大学微积分课件第六章.ppt

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1、1,定积分的计算,定积分的概念和性质,换元积分法分部积分法,基本公式微积分,定积分的应用,求平面图形的面积,主要内容,求旋转体的体积,广义积分,无穷区间上的广义积分,无界函数的广义积分,2,一、定积分概念和性质,任取,在区间,上的定积分,（简称积分）,即,此时称 f(x)在 a,b 上可积.,记作,3,4,说明：,1.,2.有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积；,3.,可积的充分条件：,5,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且如非特殊说明，不考虑积分上下限的大小,定积分的性质：,6,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,性质2,说明：不论 的相对位

2、置如何,上式总成立.,（定积分对于积分区间具有可加性）,性质3,7,性质4,性质5,推论：,（1）,（2）,8,性质6（估值定理）,性质7（定积分中值定理）,9,称,为变上限积分,1、变上限积分函数及其导数,二、定积分的计算,函数或积分上限函数,变上限积分函数的性质：,10,注1.,此定理表明连续函数取变上限定积分再对上限自变量 x求导，其结果就等于被积函数在上限自变量x处的函数值。,2.,3.,4.,5.,11,2、定理（微积分基本公式）,注意,12,定理6.5 设函数f(x)在区间a,b上连续，作代换 满足下列条件：,上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式.,(2)当t在与之间变化

3、时，单调变化，且,则：,3、定积分的换元法,13,说明：,(1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即“换元必换限”.,(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量.,(3)新变元的积分限可能，也可能，但一定要求满足,（4）换元积分法常用来证明定积分的等式,14,4、定积分的分部积分法,已积出的部分要求值,15,1.求平面图形的面积,三.定积分的应用,（1）.以x轴为底边的曲边梯形的面积,16,17,若f(x)有正有负,则曲边梯形面积为,18,（2）.以y轴为底边的曲边梯形的面积,19,特别，时,20,围成的平面图形的面积，,21,a,b,旋转体的体积为

4、,（1）以x轴为底边的曲边梯形绕x轴旋转,2、旋转体的体积,22,（2）以y轴为底边的曲边梯形绕y轴旋转,（3）以x轴为底边的曲边梯形绕y轴旋转,23,1、无穷区间上的广义积分,四、广义积分,24,25,2、无界函数的广义积分,26,例 题,例：设f(x)是连续函数，,，求f(x).,P57.二.5,解：,两边取定积分得：,27,例 题,例：,求,P57.二.6,解：,28,例 题,例：,P56.一.14,解：,29,例 题,例：,P56.一.16,解：,30,例 题,例：,P56.一.17,解：,31,例,解,例 题,32,例,解,例 题,33,例,例 题,34,解,例,例 题,35,例,证,36,4、,解,所以平均值为,