数项级数收敛性判别法.ppt

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1、2023/10/1,1,第二节 数项级数收敛性判别法,第七章,（Interrogate of constant term series）,一、正项级数及其审敛法,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,四、小结与思考练习,2023/10/1,2,一、正项级数及其审敛法,若,定理 1 正项级数,收敛,部分和序列,有界.,若,收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数.,单调递增,收敛,也收敛.,(Interrogate of positive term series),2023/10/1,3,2023/10/1,4,证,根据比较审敛法可知所给级数也是收敛的,20

2、23/10/1,5,(常数 p 0),的敛散性.,解:1)若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散.,发散,例2 讨论 p 级数,2023/10/1,6,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.,时,2)若,2023/10/1,7,解,2023/10/1,8,则有,两个级数同时收敛或发散;,(2)当 l=0,(3)当 l=,设两正项级数,满足,(1)当 0 l 时,定理3(比较审敛法的极限形式),2023/10/1,9,解,2023/10/1,10,2023/10/1,11,2023/10/1,12,2023/10/1,13,设,为正项

3、级数,且,则,(1)当,(2)当,证:(1),收敛,时,级数收敛;,或,时,级数发散.,由比较审敛法可知,定理4 比值审敛法(D Alembert 判别法),2023/10/1,14,因此,所以级数发散.,时,说明:当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p 级数,但,级数收敛;,级数发散.,从而,(2)当,2023/10/1,15,2023/10/1,16,2023/10/1,17,对任意给定的正数,设,为正项级,则,证明提示:,即,分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.,数,且,定理5 根值审敛法(Cauchy判别法),2023/10/1,18,时,级数可能收敛也可能发散.,例如

4、,p 级数,但,级数收敛;,级数发散.,说明:,2023/10/1,19,2023/10/1,20,二、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数.,定理6(Leibnitz 判别法),若交错级数满足条件:,则级数,收敛,且其和,其余项满足,(Interrogate of staggered series),2023/10/1,21,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S,且,故,2023/10/1,22,收敛,收敛,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?,发散,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,2023/10/1,23,三、绝对收敛

5、与条件收敛,定义 对任意项级数,若,若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级,收敛,数,为条件收敛.,均为绝对收敛.,例如：,绝对收敛；,则称原级,数,条件收敛.,(Absolute convergence and conditional convergence),2023/10/1,24,证:设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛,令,定理7 绝对收敛的级数一定收敛.,2023/10/1,25,证:(1),而,收敛,收敛,因此,绝对收敛.,例11 证明下列级数绝对收敛:,（补充题）,2023/10/1,26,(2)令,因此,收敛,绝对收敛.,2023/10/1,27,

6、2023/10/1,28,其和分别为,*定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.,*定理9(绝对收敛级数的乘法),则对所有乘积,按任意顺序排列得到的级数,也绝对收敛,设级数,与,都绝对收敛,其和为,绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.,说明:条件收敛级数不具有这两条性质.,2023/10/1,29,内容小结,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.利用正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,2023/10/1,30,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,3.任意项级数审敛法,2023/10/1,31,课外练习,习题72 1-8,思考练习,1、设正项级数,收敛,能否推出,收敛?,提示:,由比较判敛法可知,收敛.,注意:,反之不成立.,例如,收敛,发散.,2023/10/1,32,则级数,(A)发散;(B)绝对收敛;,(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.,分析:,(B)错;,又,C,2.,