微分方程基本概念、可分离变量微分方程.ppt

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1、1,主要内容：,第七章 微分方程 第一节 微分方程基本概念 第二节 可分离变量的微分方程,一、微分方程基本概念；二、可分离变量的微分方程.,2,一、微分方程的基本概念,在许多问题中,往往不能直接找出所需要的函数关系,但是根据问题所提供的情况,有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式.这种关系式就是所谓微分方程.微分方程建立以后,对它进行研究,找出未知函数来,这就是解微分方程.本节通过几个具体的例题来说明微分方程的基本概念.,上页,下页,铃,结束,返回,首页,3,设所求曲线的方程为yy(x),则,例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.

2、,解,上式两端积分 得,因为曲线通过点(1 2),即当x1时 y2 所以,212C,C=1,因此 所求曲线方程为 yx21,说明,当x1时 y2可简记为y|x12,4,例2 列车在平直线路上以20m/s的速度行驶;当制动时列车获得加速度0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程?,解,设列车在开始制动后t秒时行驶了s=s(t)米 则,s04,s|t020,s|t00,把等式s04两端积分一次,得s04tC1,再积分一次,得s02t2 C1t C2(C1 C2都是任意常数),由s|t020得20C1,由s|t00得0C2,故s02t220t,故s04t

3、20,s025022050500(m),于是列车在制动阶段行驶的路程为,令s0 得t50(s),5,说明,未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分方程.未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程.,说明,几个基本概念,微分方程,表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程,微分方程的阶,微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶,一般n阶微分方程的形式为 F(x y y y(n)0或 y(n)f(x y y y(n1),一阶的,二阶的,6,说明,微分方程的解,满足微分方程的函数叫做该微分方程的解,确切地说 设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数 如果在区间I

4、上 Fx(x)(x)(n)(x)0 那么函数y(x)就叫做微分方程F(x y y y(n)0在区间I上的解,在例2中 方程 s04的解有 s02t2C1tC2、s02t220tC2和s02t220t,7,说明,微分方程的解,满足微分方程的函数叫做该微分方程的解,通解,如果 n 阶微分方程的解中含有 n 个相互独立的任意常数 则这样的解叫做微分方程的通解,特解,确定了通解中的常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解叫特解,通解,特解,什么解？,在例2中 方程 s04的解有 s02t2C1tC2、s02t220tC2和s02t220t,8,说明,对于一阶微分方程 通常用于确定任意常数的条

5、件是,对于二阶微分方程 通常用于确定任意常数的条件是,例1是求方程y=2x满足初始条件y|x12的解,例2是求方程s=-0.4满足初始条件s|t00 s|t020的解,初始条件,用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件,9,初始条件,用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件,说明,说明,求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题,初值问题,微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线,积分曲线,10,例3 设有一个弹簧,上端固定,下端挂一个质量为m的物体.取x轴铅直向下,并取物体的平衡位置为坐标原点.,给物体一个初始速度v00后,物体在平衡位置附近作上下振动.在振动过程中,物体的

6、位置x是t的函数:x=x(t).,设弹簧的弹性系数为c,物体受到的阻力的大小与运动速度成正比,比例系数为m.,x(t)所满足的微分方程为,11,给物体一个初始速度v00后,物体在平衡位置附近作上下振动.在振动过程中,物体的位置x是t的函数:x=x(t).,设弹簧的弹性系数为c,物体受到的阻力的大小与运动速度成正比,比例系数为m.,x(t)所满足的微分方程为,则上式化为,这就是在有阻尼的情况下,物体自由振动的微分方程.,例3 设有一个弹簧,上端固定,下端挂一个质量为m的物体.取x轴铅直向下,并取物体的平衡位置为坐标原点.,12,给物体一个初始速度v00后,物体在平衡位置附近作上下振动.在振动过程

7、中,物体的位置x是t的函数:x=x(t).,设弹簧的弹性系数为c,物体受到的阻力的大小与运动速度成正比,比例系数为m.,如果物体还受到铅直干扰力F=Hsinpt的作用,则有,这就是强迫振动的微分方程.,例3 设有一个弹簧,上端固定,下端挂一个质量为m的物体.取x轴铅直向下,并取物体的平衡位置为坐标原点.,则上式化为,13,求所给函数的导数,解,k2(C1cos ktC2sin kt)k2(C1cos ktC2sin kt)0.,这表明函数x=C1cos kt+C2sin kt 满足所给方程 因此所给函数是所给方程的解,14,将条件x|t=0A代入xC1cos ktC2sin kt 得,解,C1

8、A.,将条件x|t=00代入x(t)kC1sin ktkC2cos kt 得,把C1、C2的值代入xC1cos ktC2sin kt中 就得所求的特解为,xAcos kt,C20.,15,解,y=0 也为例5中微分方程的解,例6 验证函数 是以下微分方程的解:,注:通解不一定包含所有解.,16,例7 在xOy面的第一象限内有一曲线过点(3,3),曲线上任一点P处的切线与y轴总相交,交点记为A,已知|PA|=|OA|,求此曲线满足的微分方程.,解,点P(x,y)处的切线方程为,点 A 的纵坐标为,由|PA|=|OA|得,整理得,此为所求的微分方程,且满足初始条件,17,二、可分离变量的微分方程,

9、一阶微分方程有时也写成如下对称形式 P(x y)dxQ(x y)dy0在这种方程中 变量x与y是对称的,如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y)的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程,18,讨论:,是,不是,不是,是,是,是,y1dy2xdx,dy(3x25x)dx,y(1x)(1y2),10ydy10 xdx,19,可分离变量的微分方程的解法,两端积分,方程G(y)F(x)C yy(x)或xx(y)都是方程的通解 其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解,求显式解,求方程由G(y)F(x)C所确定的隐函数,yy(x)或xx(y),如果

10、一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y)的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程,分离变量,将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式,20,注,分离变量得,解,这是一个可分离变量的微分方程.,两边积分得,即 ln|y|x2C1,ln|y|x2ln|C|,加常数的另一方法,21,根据题意 得微分方程,解,例10 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律,初始条件为M|t0M0,将方程分离变量 得,两边积分 得,由初始条件 得M0Ce0C 所以铀含量M(t)随时间t

11、变化的规律MM0e t,即 lnMtlnC,也即 MCe t,22,提示,降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数)牛顿第二运动定律Fma,设降落伞下落速度为v(t),解,例11 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系,根据题意得初值问题,23,将方程分离变量得,两边积分得,将初始条件v|t00代入上式得,于是降落伞下落速度与时间的函数关系为,例11 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系,设降落伞下落速度为v(t),解,根据题意得初值问题,2

12、4,例12 当一次谋杀发生后,尸体的温度从原来的 370C 按照牛顿冷却定律开始下降.假设两小时后尸体温度变为 350C,并且假定周围空气的温度保持 200C 不变,试求尸体温度 H 随时间 t 的变化规律.又如果尸体被发现时的温度是 300C,时间是下午 4 点整,那么谋杀是何时发生的？,牛顿冷却定律 一个物体的温度变化速度与该物体的温度和其所在介质的温度的差值成正比.,解,由题设得微分方程,分离变量得,25,两边积分得,例12 当一次谋杀发生后,尸体的温度从原来的 370C 按照牛顿冷却定律开始下降.假设两小时后尸体温度变为 350C,并且假定周围空气的温度保持 200C 不变,试求尸体温

13、度 H 随时间 t 的变化规律.又如果尸体被发现时的温度是 300C,时间是下午 4 点整,那么谋杀是何时发生的？,解,由 t=0,H=37,得 C=17,求得,由 t=2,H=35,得,当 H=30 时,得,谋杀是在上午7点36分发生的.,由题设得微分方程,分离变量得,26,例13 在某池塘内养鱼,该池塘最多能养鱼1000尾.在时刻t,鱼数 y 是时间 t 的函数 y(t),其变化率与鱼数 y 及1000-y 成正比.已知在池塘内放养鱼100尾,3个月后池塘内有鱼 250尾,求放养 t 月后池塘内鱼数 y(t)的公式.,解,鱼数 y(t)的公式为,由题设得微分方程,分离变量得,两边积分得,27,课后练习 P298 1、2、3、4、5、6；P304 1、2、3、4.,