求数列通项公式ppt.ppt

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1、求数列的通项公式,学习目标,在了解数列概念的基础上，掌握几种常见递推数列通项公式的求解方法理解求通项公式的原理体会各种方法之间的异同，感受事物与事物之间的相互联系,例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数。,已知数列的前几项，通常先将各项分解成几部分（如符号、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数的关系，写出通项。,一、观察法,1、写出下列数列的一个通项公式:(1)9,99,999,9999,解：an=10n1,(2)1,11,111,1111,分析：注意观察各项与它的序号的关系有 101，1021，1031，1041,解：an=(10n1),这是特殊到一般的思想

2、，也是数学上重要的思想方法，但欠严谨！,分析:注意与熟悉数列9,99,999,9999,联系,练习：,注意：（1）这种做法适用于所有数列；（2）用这种方法求通项需检验a1是否满足an.,二、公式法（利用an与Sn的关系 或利用等差、等比数列的通项公式）,练习：1.an的前项和Sn=2n21，求通项an,解：当n2时，an=SnSn1=(2n21)2(n1)21=4n2,当n=1时,a1=1,不满足上式,3.已知an中，a1+2a2+3a3+nan=3n+1,求通项an,解:a1+2a2+3a3+nan=3n+1(n1),a1+2a2+3a3+(n1)an1=3n（n2）,nan=3n+13n=

3、23n,而n=1时,a1=9,（n2）,两式相减得：,例3.已知an中,an+1=an+n(nN*),a1=1,求通项an,解:由an+1=an+n(nN*)得,an=(anan1)+(an1an2)+(a2 a1)+a1=(n 1)+(n 2)+2+1+1,三、累加法,(递推公式形如an+1=an+f(n)型的数列),n个等式相加得,an+1 an=n(nN*),（1）注意讨论首项;,(2)适用于an+1=an+f(n)型递推公式,求法：累加法,练习：,四、累乘法(形如an+1=f(n)an型),例4.已知an是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12+an+1annan2=0,求an的通

4、项公式,解:(n+1)an+12+an+1annan2=0,(an+1+an)(n+1)an+1 nan=0,an+1+an0,(n1),an=.,(n+1)an+1=nan,练习1：,类型四、累乘法形如 的递推式,四、累乘法适用于an+1=an f(n)型的递推公式,练习2,五、迭代法,例5.已知an中,an=3n1+an1,(n2),a1=1,求通项an.,解:an=3n1+an1(n2),an=3n1+an1=3n1+3n2+an2,=3n1+3n2+3n3+an3,=3n1+3n2+3n3+3+a1,=3n1+3n2+3n3+3+1,(递推公式形如an+1=an+f(n)型的数列),六

5、待定系数法（构造法）,例6：,解：由题意可知：an+1+1=2(an+1)所以数列an+1是以a1+1=2为首项，2为公比 的等比数列.所以an+1=2n,即an=2n-1,反思：待定系数法如何确定x？,待定系数法：,令an+1+x=p(an+x),即,an+1=pan+px-x,根据已知x=,所以数列 是等比数列.,类型七、相除法形如 的递推式,例8：,【变式迁移】,已知数列an中，a15且an2an12n1（n2且nN*）.（1）求证数列为等差数列；（2）求数列an的通项公式.,解：（1）方法1：（构造法）因为a15且an2an12n1，所以当n2时，an12（an11）2n，所以，所以，,所以是以为首项，以1为公差的等差数列.方法2：（代入法）因为a15,n2时，所以，所以是以为首项，以1为公差的等差数列.（2）由（1）知,所以an（n1）2n1.,练习.已知数列an中a1=2，an+1=4an+求数列an的通项公式。,反思,例9：,八取倒法,形如 的递推式,练习,形如 的递推式,例10：,八取倒法,求数列的通项公式,构造辅助数列,1：,作业,2：,