有限元课件-第2讲-矩阵分析及弹性力学基础.ppt

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1、第2讲 矩阵算法及弹性力学基础,2.1 矩阵算法,线性方程组的表示行向量和列向量矩阵加、减、乘法运算矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵矩阵行列式矩阵求逆矩阵的微分和积分正定矩阵（正定二次型）,线性方程组的表示,求解方法：高斯消元法、迭代法,行向量和列向量,矩阵加、减、乘法运算,对称方阵,矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵,或,矩阵行列式,奇异矩阵(方阵),如果方阵A的行列式,则其逆存在，记为,A的伴随矩阵,矩阵的逆,对于：,线性方程组的求解，变为求解系数矩阵的逆矩阵,矩阵的微分和积分,二次型：含有n个变量的二次齐次多项式,若取,正定二次型,则,利用矩阵及其运算，二次型可表示为,A:对称矩阵,正定二次型：

2、设,为实二次型，如果对于,任意的非零实向量X，都有,A:正定矩阵,关于正定矩阵,正定矩阵是特殊的对称实矩阵正定矩阵的对角元aii0正定矩阵的行列式|A|0A为正定矩阵的充要条件是A的所有顺序主子式皆大于0,二次型的微商,对向量x各元素的偏导数,2.2 弹性力学基础,关于弹性力学五个基本假定外力和内力应力、应变、位移指标记法和求和约定张量及Voigt标记平面问题基本方程及边界条件三维问题基本方程及边界条件,关于弹性力学,弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下内力和变形分布规律的一门学科。,力学学科各分支的关系,五个基本假定,连续性：无空隙，能用连续函数描述均匀性：各个位置物质特性相同各向同性：

3、同一位置的物质各个方向上具有相同特性线弹性：变形和外力的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状小变形：变形远小于物体的几何尺寸，建立基本方程时可以忽略高阶小量。,外力和内力,体力分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。面力分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。分布力：连续分布在表面某一范围内集中力：分布力的作用面积很小时的简化内力外力作用下，物体内部相连各部分之间产生的相互作用力。,位移、应力、应变,对变形体受力和变形进行描述的基本变量位移物体变形后的形状应力物体的受力状态应变物体的变形程度,位移,位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、v、w表

4、示。,应 力物体内某一点的内力,F1,F2,F3,应力S在其作用截面上的法向分量为正应力，切向分量称为剪应力，用表示。,显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。,一点的应力状态,无穷小正六面体,六面体的各棱边边平行于坐标轴,第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表示应力的作用方向。正应力由于作用表面与作用方向垂直，通常用一个下标。应力分量的方向定义：如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正；如果某截面上的外法线是沿坐

5、标轴的负方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。,剪应力互等 物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量来表示,或,应变,物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用表示。两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，用表示。,与应力的定义类似，物体内任意一点的变形，可以用六个应变分量表示：,或,指标记法和求和约定,自由指标：表达式每一项中只出现一次的下标，如ij,其中i,j为自由指标，可以自由变化。三维问题中，i,j的变化范围为1,2,3，分别和直角坐标系三个坐标轴x,y,z对应。重复指标（哑指标）：表达式的每一项中重复出现的下标，如

6、aijxj=bi，j为哑指标。求和约定：哑指标意味着求和。爱因斯坦求和约定在微分几何、张量分析、连续介质力学等学科中,对于表达式和推导的简化,有着十分重要的作用。,按一般写法：,用指标记法，则为,（指标变化范围为1,2,3）,采用指标记法后，方程(组)的表达形式得到简练。,张量及Voigt标记,大部分连续介质力学和有限元相关的文献采用张量符号和指标记法张量的定义：不同坐标系下满足一定变换关系的物理量,如 u,张量通常采用指标记法表示0阶张量(标量)：无自由指标的量1阶张量(矢量)：有1个自由指标的量，如ui2阶张量：有2个自由指标的量，如ij,ijn阶张量：有n个自由指标的量,一点的应力状态和

7、应变状态都符合张量的定义，指标记法为ij 和ij，是二阶张量,对张量的理解,张量不随坐标系的改变而改变例如位移矢量ui：无论从哪一个坐标系观察，它反映的总是A点移动到B点的客观事实，不随观察者所在的坐标系而改变。再如应力张量ij和应变张量ij，尽管在不同的坐标系中具有不同的分量，但是它们所描述的却是某点的同一个应力和应变状态。,Voigt标记,含义：在有限元编程中，常常将对称的二阶张量写成列向量，将非常棘手的对称四阶张量（如弹性系数矩阵Dijkl）转换成二阶张量。这种转换过程称为voigt标记。转换规则：应力张量（动力学量）的转换应变张量（运动学量）的转换,应力张量的Voigt标记,应变张量的

8、Voigt标记,剪切应变需要乘以2，这是源于能量表达式的需要。,弹性系数矩阵的Voigt标记,平面问题及其基本方程,弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。,平面应力问题,很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。,平面应变问题,很长的柱形体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。,三大类基本方程,在弹性力学中针对微小的单元体建立基本方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结

9、为偏微分方程组的边值问题。弹性力学的基本方程包括平衡方程：内力和外力的关系几何方程：应变和位移的关系物理方程（本构方程）：应力和应变的关系,平衡方程,ab=dxad=dy,习惯上,张量指标形式：,单位体积力,几何方程,张量指标形式：,物理方程,平面应力问题：,平面应变问题：,张量指标形式：,边界条件,ds,外法线n的方向余弦 l=dy/ds m=dx/ds,位移BC,力 BC,张量指标形式：,三维问题基本方程及边界条件,可以将平面问题的基本方程推广到三维问题。基本变量如下：,位移：应变：应力：,平衡方程,几何方程,物理方程,边界条件,三维问题基本方程的张量指标形式,平衡方程：,几何方程：,物理方程：,边界条件：,作业：一维拉杆问题(忽略体力),用弹性力学的基本方程和边界条件求解拉杆应力、应变及位移分布。E=210000MPa，A=Pi*502 mm2，l=1000mm,P=600N,