函数展开成幂级数简化.ppt
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1、利用幂级数的性质(特别是性质 3 和性质4)可以求出一些较为复杂的幂级数的和函数,(利用幂级数的和函数又可以求出一些较为复杂的常数项级数的和),这是属于由给出的幂级数求和函数的问题,其反问题为,问题1:给定一个函数 f(x)(假定它在区间(a,b)上具有任意阶导数),如何求出 f(x)在 区间(a,b)上的幂级数?,第五节、函数展开成幂级数,定理(泰勒中值定理)如果函数 f(x)在含有点,的区间(a,b)内有直到 n+1 阶的连续导数,,的一个 n 次多项式,与一个余项,之和,即,则当 x 在(a,b)内取任何值时,f(x)可以表示为,其中,一、泰勒公式及泰勒级数,其中,称之为马克劳林公式。,
2、再令,则余项又可以写成,(二)泰勒级数,若 f(x)在,称为 f(x)的泰勒级数,问题2:除了,显然在,f(x)的泰勒级数收敛于,处,,外,泰勒级数是否一定收敛?,如果它收敛,它是否一定收敛于 f(x)?,上具有任意阶导数,则在泰勒公式中,让多项式的项数趋于无穷,得到级数,泰勒级数的前 n+1 项部分和即为,所以有,由泰勒公式有,所以有,所以,定理:设 f(x)在,的充分必要条件是,则 f(x)在该邻域内可以唯一表示(或展开)为泰勒级数,内具有任意阶导数,,特别,当,称其为 f(x)的马克劳林级数。,函数 f(x)在,(1)f(x)在 该邻域内是否具有任意阶导数;,(2)当,时,泰勒级数成为,
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