流体动力学基本方程.ppt

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1、输运方程,连续性方程,第四章 流体动力学基本方程,主要内容实际流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程 理想流体的伯努利方程 粘性流体总流的伯努利方程 动量方程 动量矩方程,一、实际流体中的应力,A,M,4-1 实际流体中的应力与变形速度,通过A点的三个互相垂直的平面上的九个应力分量描述了A点的的应力状态,应用动量定理,在流场中取如图所示的流体系统,其体积为Vs，边界面为As，作用在该系统内单位质量流体上的质量力为，作用在单位界面面积上的表面力为.,二、切向应力与变形速度之间的关系,达朗伯原理：作用在矩形六面体上的各力对通过六面体质心M且与z轴平行的轴的力矩之和为0.,1.法向应力的合力都与取

2、矩的中心轴线相交，力矩为0.,注意:,2.在切向应力中，第一个角标为z的切向应力与取矩的中心轴线相交；第二个角标为z的切向应力与取矩的中心轴线平行，因此其力矩为0.,3.质量力作用在矩形六面体的质心M，力矩为0.,4.转动惯性力矩与转动惯量成正比，为四阶小量，可忽略.,xy,yx,x,M,dx,dy,y,o,A,z,(旋转合力矩=转动惯量与角加速度的乘积),对通过质心M且与轴平行的轴的力矩之和为零,只存在三个独立的切向应力,牛顿内摩擦定律推广到三维流动,假定流体为各向同性(应力与变形率的关系和坐标系为直的选取无关),广义牛顿内摩擦定律:,三、法向应力与线变形速度之间的关系,三个互相垂直的法向应

3、力的算术平均值为:,（为热力学压强）,对于温度不太高的双原子气体（如空气）和压强不太高的单原子气体，上述结果是正确的。,法向应力与线变形速度之间的关系,4-2 实际流体中的运动微分方程,dx,A,pzz,xy,dy,zx,zy,fy,fx,fz,y,x,z,o,pxx,xz,dz,yx,pyy,yz,以应力形式表示的实际流体的运动微分方程,应用牛顿第二定律,纳维尔斯托克斯方程 分量形式为：,纳维尔斯托克斯方程 写成矢量形式为,问题,广义牛顿内摩擦定律能否归纳出一个简洁的表达式？在何条件下N-S方程的适用条件？讨论题：两平行平板间不可压缩定常层流运动的解 速度分布？切应力分布？,43 理想流体的

4、运动微分方程,对于理想流体无粘性,N-S方程,理想流体的运动微分方程(欧拉运动微分方程),适用于可压缩流体和不可压缩流体的运动,当流体处于静止状态时,欧拉平衡微分方程,写成矢量形式为：,对于不可压缩均质流体，是常数，欧拉运动微分方程 连续性方程 初始和边界条件,对于可压缩流体，是变量，欧拉运动微分方程 连续性方程 状态方程 初始和边界条件,x，y，z，p,x，y，z，p，,圆柱坐标系(r,z)下的欧拉运动微分方程,兰姆运动微分方程,欧拉运动微分方程适用于理想流体的任何运动，但该方程中只有表示平移运动的线速度,而没有表示旋转运动的角速度x,y,z,兰姆方程的推导,(以x方向为例),4-4 理想流

5、体运动微分方程的积分与伯努利方程,由于欧拉方程是非线性方程，所以对它的积分目前在数学上还存在着困难。现在仅对几种特殊的流动情况可以进行积分。最常见的有两种：定常流动的伯努利积分定常无旋流动的欧拉积分两个积分的前提条件是：,(1)定常流,(2)质量力有势，即满足,(3)正压性流体，即流体的密度只与压强有关,这时存在一个压强函数,定义为：,故有：,绝热可逆流动的可压缩流体，由,对不可压均质流体 则有：,对等温流动的可压缩流体，由,则有：,将,代入兰姆运动微分方程，则变成,一、欧拉积分,条件：定常无旋流,对可压或不可压理想正压流体，在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，在流场中任一点单位质量流体的位

6、势能，压强势能PF 和动能 之和为常数。,物理意义为：,二、伯努利积分：(有旋流动),条件：沿流线（涡线）兰姆运动微分方程两侧乘以流线上任一微分方程ds的三个分量dx,dy,dz,对于有旋和无旋流动沿流线均有:,其物理意义为：对可压缩或不可压缩理想正压流体，在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，沿同一流线上各点单位质量流体的位势能，压强势能PF和动能 之和保持不变。三种机械能可以互相转化。但对不同流线，该常数值一般是不同的。,伯努利积分式，,三、伯努利方程,如果质量力仅仅是重力，对不可压均质流体，则,伯努利方程,z 为单位重力流体具有的位势能，又称位置高度或位置水头；为单位重力流体具有的压强势

7、能，又称压强高度或压强水头；为单位重力流体具有的动能，又称速度水头或动压头。伯努利方程物理意义为：对不可压理想流体在重力作用下作定常流动时，对有旋流动，沿同一流线单位重力流体的位势能、压力势能以及动能之和为常数。对无旋流动，整个流场所有各点的总机械能为一常数。,伯努利方程几何意义：对不可压理想流体在重力作用下作定常流动时，对有旋流动，沿同一流线单位重力流体的位置水头、压强水头和速度水头之和为常数。即总水头线是与基准面相平行的水平线。,z2,z1,基准面,静水头线,总水头线,举 例,如果流动在同一水平面，或流场中z的变化与其它流动参数相比可忽略时，则伯努利方程,直流线法线方向伯努利方程的应用,直

8、流线法线方向即有效截面为平面,船吸现象,思考、讨论,与N-S方程相比，兰姆（Lamb)的创新之处？深入理解伯努里积分方程和欧拉积分方程的适用条件；流线为互相平行的直线时，其法线方向适用流体静力学基本方程：怎样应用？,45 粘性流体总流的伯努利方程,当粘性流体流经固体壁面时，在固体壁面与主流之间存在由零到主流速度 的速度梯度，相对运动的流层之间存在切应力，形成流动阻力。为克服阻力维持流动，流体必然要消耗部分机械能，转化为热能耗散，造成不可逆损失。,粘性流体沿微元流束（或流管）流动时，其机械能是减少的，必须对理想流体的伯努利方程进行修正。,理想流体-无粘性；实际流体-有粘性,一、粘性流体沿微元流束

9、的伯努利方程,理想不可压流体在重力场下沿流线作定常流动时，流体的总机械能沿流线不变,即总水头线始终是一条水平线。对于粘性流体，由于存在摩擦阻力，耗掉了流体的部分机械能，所以总机械能逐步减少。,为单位重力流体自截面1到截面2 的能量损失，单位：m,微元流束和总流的水头线,基准面,基准面,二、粘性流体总流的伯努利方程,总流为由无数微元流束组成，有效截面积为有限值的流束。要把沿流线的伯努利方程扩到总流，必然要进行修正。推导应用于总流的两缓变流截面的伯努利方程。对管道总流中每一微元流束，写出伯努利方程：,上式两边同乘以单位时间通过微元流束的重量流量 gdqV（dqV=1 dA1=2 dA2），对1、2

10、总流的两截面进行积分，则：,在总流的任一有效截面上，流体质点的位能z，速度，压力p 均有差别。,如果流动满足下列两个条件，我们称之为缓变流：1.流线的切线之间夹角很小，即流线近乎平行；2.流线的曲率很小，即流线近乎为直线。凡不符合上述条件的流动称为急变流,缓变流的特点是：在缓变流的同一有效截面上，压强分布规律与重力作用下流体的静压强分布规律相同，即,推导适用于两个缓变流有效截面的粘性流体总流的伯努利方程,且流体不可压缩,为从1到2截面总流的单位重力流体的能量损失.,粘性流体总流的伯努利方程,适用条件：不可压粘性流体在重力作用下，作定常流动的任意两缓变流截面，而缓变流之间有无急变流存在均可适用。

11、,为书写方便方程中截面平均速度 用“”表示,说 明,1.为动能修正系数，表示速度分布的不均匀性，恒大于12.粘性流体在圆管中作层流流动时，2;3.流动的紊流程度越大，越接近于1;4.在工业管道中=1.011.1，均取1;5.能量损失 hw 包括沿程损失hf 和局部损失hj。,46 伯努利方程的应用,一、文特里管(或文丘里管),文特里管水平放置,基准面,qV,文丘里管水平放置,d1,1,H,m,等压面,2,d2,文特里管是由截面逐渐收缩，然后再逐渐扩大的一段短管组成的，最小截面处称为喉部。,在文丘里管收缩段前的直管段截面1和喉部截面2两处测量静压差，根据静压差和两个截面的面积可计算通过管道的流量

12、。,假设截面1和截面2上的流速、压力和截面面积分别为、p1、A1和、p2、A2,连续性方程,列截面1和2的伯努利方程,在实际应用中，由于实际流体都有粘性，考虑到因粘性引起的截面上速度分布的不均匀性和流动过程中有能量损失，所以实际通过的体积流量要比上式的理论值略小一些，引入修正系数，可得,其中为文丘里管的流量系数，由实验确定,由于收缩段的能量损失比扩张段小得多，因此不能用扩张段的压强来计算流量，以免增大误差。,若静压差(p1p2)以U型管的液柱高度差H来表示，则对图中所示的等压面列等压面方程，则有,以液柱高度表示速度和体积流量,文丘里管倾斜放置,文丘里管不仅可水平放置使用，也可倾斜放置，甚至可以

13、竖直放置。假设文丘里管以某一倾斜角度放置，如图所示。截面1和截面2上的中心线的位置高度分别为z1和z2。,2,文丘里管倾斜放置,a,基准面,qV,d1,H,m,z1,z2,1,等压面,d2,列伯努利方程,连续性方程,如果用形管压差计来测量压差,等压面列等压面方程可得,z,二、皮托管,皮托在1773年用一根弯成直角的玻璃管，测量了法国塞纳河的流速。原理如图所示，在液体管道某截面装一个测压管和一个两端开口弯成直角的玻璃管（皮托管），皮托管一端正对来流，一端垂直向上，此时皮托管内液柱比测压管内液柱高h，这是因为流体流到皮托管入口A点受到阻滞，速度降为零，流体的动能变化为压强势能，形成驻点A，A处的压

14、强称为总压，与A位于同一流线且在A上游的B点未受测压管的影响，其压强与A点测压管测得的压强相等，称为静压。,B,A,z,沿流线A、B两点列伯努利方程有：,若将皮托管和静压管组合成一体，称为皮托-静压管。,实际上，由于探针头部和小孔等因素的影响，测得的全压有一定偏差，引入修正系数K,K=0.981.05,将皮托管与U型管连接，表示出来流的静压，动压和全压。,三、孔板流量计,孔板流量计是电厂常用测量给水和蒸汽流量的节流装置，其基本原理是流体在管道中流动时，其流通截面突然缩小，在孔板后某一距离流速达最大，流体静压下降，同时伴随有能量损失，通过测量孔板前后的压降，可算出流体的流量。,1,c,根据连续性

15、方程和伯努利方程有,流束最小截面积Ac与孔板圆孔面积A0的关系可表示为,其中Cc为流体的收缩系数。令：,由于有能量损失，且孔板上的取压位置并非在截面A1与Ac处，另外考虑到管壁的粗糙和孔板边缘不尖锐等因素，并用实测的p1和p2代替 和pc，应加上修正系数，即：,令,其中 为孔板的流量系数，可由实验得到，标准孔板的流量系数可查表得到。在特殊的情况下，如果管流的实际雷诺数小于孔板的极限雷诺数，则查得的流量系数应乘于粘度校正系数K，K通过查表得到。,孔板流量计,c,1,如图所示,水在垂直管内由上向下流动,在相距 l 的两断面间,测得测压管水头差为 h,求两断面间沿程水头损失hf(不计其它损失),l,

16、h,1,2,a,b,思考、讨论,粘性流体总流的伯努里方程及适用条件？缓变流、急变流的概念？总流的伯努里方程在风机及管路系统、水泵及管路系统和文特里管中的应用问题！（连续性方程、流体静力学基本方程、总流伯 努里方程联合应用）作业 4-4 4-6 4-7 4-9 4-11,上节内容简要,粘性流体总流的伯努里方程,孔板流量计,文丘里流量计,几个系数：,47 动 量 方 程,解决流体与固体间相互作用时产生的作用力的问题,一、积分形式的动量方程,由输运方程：,令,由动量定理：,对定常流动,表明：在定常流动条件下，单位时间内经过控制面的流体动量的通量，等于作用在系统上外力的矢量和。,二、定常管流的动量方程

17、,不可压缩流体在固定弯管内作定常流动,A2,A1,A3,1,1,2,2,动量方程,CS=A1+A2+A3,入口,出口,由于在A3上没有流体进出，n=0，沿壁面积分为0,一般截面上的密度视为常数，但是必须考虑速度在截面的变化，用截面平均速度计算，须引入动量修正系数,用有效截面上的平均流速计算流体动量，则上式可写成：,工程计算中 一般取1,说 明:,1.动量方程适用于不可压缩流体缓变流截面的定常 流动（理想和粘性流体均适用）；2.只涉及边界上的参数，与内部流动无关；3.是矢量方程，力和速度的方向与所选坐标系有关；4.计算表面力时压强用表压。,动量矩定理;质点系对于任一固定点的动量矩对时间的导数，等

18、于所有作用于点系的外力对于同一点的力矩之和。,48 动量矩方程,一、积分形式的动量矩方程,由输运方程：,令,动量矩方程适用于涡轮机械中作定常流动的流体,流体系统,对定常流动,用有效截面上的平均流速表示，则,上式即为定常流动的动量矩方程,各外力对转轴力矩的矢量和,二、涡轮机械基本方程,如图所示为离心泵或风机的叶轮流体自内圈流入，经流通从外圈流出。取整个叶轮（即转子）外侧为控制面，则控制面包括叶轮的侧面轮盘和内外圆周流通截面。,假设：1、转速为常数，流动定常，2、不可压缩理想流体，3、流体沿叶轮叶片的型线流动（理想叶轮），叶轮进出口 的流动是均匀的，流动是轴对称的。,力矩分析：由于对称性，重力对转轴的力矩为零；内外圈边界上表面力为径向分布，力矩为零；叶片对流道内某一流体质点的作用力为，力矩为，其总和为，就是叶片对流道内流体的作用力对转轴 的力矩。应用动量矩方程：,两侧同乘，以功率形式表示,两侧同除以,上式为涡轮机械的基本方程。其中:HT称为：单位重力理想流体通过叶轮所获得的能量。HT反映了涡轮机械的基本性能。,思考、讨论、总结,微分方程：1、粘性流体运动微分方程（NS方程）；2、理想流体运动微分方程；3、微分形式的连续性方程。积分方程及应用：1、输运方程；2、伯努里方程；3、粘性流体总流的伯努里方程；3、动量方程；4、动量矩方程。作业：4-14 4-15 4-18 4-19,