新课标初中数学课题学习教学设计的实践与探索.ppt

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1、西安铁一中安 琪,初中数学“课题学习”教学设计,主要内容,一、初中阶段开展数学课题学习的背景与意义二、初中数学课题学习的类型与素材选取三、初中数学课题学习的教学策略四、初中数学课题学习教学设计案例,一、初中阶段开展数学课题学习的背景与意义,（一）开展数学课题学习的背景,1、社会发展对人的素质提出了新要求,未来社会公民需要具备较强的信息收集与处理能力、学习能力和学习心向、分析问题与解决问题的能力、探究意识与能力、合作交流的意识与能力、创新意识与能力。,2、教育价值的分析对数学教育提出了新的认识,数学不仅仅是工具，更是认识世界的一种方法，不仅仅是一个个具体的结果，还包括获得这些结果的活生生的过程以

2、及运用这些结果解决问题的过程。,3、现代数学进展对数学教育提出了新的要求,现代数学的应用日益广泛深入，已经有了“技术”的品质；而且数学的研究方式也发生了变化。呈现现实的问题，让学生在现实的情境中学习数学、应用数学，发展学生的应用意识；数学课程中应提供学生一定的从事观察、猜测、尝试、归纳、实验、操作等活动的机会，让学生感受数学的研究过程。,4、国际数学教育趋势的一些视角和启示,现代数学教育观点认为，与现实世界密切相关的情景问题，是获得数学概念、数学方法的源泉，也是运用数学概念、数学方法的重要领域，而在这些情景问题的解决过程中，数学化是最重要的手段。数学化的思想成为国际数学教育界的共识。,5、国内

3、数学教育现状的反思发现了存在的不足,课程目标单一，过分重视知识的传授，忽视学生学习兴趣和态度的培养；忽视课程内容与学生生活以及现代社会发展的联系，对现代数学进展以及现代数学的应用不够，内容缺乏时代感；教学中过分强调接受学习，模仿训练，忽视学生的主动探索和合作交流，忽视学生的创新意识的培养。,6、应对策略（相关文件）,明确了前进方向，又看到了问题所在，自然就有了应对的策略。为此，基础教育课程改革纲要（试行）在规划新的课程体系时，规定“从小学到高中设置综合实践活动作为必修课程”。,（二）数学课题学习的含义,标准对“课题学习”描述,“课题学习”（综合与实践应用）是一类以问题为载体，学生参与的学习活动

4、，是帮助学生积累数学活动经验的主要途径。针对问题情境，学生借助所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感受数学各部分之间、数学与生活实际之间及其他学科之间的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深学生对所学内容的理解。这种类型的课程对与培养学生的抽象能力和逻辑思维能力、对于培养学生的创新能力和应用能力是有益处的，还有利于培养学生的合作精神。,全日制义务教育数学课程标准（实验稿）把“课题学习”作为初中数学的四大领域之一，这是新课程标准的一大特色，更是这套教材的亮点之一。“课题学习”沟通了生活中的数学与课堂上的数学的联系。与新教材其他内容相比，课题

5、学习是一个新内容，是有别于传统的、极具特色和挑战性的一种新的教学方式。,（三）初中阶段开展数学课题学习的意义,1、有利于改变学生的学习方式,“课题学习”不仅是师生之间、生生之间交流互动与共同发展的过程，更是一个实验、探索、交流的过程，体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程。,举例,北师大版七年级上册学习了“探索规律”一课后，可以设计这样一个课题学习：包装的样式与表面及有什么关系，怎样包装，使包装纸最省呢？现有六盒磁带，你认为怎样包装好？大约需要多少包装纸？每种包装方法与表面积有什么关系？哪种用的纸最少？要求学生课后调查研究、合作学习，写出发现的结论，在班级里

6、交流。,学生习作 按揭购房调查,按揭购房调查报告“购房”已经成为人们口头谈论的又一个话题，越来越多的人开始关注房地产的发展，这可把房地产开发商忙得不亦乐乎。为了让更多的人都拥有一套自己理想的家居，现在市场上拥出了一些“便民”政策。今天我们就来讨论一下关于怎样购房的问题。,学生习作 按揭购房调查,一问题：拥有10万元，怎样购房最划算？二分析问题：1需考虑因素：房子所处地段；四周空气指数；交通便利与否；教育，医疗等机构是否齐全；四周安全是否有保证；2确定目标：位置：我们一般把西安的地皮分为四个等级。城中心为一级地；二环以内为二级地；二环以外为三级地；城外为四级地。一级地的房价最高，人口密度较大，空

7、气指数较底，一般不适宜人们的居住；四级地离城中心稍有些远，交通也有些不便利。因此我们在选择购房时最好选择二环附近的房子居住较好。面积：购房时又一个头疼的问题，想住一个大一点的房子单资金有些问题，小一点的把又不愿意。要我说，一个三口之家，100平方米的房子足以。（三室两厅两卫）,学生习作 按揭购房调查,三调查情况：1调查地点：城南锦绣售楼中心。2调查结果（1）付款方式：A：分期付款：一般跟着工程进度走，必须在5年以内还清全部房款；B：一次性付款：顾名思义就是在住房前一次性的将房产付清；C：按揭：就是首付20%，剩下的向银行做贷款的期限从130年不等，其力息大约分两种方式：a：5年以下的，年利率为

8、4.77%；b：5年以上的：年利率为5.04%。3：房价：每平方米20004000元不等。,学生习作 按揭购房调查,四 解答问题：根据问题我们现在手中只有10万元钱。而我们的房价位（按最底的算）：2000100=200000元因此我们买房只能选择按揭方式。我们现在所剩资金有100000元还需付清。200000元-100000元=100000元，也就是说最晚在30年之内我们必须还要还100000元。打算10年付清则每月支付（1000005.04%10+100000）/（1210）=1253.3元评价：文字虽不多，但结构上很有章法，整篇论文按照提出问题、分析问题、调查问题，解决问题的布局展开，开篇

9、提出论题；然后列举“环境问题“，分析它的本质，并用事列证明“一般不能居市中心繁华地段”的弊端；提出自己的看法，强化论点。观点鲜明，说理透彻，结构完整，层次清晰。附录：人员名单：朱晨、白婷、张荔、李雨夕人员安排：张荔记录数据，朱晨主编整理资料写出论文，白婷参考评价，李雨夕主编评析检查论文。数据来源：二环路南锦绣售楼中心。,2、有利于培养学生的数学意识,课题学习目的之一就是为了沟通生活中的数学与课堂上的数学的联系，让学生在课题学习过程中接触到一些有研究和探索价值的题材和方法，有利于学生全面认识数学、了解数学，使数学在学生未来的职业和生活中发挥重要作用。,举例,在学习“概率”一章时，可以针对目前买体

10、育彩票、福利彩票等现象，设计研究性课题，让学生在研究性课题中理解古典概率的定义。,3、有利于向学生渗透数学思想方法,课题学习过程中，首先面对生活、生产中的实际问题，需要通过抽象、概括、分析、综合将生活问题转化为数学问题，这一过程集中体现了转化思想与建模思想；再通过猜想、假设，再推翻假设，重新建立猜想，验证猜想，修正猜想，一步一步探索，最后得到正确的结论，问题解决过程中往往需要综合运用“数与代数”、“空间与图形”、“概率与统计”等多种知识，在这一过程中更多的是用到数形结合思想、函数与方程思想、分情况讨论思想以及统计与概率思想等。,举例,北师大版七年级数学（上）“制作一个尽可能大的长方体盒子”研究

11、过程中的“无限逼近思想”八（上）“拼图与勾股定理”中的“数形结合”思想九（下）“设计遮阳棚”中的“数学建模”思想,4、有利于培养学生的探究能力,课题学习可以从学科领域或现实社会生活中选择和确定研究主题，在教学中创设一种类似于科学研究的情境，和接受性学习相比，课题学习具有更强的问题性、实践性、参与性和开放性。,举例,八（下）相似多边形课后习题改编：镶在外围木质边框的宽为多少时，边框内外边缘所成的矩形可以相似？,我初一六班同学要与初一年级其它各班进行篮球比赛，如果采取单循环比赛，即十二个班，每个班都要与其它各班比赛一场，那么，全年级一共要进行多少场比赛？如果碑林区初一年级进行比赛，共有n个班，总共

12、应比赛几场？世界杯足球赛采取什么方式进行比赛？三十二支球队一共要进行多少场比赛？,案例球赛场次,论文说明,1.共分四个组,每个大组推举35名代表.2.完成过程可以查阅任何参考书,动用一切你可以动用的工具.3.本周一下午提交人员名单,本周五早晨交小论文.4.论文内容:题目;你所要解决的问题;解决问题的方案;对方案的评价;你由此而引发的想法;附录(论文完成过程时间表,你用到的参考书,每个组员的工作内容).5.评分标准:格式的规范化(10%);方案的优劣,思路的完整性与流畅性(50%);组员分工的合理性(20%);论文的最后陈述(20%).6.负责人 李敏 秦振,学生的习作,有趣的球赛秦 振引言：在

13、日常生活中，有很多事物都有规律，而这些规律可以帮助我们更容易解答出一些复杂的问题。提出问题：问题1：我初一6班要与初一其他班级进行篮球比赛，一共要赛多少场？问题2：如果要是世界杯比赛，一共要赛多少场？,学生的习作,问题一解决问题：一提问：1我班要与多少个班进行比赛？2这个比赛属于什么方式进行的？二解题过程：1本年级共有12个班，除去我班，就共有11个班。2而这次比赛是属于单循环比赛，只求出本班一共要于其它班进行比赛，而不求出淘汰赛的比赛场次。3要是本班要与碑林区所有子校初一年级各班进行比赛，由于碑林区学校太多，每个学校初一班数也不同，因此，碑林区共有初一班数为X。三解题方法：1、年级共有12个

14、班，本班要与其他11个班各进行一场比赛，因此，要进行11场比赛。2、而本班要与碑林区所有学校初一各班（X个班）进行比赛，除去我班，共有（X-1）个班，因此我班要进行（X-1）场比赛。,学生的习作,问题二一提问 1世界杯的比赛规则是什么？2世界杯要进行什么方式比赛?二解题过程：1世界杯比赛是把32支球队分成8个小组，每个小组的前两名进入淘汰赛，在16支球队中进行8场比赛，决出前8名，再进行4场，决出前4名，再进行2场比赛，决出1，2名和3，4名，最后进行决赛和3，4名决赛。2世界杯比赛要先进行小组赛和淘汰赛。小组赛就是在一个小组的4支球队中，进行双循环比赛，每支球队都要与其他3支球队进行1场比赛

15、。接着再进行淘汰赛（见解题过程1）。最后总场次要把淘汰赛和小组赛的总场次加起来。,学生的习作,三解题方法：1小组赛总场次：这次比赛共有8个小组，每个小组有4支球队：1，2，3，4。每支球队都要与其他3支球队各进行比赛。得：1要与2，3，4共进行3场比赛；2要与3，4共进行2场比赛；3还要与4进行1场比赛。共进行3+2+1=6场比赛。由此可的公式1+2+3+（n-1）；再由等差数列求和将公式化简为n(n-1)/2。由于共有8个小组，得8（1+2+3）最后算出小组赛共进行48场比赛。2淘汰赛总场次：小组赛后，决出16强，要进行8场比赛，决出8强，再进行4场比赛，决出4强，还要进行2场比赛，决出1，

16、2和3，4名。最后还要进行决赛和三，四名决赛。淘汰赛共进行8+4+2+2=16场。3总场次：共进行48+16=64场比赛。,学生的习作,联系生活实际 1 一间屋子里，有n个人，每个人都要与屋子里的其他人握手，就要握n(n-1)/2次。2 一条线段上，有n个点，将这条线段分成了（n-1）段，在这条线段上共有n(n-1)/2条线段。3 一个矩形上，画n条与相对两边平行的线段，可以组成n(n-1)/2个矩形。,中考链接（09年西宁市试题）阅读下列材料并填空：（1）探究：平面上有n个点（n2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？我们知道，两点确定一条直线平面上有2个

17、点时，可以画 条直线，平面内有3个点时，一共可以画 条直线，平面上有4个点时，一共可以画 条直线，平面内有5个点时，一共可以画 条直线，平面内有个点时，一共可以画 条直线,（2）迁移：某足球比赛中有n个球队（n2）进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛？,有2个球队时，要进行 场比赛，有3个球队时，要进行 场比赛，有4个球队时，要进行 场比赛，那么有20个球队时，要进行 场比赛,二、初中数学课题学习的类型与素材选取,（一）初中数学课题学习的类型,1、数学应用（如“测量旗杆的高度”、“制作一个尽可能大的无盖长方体盒子”等）2、数学探究（如“中点四边形”、“猜想、证明拓广”

18、、“拼图与勾股定理”等）3、数学实验（如“通过计算器的模拟试验，估计50人中有2人生日相同的概率”等）,（一）初中数学课题学习的类型,4、数学调查（如“吸烟的危害”、“垃圾袋的丢弃情况”等）5、数学制作或数学设计（如“制作七巧板”、“制作视力表”等）6、数学主题阅读（如阅读“黄金分割”的有关文献、网站，撰写笔记或者小论文）,（二）初中数学课题学习素材的选取,选材原则综合性；现实性；阶段性；开放性选材方法挖掘知识的背景与联系；将知识嵌入具体背景中选材主体 课程编制人员教师学生自己,数学课题学习设计,数学课题学习设计,数学课题学习设计,三、初中数学课题学习的教学策略,（一）数学课题学习的教学原则,

19、主体性原则学习化原则最优化原则问题解决原则主导原则发展性原则反思性原则开放性原则适应性原则,（二）数学课题学习的教学策略,1、充分认识数学课题学习的地位、作用和目标2、用新课程理念丰富数学课题学习课的教学过程3、注重形式的多样性4、教师要扩大自己的知识视野、对学生开展数学课题学习加强指导,(三)数学课题学习的教学设计,（四）课题学习活动的目标,经历“问题情境建立模型求解解释与应用”的基本过程；体验数学之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识；获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关知识；通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进运用数学的自信心。,四、初中数学课题学习教学设计案

20、例,案例一,制作一个尽可能大的无盖长方体盒子,课题学习 例1 用一张正方形的纸制作一个无盖的长方体,怎样制作使得体积较大?(七年级上),一、课题题目设计意图分析,本课题题目是一个几何概念，但同时在前面加上了“尽可能”的限定语，体现了探索规律的要求，意即希望学生通过自己动手，在解决问题的过程中，探索规律，体会由几何上升到代数规律的过程。,二、课题学习的教材分析,本课题安排在北师大版数学七年级上册，是七年级上学期的最后一个内容。它包括以下几个知识点：长方体的展开与折叠，代数式表示与求值，借助代数式求值探索规律，统计表。基本上覆盖了本学期的一些主要内容，编者编写的意图，是通过课题学习，使学生进一步丰

21、富自己的空间观念，体会函数思想及符号表示在实际问题中的应用，也就是希望学生通过课题学习，能对本学期的一些主要内容进行一定的回顾和巩固，并最终升华到应用阶段，以体现数学的“学以致用”功能，使学生经历“做数学”到“用数学”的过程。,三、课题学习的教学目的,掌握由一张正方形的纸制作一个无盖长方体盒子的一般方法；在使用字母表示长方体盒子的体积的过程中体会用数学知识解决实际问题的方法；在课题学习的过程中巩固并加深本学期所学的知识：长方体的展开与折叠，代数式表示与求值，借助代数式求值探索规律，统计表；以探究学习为载体，使学生在学习过程中体会科学研究的一般方法和过程，为学生的科学素养培养作一定的铺垫；鼓励学

22、生合作学习，培养合作精神。,四、教学活动设计,问题探究,1、如何用一张正方形的纸制作一个无盖的长方体盒子？（用到第一章棱柱展开图的知识）2、如何计算这样一个无盖长方体的体积？（引导学生用字母表示数）3、如何使我们所制成的长方体尽可能大？（要求学生讨论寻求规律的方法，引导学生利用表格呈现规律；指导学生分工进行。）,五、课后反思,这个课题从学生熟悉的折纸活动开始，进而通过操作、抽象和交流，形成问题的代数表达；再通过收集有关数据，推断“容积变化与边长之间的联系”，最终，通过交流与验证等获得问题的解，并对求解的过程反思。在这个活动中，学生将进一步丰富自己的空间观念，体会函数思想以及符号表示在实际问题中

23、的应用，进而体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用已有的知识和方法解决问题的过程，并从中加深对相关知识的理解，发展自己的思维能力。,六、学生作品,制作一个尽可能大的无盖长方体盒子西安铁一中初一12班 王晓雨 张帆 齐琰 刘天宇,用一张正方形纸折成无盖长方体使其容积最大，通过实验，我们考虑了如下方案：如图1，当4个阴影部分的小正方形被剪去后，正好可以折成叠成底面是正方形的无盖长方体。,怎样求这个长方体的容积呢？设阴影正方形的边长为a，大正方形的边长为b。因为,所以长方体容积。设b=20cm,可得下表和图2,图2,由图表可见，随着 值的变化，长方体的容积也不断变化，并且 在3cm和4

24、cm之间，容积最大，那么究竟是哪个数呢？经过计算，发现是3.3cm到3.4cm之间，再往后，发现 的值在3.333cm到3.334cm之间，这个数随着所取小数点位数的增加越来越逼近20的，也就是，即。可这是一个无限小数，不太好算。另设b=6cm试一试，按照上面的方法计算后再比较，果然a=1cm的时候容积最大，这时容积是。,那么，在完全利用纸张的情况下，这是不是最好的呢？再看看下面的方案。如图3，在同一边相邻的两角上分别剪下一个以大正方形边长的 为边长的小正方形拼到对边的中间，之后沿虚线折叠。同样，设大正方形的边长是20cm，则拼成的长方体容积是。显然，这样折成的长方体容积大于前面方法所得到的长

25、方体容积。,中考链接,案例二,拼图与勾股定理,请你利用拼图的方法说明勾股定理的正确性.,课题学习 拼图与勾股定理(八年级上),一、教材分析,二、教法选择,三、学法指导,四、课程设计,五、相关说明,课题:拼图与勾股定理,一、教材分析,1、教材的地位和作用,勾股定理有着悠久的历史，是人类最伟大的数学发现之一。但由于教材的编写遵循了简约性原则，在学习勾股定理知识的过程中，没能更深入地介绍它产生、发展的历史背景、多样的验证方法，以及在人类文化发展史上的贡献。因此，在学生完成了勾股定理这章的学习之后，设置了拼图与勾股定理的课题学习，它属于数学课程标准中所规定的“实践与综合应用”领域的内容，是对课本知识进

26、一步的延伸和拓展，让学生更全面的认识勾股定理，了解拼图与定理证明之间的内在联系，通过经历综合应用知识解决问题的过程，领会其中的数学思想方法，以开拓学生视野，激发他们的创新意识和学习数学的兴趣。,一、教材分析,2、教学目标,通过对几种常见的勾股定理验证方法，进行分析和欣赏。理解数 学知识之间的内在联系，体会数形结合的思想方法，进一步感悟勾股定理的文化价值。,通过拼图活动，尝试验证勾股定理，培养学生的动手实践和创新能力。,让学生经历查询资料、自主探究、合作交流、观察比较、计算推理、动手操作等过程，获得一些研究问题的方法，取得成功和克服困难的经验，培养学生良好的思维品质，增进他们数学学习的信心。,3

27、、教学重点和难点,难点：,重点：,分析和欣赏几种常见的验证勾股定理的方法。,尝试利用“五巧板”拼图，验证勾股定理。,“数形结合”思想方法的理解和应用。,通过拼图，探求验证勾股定理的新方法。,二、教法选择,“操作思考”的方式符合八年级学生认知水平，适应其思维发展规律及心理特征。,三、学法指导,在学法上，充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生通过动手实践，合作探究的方式进行学习。,四、课程设计,验证方法的收集与整理,探究成果的交流与展示,小结反思，课题拓展,文化价值的了解与探讨,尝试拼图，验证定理,验证过程的分析与欣赏,1课前自主探究活动,勾股定理证明方法汇总,1课前自主探究活动,探究报告,具

28、体的做法是：请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多的寻找和了解验证勾股定理的方法。,2 探 究 成 果 的 交 流 与 展 示,三国时期吴国数学家赵爽在为周髀算经作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明。,2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，它既标志着中国古代数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自各地的数学家们！,方法一,你能借助弦图证明勾股定理吗？,约公元 263 年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍九章算术作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。,方法二,希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330

29、公元前275）在巨著几何原本给出一个公理化的证明。,1955年希腊为了纪念二千五百年前古希腊在勾股定理上的贡献，发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。,方法三,其它方法,美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总统证法”。,如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式得：,化简为：,意大利著名画家达芬奇的证法：,在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明。,做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正方形分成 4 分。之后依照图七中的颜色，将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定理的证明,据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。,将4个全等的直角三

30、角形拼成边长为(ab)的正方形ABCD，使中间留下边长c的一个正方形洞画出正方形ABCD移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a与b的两个正方形洞则图1和图2中的白色部分面积必定相等，所以c2=a2+b2,图1,图2,3验证过程的分析与欣赏,问题思考,这些验证方法，有什么共同点和不同点？,c,b a,三种类型：,用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系。体现了以形证数、形数统一、代数和几何的紧密结合。,第一种类型：以赵爽的“弦图”为代表,美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总统证法”。,如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式得：,化简为：

31、,意大利著名画家达芬奇的证法：,据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。,将4个全等的直角三角形拼成边长为(ab)的正方形ABCD，使中间留下边长c的一个正方形洞画出正方形ABCD移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a与b的两个正方形洞则图1和图2中的白色部分面积必定相等，所以c2=a2+b2,图1,图2,第二种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”。,青朱出入图,青出,中国古代杰出的数学家刘徽在他的九章算术中给青朱出入图作出了注解。,面积出入相补

32、原理,青朱出入图,在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明。,做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正方形分成 4 分。之后依照图中的颜色，将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定理的证明。,第三种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。,如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE，并交 DE 于 L，交 BC 于 M。通过证明BCFBDA，利用三角形面积与长方形面积的关系，得到正方形ABFG与矩形BDLM等积，同理正方形ACKH与 矩形MLEC也等积，于是推得,。,以上的证明方法都从几何图形的面积变化入手，运用了

33、数形结合的思想方法，其中第一、二种类型还与拼图有着密切的关系。,4.勾股定理的文化价值,(1)勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。,(2)勾股定理反映了自然界基本规律,有文明的宇宙“人”都应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与“外星人”联系的信号。,(3)勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。,(4)勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解题程序树立了一个范式。,5.尝试拼图，验证勾股定理,a,b,c,a,b,c,如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系？,想一想,6.小结反思,课题拓展,我最大的收获；,我表现较好的方面；,我学会了哪些知识；,我还有哪些疑惑,学生反思：

34、,（1）写数学日记并发挥你的聪明才智，去探索勾股定理、去研究勾股定理，你又有什么新的发现？（2）尝试用七巧板拼图，你能验证勾股定理吗？,课题拓展：,评价表,关于课题学习后的思考,教材为我们提供的课题学习内容是拼图与勾股定理，但我们在实际的教学过程中，还可以有其他不同的视角和选择。例如：勾股定理的证明方法与归类（挖掘知识的背景与联系）勾股定理的应用最短距离问题的研究（将知识嵌入具体背景中）,案例三,平面图形的镶嵌,一、课题题目设计意图分析,初一学生通过对多边形的有关性质的研究，探索了正多边形拼地板的问题，体会数学来源于实践，又应用于实践的特点，将激发他们进一步探索多种正多边形的镶嵌，增强对正多边

35、形的平面镶嵌的欲望，探求图形镶嵌中的一般规律、图形特点，以及数量关系，并通过学生自主探索，合作交流，猜想可能的结论，有意识的培养学生的创新意识和实践能力，让学生在讨论中体会数学问题研究中“从特殊到一般”、从“具体到抽象”的过程，从平面图形镶嵌的美感受到数学的美，认识到数学美的价值，感受生活中数学的应用美。,二、课题学习的教材分析,多边形是简单的基本几何图形，三角形和多边形的相关概念及其边角的性质是学习空间与图形的重要基础。本章采用“问题探索发现”的研究模式；并采用了“拼图和数学说理的方法”、“画图的方法”和“计算与归纳说明的方法”，并通过探索性、开放性的习题，力图改变学生的学习方式，让学生自主

36、探索，合作学习。“平面图形的镶嵌”既是本章的小结，又是本章的拓展，它以小课题研究的形式进行多边形知识的阶段总结，同时也为知识的拓展提供了空间。通过学习，使学生在本章中所获得的一些研究方法得到巩固，丰富自己的研究策略和经验，进而加深理解本章的数学知识。,三、课题学习的教学目的,知识与技能目标 通过探索平面图形的镶嵌，使学生知道任意一个正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。体验数学知识间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识。获得一些研究总问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解有关的数学知识。培养学生观察、动手和操作能力。,三、课题学习的教学目的,过程与

37、方法目标 学生通过经历收集、观察、整理、抽象、分析、归纳等过程，体验解决实际问题的方法。,三、课题学习的教学目的,情感与态度目标 培养学生的探究知识的实践意识、创新精神和团队合作精神。通过获得成功的体验和克服困难经历，增进应用数学的自信心。感受数学美，培养学生的审美能力。使学生在活动数学美，培养学生的审美能力。,四、教学活动设计,1.收集图案展示,生活中利用镶嵌组成的美丽图案,镶嵌的含义,用一些形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间无缝隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖，这就是平面图形的镶嵌,正三角形,正方形,正五边形,正六边形,2、问题情境,3、分组探索,用一种正多边形进行

38、镶嵌用任意一种三角形或任意一种四边形进行镶嵌用任意一种五边形和任意一种六边形进行镶嵌选择两种图形进行镶嵌用三种或多种正多边形进行镶嵌,在用正三角形镶嵌的图形中，每个镶嵌点处有几个角？这几个角的和为多少？每个内角与其和有什么关系?,正三角形的镶嵌,90,正方形的镶嵌,啊!拼不了啦,为什么呢?你能说说道理吗?,1,2,3,1+2+3=?,正五边形的镶嵌,4,4=?,120,120,120,正六边形的镶嵌,理一理,6,4,3,3,能拼好,能拼好,不能拼好有缺口,能拼好,哪些正边形可以密铺吗？,镶嵌的关键是每个拼接点处的几个角拼在一起恰好组成一个 360 的周角。,在用同一种正多边形时，若其内角度数能

39、整除360则可以镶嵌，反之则不能镶嵌。,用一种正多边形可以镶嵌的只有正三角形、正方形和正六边形。,试一试:剪出一些形状、大小完全相同的任意三角形纸片，拼拼看，它们能否镶嵌成平面图案？,从 练习 中 悟 方 法,任意四边形的镶嵌,剪出一些形状、大小完全相同的任意四边形纸片，拼拼看，它们能否镶嵌成平面图案？,归纳:,2、任意三角形一定可以镶嵌.,4、正六边形可以镶嵌.,3、任意四边形一定可以镶嵌,注意:只用正五边形、正八边形一种图形不能镶嵌.,1、拼接在同一个点的各个角 的和等于360度,正三角形,正方形,想一想,正六边形,正八边形,拼拼看,设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形的角。,正三角

40、形与正方形的平面镶嵌,注意：同一个组合会有不同的镶嵌效果,拼拼看,设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形的角。,（2）正三角形与正六边形的平面镶嵌,更多的两种正多边形的镶嵌,正十二边形与正三角形的平面镶嵌,正十边形与正五边形的平面镶嵌,当围绕一点拼在一起的两种正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，这两种正多边形就能镶嵌.,当围绕一点拼在一起的几种正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，这几种正多边形就能镶嵌.,正方形与正六边形、正十二边形的平面镶嵌,正十二边形与正方形、正六边形的平面镶嵌,三种正多边形的平面镶嵌,正三角形与正方形、正六边形的平面镶嵌,4、设计图案,结合前面的探究结果

41、：每人设计一幅用平面图形铺满地面的美丽图案。,5、交流分享,每个小组派出一名代表将本组探究时的思路与方法以及不同的解题途径与技巧、小组共同意见、探究结论、设计的图案等成果进行汇报，然后学生之间相互交流，在交流过程中，教师及时给予激励性点评，营造和谐氛围，使学生分享交流成果，促进自我反思，赞赏他人。,通过本节课的学习，你有哪些收获？,1、平面图形的镶嵌指没有空隙和不重叠的拼接;,2、镶嵌的关键是几个角拼在一起恰好组成一个 360 的周角；,3、用一种多边形镶嵌时，三角形、四边形和正六边形都能镶嵌；,4、用几种不同的正多边形镶嵌的方案有很多。,6、课内小结,7、课外练习,请你为家里客厅地面设计一幅

42、用平面图形铺满底面的漂亮图案，与同学比一比，看谁设计的更有新意。尝试写出“平面图形的镶嵌”课题学习报告。,五、学生作品片段展示,研究方向,用一些形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间无缝隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖，这就是平面图形的镶嵌,一个图形类型,用三种正多边形进行镶嵌,用多种正多边形进行镶嵌,中考链接,案例四,制作视力表,视力表对我们来说并不陌生,但你想过吗,视力表中蕴含着一定的数学知识.现有一个测试距离为5m的标准视力表.请你根据这个视力表,制作一个测试距离为3m的视力表.,课题学习 制作视力表(八年级下),一、教材分析,“制作视力表”选自北师大版义务教育课程标

43、准实验教科书数学八年级下册第四章后的课题学习。本节内容与本章的第一节线段的比、第五节相似三角形、第六节、第八节、第九节的内容都有关系，是本章内容的一个综合运用。与图形的平移、数据的测量、统计与物理学科中的凸透镜成像、视角等内容都发生着关系。通过对本节的学习，可以练习巩固以上的数学、物理知识，重要的是使学生学会用数学的思维方式去观察、分析、解决日常生活中的问题，增强应用数学的意识、了解数学的价值。,二、学情分析,学生在第四章的学习中已经学习了线段的比、相似图形与位似图形的概念，对相似图形、位似图形有一定认识。本节作为第四章的最后一部分内容课题研究，是对本章所学知识的一次总结和实践应用。八年级学生

44、已经基本具备了一定的观察、分析、对比、统计、归纳的能力和一定的创新意识，他们有强烈的独立思考、自主探究的愿望，这些对本节内容的学习都是有很大帮助的。但本节课所涉及的内容不但包括数学中的相似图形、位似图形等知识，同时也是对学生物理知识掌握的一次考查，如果没有物理知识作铺垫，将较难理解大“E”与小“E”为何因为测试距离的不同而可以同时衡量同一视力。所以就本节内容，学生在用bl来刻画视力的理解及应用上存在一定的困难。,三、教学目标,（一）教学知识点探索视力表中的蕴含的数学知识，体会视力表的制作原理，进一步发展学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。进一步理解相似图形及其相似比、位似图形及其位似

45、比等有关内容。（二）能力训练要求通过度量“E”的长、宽及空白缺口宽，制作0.1与0.2的“E”，测量l1、l2、b1、b2的动手操作，培养学生的动手能力，通过讨论探索其中所蕴含的数学知识以及数据之间的关系培养了学生的合作交流能力，独立思考的习惯和探索能力。（三）情感与价值观要求通过探索视力表中的奥秘，让学生感受到数学活动充满着探索与创造，同时让学生认识数学与人类生活的密切联系.并能获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识.体验从数学的角度观察、分析现实生活中的某些现象，初步形成“用数学”的自觉意识。,四、教学重点和教学难点,教学重点探索视力表中蕴含的数学知识教学难点探

46、索视力表中蕴含的数学知识，从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有的知识解决问题。,五、教学方法,指导探索法即在教师的指导下，由学生自己动手去操作，并和同伴互相交流探索出结果.,六、教学过程,七、学生作品学习汇报材料,1、度量视力表中视力为0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.8,1.0,1.2,1.5,2.0所对应的“E”的长a，宽b，空白缺口宽度d，并填写表格。,（1）观察表格中的数据，你发现了什么？答：我发现a与b相等，并且d是a和b的五分之一。（2）视力表中各“E”形图案之间有什么关系？答：所有“E”都是相似图形。它们的对应角都相等，对应边都成比例。同行的“

47、E”都全等，可以通过旋转或平移相互得到。,2、取视力表中视力为0.1,0.2,0.3,0.5,1.0所对应的“E”，依次编号为，取编号为的两个“E”，如图放置于水平桌面上，将号“E”沿水平桌面向右移动，直至从右侧点0看去，点P1，点P2，点0在一条直线上为止。此时我们说，在D1处用号“E”测得的视力与在D2处用号“E”测得的视力相同。从图中，你有何发现？,答：我发现两个“E”P1AO与P2BO相似，由相似可得出。这两个图形虽然大小不同，但成一定比例，如果将它们到人眼距离也按这个比例放置，那么它们在人眼中的大小就相同了，测试出来的结果就一样了。,3、按照上述方法，把五个“E”按照上述方式，排列成

48、下面的样子，此时，从图中你又能得出什么结论？答：五个“E”两两之间是位似图形，位似中心是点O。从点O处，五个不同位置的“E”所测得的视力相同。我们可以用“E”的高与它到眼睛的水平距离之比（）来刻画视力，若比值相同，那么用它们测得的视力就相同。,4、现有一个标准视力表，它要求的测试距离为5m，根据这个视力表，怎样制作一个测试距离为3m的视力表？如果要求测试距离为8m呢？答：我们可以根据“只要每个E的高与测试距离的比值相等，那么用它们测得的视力就相同”这个知识点来制作。当测试距离为3m时，把已知视力表中的各个“E”的边长分别缩小到原来的五分之三；当测试距离为8m时，把已知视力表中的“E”的边长分别

49、扩大到原来的五分之八。,5、到有关单位进行调查，目前较为通用的视力表有哪几种？它们与我们上面所讨论的视力表有一种什么换算关系？整理调查结果。答：我们查到了国际标准视力表与标准对数视力表。下面的图1为国际视力表“E”形视标，图2是对数视力表“E”形视标，图3是“C”形视标,（1）（2）（3）,视标大小的设计必须有基准，没有基准，设计将各自为政，无法统一，难于比较。视标简单易认，以一分视角为依据，又约定俗成设计距离为5米。以1.0（5分法的5.0）为例，视标E的宽和高均为5分视角，笔画宽度同间隙相等，每一画或间隙均为1分视角；视标C的画宽和缺口相等，均为1分视角。以此为起点按一定方式或一定的增进率

50、设计并排列起来的视标系就称作视力表。,下面是这两个表对照使用时想出的一些问题,拥挤现象：当照明条件相同时，发现用国际标准视力表检查结果比对数视力表好一些（约好一行）。分析原因：国际标准视力表的视标“E”字，中间一横短于其他两横。而标准对数视力表的视标“E”字三横等长，造成“分开困难”，即“拥挤现象”。对弱视诊断和疗效判定的影响：弱视定义中规定矫正远视力小于或等于0.8者为弱视，而标准对数视力表中缺少0.9这一行。加入患者矫正视力为0.9，即可否定弱视存在，可是患者视力又达不到1.0.因而标准对数视力表中缺少0.9一行，无法判定患者是否为弱视。低于4.0的视力无法应用五分记录法：目前国内医院和眼