机械振动第二章习题.ppt

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1、第二章 单自由度系统强迫振动,工程中的自由振动由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止实际上又存在有大量不衰减的持续振动，由于外界有能量输入以补充阻尼的消耗，有的承受外加的激振力。在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。,一.单自由度系统的无阻尼受迫振动,交流电通过电磁铁产生交变的电磁力引起振动系统；,弹性梁上的电动机由于转子偏心在转动时引起的振动等。,简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力：,H：激振力力幅；：激振力的圆频率；：激振力初相位,设F为简谐激振力，F在坐标轴上的投影写成：,1.振动微分方程,图示振动系统，物块质量为m。,取物块的平衡位置为坐标原点，坐标轴铅直向下.,恢复力Fk 在坐标

2、轴上的投影为,两端除以m，并设：,物块受力有恢复力Fk和激振力F。,质点的运动微分方程为,则得：,该式为无阻尼受迫振动微分方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性微分方程,解由两部分组成：,齐次方程的通解为:,将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：,b为待定常数,设特解为：,得无阻尼受迫振动微分方程的全解：,解得：,表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的：第一部分是频率为固有频率的自由振动；第二部分是频率为激振力频率的振动，称为受迫振动。实际振动系统存在阻尼，自由振动部分总会逐渐衰减下去，因而我们着重研究第二部分受迫振动，它是一种稳态的振动。,2.受迫振动的振幅,在简谐激振的条件下，系统的受迫振

3、动为谐振动，其振动频率等于激振力的频率，振幅的大小与运动起始条件无关，与振动系统的固有频率n激振力的力幅H、激振力频率有关。,(1)若0，此时激振力的周期趋近于无穷大，激振力为一恒力，并不振动，所谓的b0振幅实为静力H作用下的静变形。,下面讨论受迫振动的振幅与激振力频率之间的关系,(2)若0n,值越大，振幅b越大，即振幅b随着频率单调上升，当接近n时，振幅将趋于无穷大。,由式,(3)若n,按式b为负值。习惯上把振幅都取为正值，因而取其绝对值，而视受迫振动与激振力反向，相位应加（或减）1800。随着激振力频率增大，振幅b减小。当趋于，振幅b减小趋于零。,将纵轴取为=b/b0，横轴取为=/n，和都

4、是无量纲的量，绘出无量纲的振幅频率曲线。,振幅b与激振力频率之间的关系,绘出曲线表示。该曲线称为振幅频率曲线,上述分析，当=n时，即激振力频率等于系统的固有频率时，振幅b在理论上应趋向无穷大，这种现象称为共振。,此时特解应设为：,(3)共振现象,当=n时,是没有意义的,无阻尼受迫振动微分方程,得：,它的幅值为：,共振时受迫振动的运动规律为:,实际上，由于系统存在阻尼，共振时振幅不可能达到无限大，一般来说，共振时的振幅都是相当大，往往使机器产生过大的变形，甚至造成破坏。因此如何避免发生共振是工程中一个非常重要的课题。,当=n时，系统共振，受迫振动的振幅随时间无限地增大，其运动图线如图示。,例.图

5、示为一无重刚杆AO，杆长为l，其一端O铰支另一端A水平悬挂在刚度为k的弹簧上，杆的中点装有一质量为m的小球。若在点A加一激振力F=F0sint,其中激振力的频率=1/2n,n为系统的固有频率。忽略阻尼，求系统的受迫振动规律。,解：设任一瞬时刚杆摆角为，根据刚体转动微分方程可以建立系统的运动微分方程。,令,微分方程整理为：,将=1/2n代入上式,解得：,研究受迫振动方程特解,例.图示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上。设电机的质量为m1，偏心块的质量为m2，偏心距为e，弹性梁的刚性系数为k，求当电机以角速度匀速旋转时系统的受迫振动规律。,解：1)取电机与偏心块质点系为研究对象设电机轴心在瞬时

6、t相对其平衡位置O的坐标为x，,2）作用力：在系统上的恢复力:,3)质点系动量定量的微分形式,则偏心块坐标为：x+esint。,此微分方程为质点受迫振动，激振力项 m2e2sint 即电机旋转时，偏心块的离心惯性力在x轴方向的投影。激振力力幅为 m2e2 等于离心惯性力的大小激振力的圆频率等于转子的角速度。这种情况引起的激振力的力幅与激振力的频率有关。,整理后得：,当n时，振幅随着增大而减小，最后趋于m2e/(m1+m2)。,此曲线当n时，振幅从零开始，随着频率增大而增大；,令：,绘出振幅频率曲线。,当=n时，振幅趋于；,受迫振动振幅：,例.图为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度为k。

7、测振仪放在振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的振动规律为s=esint，求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。,解：1）取测振仪为研究对象测振仪随被测物而振动，则其弹簧悬挂点的运动规律就是s=esint。2）位移分析 取t=0时物块的平衡位置为坐标原点O，取x轴如图。如弹簧原长为l0，st为其静伸长。设任一时刻t时，物块的坐标为x，弹簧的变形量为,3）物块运动的微分方程：,整理为：,可见物块的运动微分方程为无阻尼受迫振动的微分方程。,物块的受迫振动形式：,激振力的力幅为,b为物块绝对运动的振幅。由于测振仪壳体运动的振幅为e，记录纸上画出的振幅为物块相对于测振仪的振幅 a=|b-e

8、|。当n 时，b0，有ae。一般测振仪的物块质量较大，弹簧刚度k很小，使n很小。用它来检测频率不太低的振动时，物块几乎不动，记录纸上画出的振幅也就接近于被测物体的振幅。,可建立质点运动微分方程,若选平衡位置O为坐标原点，坐标轴铅直向下。则各力在坐标轴上的投影为：,二.单自由度系统的有阻尼受迫振动,图示有阻尼振动系统，设物块的质量为m，作用在物块上的力有线性恢复力Fk、粘性阻尼力Fc和简谐激振力F。,整理得：,有阻尼受迫振动微分方程的标准形式二阶线性常系数非齐次微分方程其解由两部分组成：,x1：齐次方程的通解在小阻尼（n n）情形下，有,两端除以m，并令：,x2：对应齐次方程的特解设它的形式为：

9、,其中表示受迫振动的相位落后于激振力的相位角。代入微分方程，可得：,将右端改写为：,可整理为：,对任意瞬时t，必须满足：,其中A和为积分常数，由运动的初始条件确定。有阻尼受迫振动由两部分合成：第一部分是衰减振动；第二部分是受迫振动,两方程联立，可解出：,得微分方程的通解为：,由于阻尼的存在第一部分振动随时间的增加，很快地衰减，这段过程称为过渡过程（瞬态过程）.过渡过程是很短暂的。过渡过程之后，系统进入稳态过程。,有阻尼存在，受简谐激振力作用的受迫振动仍然是谐振动，其振动频率等于激振力的频率，其振幅表达式为：,受迫振动的振幅不仅与激振力的力幅有关，还与激振力的频率以及振动系统的参数m、k和阻力系

10、数c有关。,下面研究稳态过程的振动。由受迫振动的运动方程特解可知：,采用无量纲形式，横轴表示频率比=/n,纵轴表示振幅比=b/b0。阻尼的改变用阻尼比=c/cc=n/n来表示。,不同阻尼条件下受迫振动的振幅频率曲线,阻尼对振幅的影响程度与频率有关,1）当n时，阻尼对振幅的影响甚微，可忽略系统的阻尼而当作无阻尼处理。2）当n（即1）时，振幅显著地增大。这时阻尼对振幅有明显的影响，即阻尼增大，振幅显著地下降。,振幅bmax具有最大值，这时的频率称为共振频率。在共振频率下的振幅为：,或,在一般情况下，阻尼比1，可认为共振频率=n，即当激振力频率等于系统固有频率时，系统发生共振。共振的振幅为,（3）当

11、n时，有阻尼受迫振动的振幅影响也较小，这时可以忽略阻尼，将系统当作无阻尼系统处理。,有阻尼受迫振动的位相总比激振力落后一个相位角，称为相位差。,表达了相位差随谐振力频率的变化关系。,或,由微分方程的特解,画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线）,相频曲线可看到：相位差总是在0至180区间变化，是一单调上升的曲线。共振时：=n=90，阻尼值不同的曲线都交于这一点。越过共振区之后，随着频率的增加，相位差趋近180，这时激振力与位移反相。,相频曲线,解：1)取系统为研究对象2）受力分析,例.如图所示为一无重刚杆。其一端铰支，距铰支端l处有一质量为m的质点，距2l处有一阻尼器，其阻尼系数为c，距3

12、l处有一刚度为k的弹簧，并作用一简谐激振力F=F0sint。刚杆在水平位置平衡，试列出系统的振动微分方程，并求系统的固有频率n以及当激振力频率等于n时质点的振幅。,3）建立系统的振动微分方程设刚杆在振动的摆角为，由动量矩定理：,整理得：,令：,当=n时，其摆角的振幅为：,质点的振幅：,工程中的回转机械，如涡轮机、电机等，在运转时经常由于转轴的弹性和转子偏心而发生振动。当转速增至某个特定值时，振幅会突然加大，振动异常激烈，当转速超过这个特定值时，振幅又会很快减小。使转子发生激烈振动的特定转速称为临界转速。,三.转子的临界转速,以单圆盘转子为例，说明这现象,设圆盘的质量为m，质心为C，点A为圆盘与

13、转轴的交点，偏心距e=AC。圆盘与转轴一起以匀角速度转动时，由于惯性力的影响，转轴将发生弯曲而偏离原固定的几何轴线 z。设点O为z轴与圆盘的交点，rA=OA为转轴上点A的挠度（变形）,在俯视图上，设转轴安在圆盘中点，当轴弯曲时，圆盘仍绕点O匀速转动。圆盘惯性力的合力Fg通过质心，背离轴心点O，大小为Fg=m2OC。作用在圆盘上的弹性恢复力F指向轴心点O，大小为F=krA，k为轴的刚度系数。,图示的单圆盘转子垂直地安装在无质量的弹性转轴上。,由达朗伯原理，惯性力Fg与恢复力F相互平衡而点O、A、C应在同一直线上，且有：,以m除分子与分母,系统的固有频率,则上式为：,解出A点挠度：,当转动角速度从

14、0逐渐增大时，挠度rA也逐渐增大；当=n时，rA趋于无穷大。实际上由于阻尼和非线性刚度的影响，rA为一很大的有限值。使转轴挠度异常增大的转动角速度称为临界角速度，记为cr，它等于系统的固有频率n；此时的转速称为临界转速，记为nn,当cr时上式为负值，取rA其绝对值；再增大时，挠度值rA迅速减小而趋于定值e（偏心距），此时质心位于点A与点O之间，如b图所示。当cr时，rA e，这时质心C与轴心点O趋于重合，即圆盘绕质心C转动，这种现象称为自动定心现象。,偏心转子转动时，由于惯性力作用，弹性转轴将发生弯曲而绕原几何轴线转动，称“弓状回转”。轴承压力的方向周期性变化。当转子角速度接近临界角速度、转轴

15、的变形和惯性力都急剧增大，轴承承受很大的动压力，机器会发生剧烈振动。在一般情况下，转子不允许在临界转速下运转，只能在远低于或远高于临界转速下运行。,工程中，振动现象是不可避免的，因为有许多回转机械中的转子不可能达到绝对“平衡”，往复机械的惯性力更无法平衡，这些都是产生振动的来源。对这些不可避免的振动只能采用各种方法进行隔振或减振。,四.隔 振,将振源与需要防振的物体之间用弹性元件和阻尼元件进行隔离，这种措施称为隔振。隔振分为：主动隔振 被动隔振,主动隔振是将振源与支持振源的基础隔离开来。图示电动机为一振源，在电动机与基础之间用橡胶块隔离开来，以减弱通过基础传到周围物体去的振动。,1.主动隔振,

16、振源产生的激振力F(t)=Hsint 物块与基础间弹簧刚度：k 阻尼系数：c,根据有阻尼受迫振动的理论,物块的振幅为：,对图示主动隔振的简化模型。,物块振动时传递到基础上的力为两部分：一部分是由于弹簧变形而作用于基础上的力：,两部分力相位差为90，频率相同，合成为一个同频率合力，合力的最大值为：,即：,FNmax：振动时传递给基础作用力的最大值,另一部分是通过阻尼元件作用于基础的力：,它与激振力的力幅H之比为：,称为力的传递率。,表明力的传递率与阻尼和激振频率有关。,1）1.414，1.414时，加大阻尼会使振幅增大，降低隔振效果。5）阻尼太小，机器过共振区时会产生很大的振动，隔振，要选择恰当

17、阻尼值。,不同阻尼时传递率与频率比的关系曲线。,地基振动将引起物体的振动，这种激振称为位移激振。设物块的振动位移为x，则作用在物块上,将需要防振的物体与振源隔开称为被动隔振。例如，在精密仪器的底下垫上橡皮或泡沫塑料，将放置在汽车上的测量仪器用橡皮绳吊起来等。,图示一被动隔振的简化模型。物块表示被隔振的物体，质量为m；弹簧和阻尼器表示隔振元件，弹簧的刚性系数为k，阻尼器的阻尼系数为c。设地基振动为简谐振动，即：,2.被动隔振,弹簧力为：,阻尼力为：,质点运动微分方程为,整理得,右端两个同频率的谐振动合成，得,其中：,设上述方程的特解（稳态振动）为,写成无量纲形式为,其中 是振动物体的位移与地基激

18、振位移之比，称为位移的传递率。位移传递率曲线与力的传递率曲线相同。在被动隔振中，对隔振元件的要求与主动隔振是一样的。,曲线,当,，无隔振效果（,）。,在,区域内，,，不隔振，反而放大,共振,，隔振区,令,为隔离振动百分率。,当,时，,一般取,1.0,1.0,隔振要求,即：高频振动易隔离，低频振动很难隔离,因系统弹簧刚度要低（k要小，但k太小系统又不稳定,，应,无法满足隔振要求,采用主动，半主动隔振）,隔振设计步骤 a.按 要求确定 b.计算设备质量m（从图纸等有关资料）c.计算隔振装置刚度 d.验算隔振后振幅，若振幅太大可增大设备质量m或改变隔振器参数出（增大）,例：系统固有频率为3.8Hz，

19、隔振器阻尼比，地基干扰为正弦干扰。振幅，最大振动速度 求隔振后设备振幅。,c,m,k,y(t),地面扰动频率为,而,设备振幅,例：一机器质量为,，机器工作时产生,的激振力为,，,已知,，作隔振设计。,取,初步设计取,有,则,为此增大质量，设增加质量为,（基础质量），,则总质量,从,有：,隔振弹簧刚度,五.振系在任意周期力作用下的强迫振动,对,有,及,其中,任意周期力可展为富里叶级数,则,六.振系在任意激励下的强迫振动,脉冲响应函数,假定在,时的极短,时间间隔,之内质量m受到一个,冲量I作用，且,则质量m将产生一个初速度,而初位移为零（d很短，系统,来不及产生位移）,c,k,P(t),m,系统对

20、此初始条件的响应为,是系统对单位脉冲,的响应，叫单位,脉冲响应，它只与系统参数有关。,2.任意激振力的响应。,将任意激振力,看作一系列脉冲作用,P,d,t,在,t=时，系统受冲量,作用，产生,响应为,总响应为,不计阻尼作用,（卷积）,例:,一弹簧质量系统受一个常力Po突然作用，,求系统响应（突然加载）,P,t,，表明,为静位移值2倍,例：突然卸载,P,t,在,：,在,当,当,3.振动系统的输入输出关系,输出,输入,时域：,卷积关系,表示系统,频域：,系统,两边作富里叶变换：,叫系统的频响函数,反映系统特性且,例.图示一汽车在波形路面行走的力学模型，路面的波形可以用公式表示y1=sin2x/l，其中幅度d=25mm，波长l=5m。汽车的质量为m=3000kg，弹簧刚性系数为k=294kN/m。忽略阻尼，求汽车以速度v=45km/h匀速前进时，车体的垂直振幅为多少？汽车的临界速度为多少？,解：1）以汽车为研究对象这是被动隔振问题2）计算位移汽车匀速行驶的位移为：,设：,则：,v=45km/h=12.5m/s,3）参数计算系统的固有频率为,激振频率与固有频率的频率比为：,4）求位移传递率：,汽车的振幅,当=n时系统发生共振：,得临界速度：,