆系中，各杆轴力的大小和该杆的刚度与其它杆的刚度的比值有关 增大或减少1、2两杆的刚度，则它们的轴力也将随之增大或减少；杆系中任一杆的刚度的改变都将引起杆系各轴力的重新分配。这些特点在静定杆系中是不存在的。,归纳起来，求解超静定问题的步骤是：(1)根据分离体的平衡条件，建立独立的平衡方程；(2)建立变形协调条件，求补充方程(3)利用胡克定律，得到补充方程；(4).联立求解,例 一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性模量均分别相同，用A、l、E 表示。设AC为一刚性横梁

5、，试求在荷载F 作用下各杆的轴力,解:(1)受力分析-平衡方程,(2)变形分析协调条件（求补充方程）,(3)胡克定理,(4)联立求解得,得出补充方程,2 装配应力 温度应力,(1)装配应力,在静定问题中，只会使结构的几何形状略有改变，不会在杆中产生附加的内力.如1杆较设计尺寸过长，仅是A点的移动。在超静定问题中，由于有了多余约束，就将产生附加的内力.附加的内力称为装配内力,与之相应的应力则称为装配应力,装配应力是杆在荷载作用以前已经具有的应力，也称为初应力。,例 两铸件用两钢杆1、2连接如图，其间距为 l=200mm。现需将制造得过长e=0.11mm的铜杆3装人铸件之间，并保持三杆的轴线平行且

6、有等间距a。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径d=10mm，铜杆横截面为20mm 30mm的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E=100GPa。铸件很厚，其变形可略去不计。,解：画出结构装配简图，并可确定装配后3 杆受压，1、2杆受拉,(1)列出平衡方程,一次超静定问题,变形分析协调条件（求补充方程）因铸件可视作刚体，其变形相容条件是三杆变形后的端点须在同一直线上。由于结构在几何和物性均对称于杆3，可得变形协调条件为,(3)胡克定理,得出补充方程,(4)联立求解得,所得结果均为正，说明原先假定杆1，2为拉力和杆3为压力是正确的。,将已知数据代人，可得装配应力为,计算中注意单位

7、,在超静定问题里，杆件尺寸的微小误差，会产生相当可观的装配应力。这种装配应力既可能引起不利的后果，也可能带来有利的影响。土建工程中的预应力钢筋混凝土构件，就是利用装配应力来提高构件承载能力的例子。,(2)温度应力,静定问题：由于杆能自由变形，由温度所引起的变形不会在杆中产生内力。超静定问题：由于有了多余约束，杆由温度变化所引起的变形受到限制，从而将在杆中产生内力。这种内力称为温度内力。与之相应的应力则称为温度应力。杆的变形包括两部分：即由温度变化所引起的变形，以及与温度内力相应的弹性变形。,例 图示的等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连接。设两支承间的距离(即杆长)为l，杆的横截面面积为A，材

8、料的弹性模量为E，线膨胀系数为l。试求温度升高t时杆内的温度应力。,解：一次超静定（1）变形：如杆只有一端(A端)固定，则温度升高以后，杆将自由伸长。,现因刚性支承 B 的阻挡，使杆不能伸长，相当于在杆的两端加了压力FN而将杆顶住，而保持 B 点的不动。,得到变形协调条件(求补充方程),使用胡克定理得,温度引起的变形,得出补充方程,解得,温度应力,以上计算表明，在超静定结构中，温度应力是一个不容忽视的因素。在铁路钢轨接头处、混凝土路面中，通常都留有空隙；高温管道隔一段距离要设一个弯道，都为考虑温度的影响，调节因温度变化而产生的伸缩。如果忽视了温度变化的影响，将会导致破坏或妨碍结构物的正常工作。

9、,如杆为钢杆，l=1.210-5/(oC),E=210GPa,如温度升高 t=40 oC，杆内的温度应力为,6.3 扭转超静定问题,扭转超静定问题的解法，同样是综合考虑静力、几何、物理三方面。其主要难点仍是由变形协调条件建立补充方程。,例 两端固定的圆截面杆 AB，在截面 C 处受一扭转力偶矩 Me 作用如图。已知杆的扭转刚度为GIp，试求杆两端的支反力偶矩。,解：一次超静定,设想固定端B为多余约束，解除后加上相应的多余未知力偶矩MB，得基本静定系。,变形协调条件：根据原超静定杆的约束情况，基本静定系在B端的扭转角应等于零,即变形协调条件为,平衡方程：设固定端A的支反力偶为MA,方向同MB,按

10、叠加原理：,BB、BM分别为MB、Me引起的在杆端B的扭转角。,线弹性时，物理关系(胡克定理)为,代入上式可解得,MA可平衡方程求得。,例 图示一长为l 的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆套在一起而组成，内、外两杆均在线弹性范围内工作，其扭转刚度分别为GaIpa和GbIpb。当组合杆的两端面各自固结于刚性板上，并在刚性板处受一对扭转力偶矩Me作用时，试求分别作用在内、外杆上的扭转力偶矩。,分析：画出受力及变形简图,写出独立平衡方程,一次超静定问题。,变形协调条件：原杆两端各自与刚性板固结在一起，故内、外杆的扭转变形相同。即变形协调条件为,代入物理关系(胡克定理)，与平衡方程联立，

11、即可求得Ma和Mb。,并可进一步求得杆中切应力如图（内、外两杆材料不同），一般在两杆交界处的切应力是不同的。,6.4 简单超静定梁,超静定问题平衡方程不能完全求解多余约束补充方程,解除多余约束相当系统变形协调条件补充方程,列变形协调条件：,可分别求出（也可查表）梁在均布载荷和集中力作用下的挠度为,得出补充方程为,解得,也可以取支座 A 处阻止梁端面转动的约束作为“多余”约束，解除后可得相当系统,根据原超静定梁端面 A 的转角应等于零的变形相容条件，可由变形协调条件建立补充方程来求解。,可从右向左作出剪力图和弯矩图,例 梁AC在B、C处分别为固定铰支座和可动铰支座，梁的 A 端用一钢杆 AD 与梁 AC 铰接。在梁受荷载作用以前，杆 AD 内没有内力。已知梁和拉杆用同样的钢材制成，材料的弹性模量为E，梁横截面的惯性矩为I，拉杆横截面的面积为A，其余尺寸见图。试求钢杆AD内的拉力FN。,解：一次超静定问题,变形协调条件（求补充方程）：,(1)将杆与梁的连接铰A 看作多余约束(切开)，相应的多余未知力为FN(一对)，得相当系统如图。,(2)求wA:外伸梁在荷载与拉力FN共同作用下，按叠加原理，A 端挠度,wAq可按叠加法求得,类似的叠加法，对FN作用下梁的挠度,杆AD的伸长,最后，补充方程为,解得,