常数项级数的判别法.ppt
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1、湘潭大学数学与计算科学学院,1,一、正项级数及其判别法,二、交错级数及其判别法,三、任意项级数及其敛散性判别法,四、小结,3.5 常数项级数的判别法,湘潭大学数学与计算科学学院,2,引例 判断调和级数,的敛散性,解调和级数的部分和为,一、正项级数及其判别法,湘潭大学数学与计算科学学院,3,阴影部分的总面积为,阴影部分的第一块矩形面积为,第二块矩形面积为,第n块矩形面积为,湘潭大学数学与计算科学学院,4,由此可知,调和级数发散,湘潭大学数学与计算科学学院,5,若,则称,为正项级数.,定理 正项级数,收敛,部分和序列,有界.,若,收敛,则,部分和数列,有界,故,从而,又已知,收敛,故有界.,单调递
2、增,收敛,也收敛.,湘潭大学数学与计算科学学院,6,定理(比较判别法)对于正项级数,湘潭大学数学与计算科学学院,7,即部分和数列Sn 有界,,由定理可知级数,收敛,(2)反证法:,湘潭大学数学与计算科学学院,8,例1 讨论 p-级数,(常数 p 0),的敛散性.,解 1)若,因为对一切,而调和级数,由比较判别法可知 p-级数,发散.,发散,湘潭大学数学与计算科学学院,9,因为当,故,考虑级数,的部分和,故级数收敛,由比较判别法知 p-级数收敛.,时,2)若,湘潭大学数学与计算科学学院,10,证明级数,发散.,证 因为,而级数,发散,根据比较判别法可知,所给级数发散.,例2,湘潭大学数学与计算科
3、学学院,11,湘潭大学数学与计算科学学院,12,定理(比较判别法的极限形式),则有,两个级数同时收或发散;,(2)当 l=0,(3)当 l=,设两正项级数,满足,(1)当 0 l 时,敛时,,也收敛;,发散时,,发散.,湘潭大学数学与计算科学学院,13,证 据极限定义,对,由定理 可知,同时收敛或同时发散;,(1)当0 l 时,(2)当l=0时,由定理,当 nN 时,湘潭大学数学与计算科学学院,14,收敛,3.5.2 知,若,(3)当l=时,即,由定理可知,若,发散,发散.,当 nN 时,,湘潭大学数学与计算科学学院,15,特别取,可得如下结论:,对正项级数,发散.,收敛.,例3 判别级数,的
4、敛散性.,解,根据比较判别法的极限形式知,发散.,湘潭大学数学与计算科学学院,16,的敛散性.,例4 判别级数,解,根据比较判别法的极限形式知,收敛.,注 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,湘潭大学数学与计算科学学院,17,证,由,知,故正项级数,收敛,再由比较判别法知:,正项级数,收敛,而,收敛.,湘潭大学数学与计算科学学院,18,定理(比值判别法,DAlembert判别法),设,为正项级数,且,则,(1)当,(2)当,时,级数收敛;,或,时,级数发散.,证(1),湘潭大学数学与计算科学学院,19,根据极限的定义可知,总存在N0,使得当,时,有,湘潭大学数学与计算科学学院,20,收
5、敛,由比较判别法可知,收敛.,因此,所以级数发散.,时,(2)当,从而,当,时,,湘潭大学数学与计算科学学院,21,例如,,但是,级数收敛;,级数发散.,湘潭大学数学与计算科学学院,22,例6,判定级数,的收敛性.,解,因为,根据比值判别法可知所给级数发散。,湘潭大学数学与计算科学学院,23,例7 判定下列级数的敛散性:,解(1)因为,根据比值判别法可知所给级数收敛;,湘潭大学数学与计算科学学院,24,(2)因为,根据比值判别法可知所给级数发散,湘潭大学数学与计算科学学院,25,定理(根值判别法,柯西(Cauchy)判别法),设,为正项级数,且,则,(1)当,(2)当,时,级数收敛;,或,时,
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