数学物理方程第一章-复变函数.ppt

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1、第一篇 复 变 函 数 论,复变函数微分和积分泰勒展开和洛朗展开留数定理傅立叶变换拉普拉斯变换,z,y,x,1,1,O,第一章 复变函数,代数表示:x,y 为实数，i 为单位虚数，则,且 x 为其实部，y 为虚部，记,1.1.复数,为复数,且,和,主值,复共轭,又称为模,其它概念,x 轴为实轴，y 轴为虚轴，构成复数平面复数 z 为此平面上的一点,几何表示,从几何上看，复数又是此平面上的一个矢量,为矢量长度,为幅角,记,复数的运算,加法,减法,乘法,除法,幂（n整数）,根,逼近,测地投影和无限远点,如左图，一球的南极与复数平面的原点相切，平面上任意点 A 与球的北极由一条直线相连，直线与球相交

2、于 A。由此，每一有限的复数 投影到球上一点。这个投影叫测地投影，这个球叫复数球。,所有的无穷大复数（平面上无限远点）投影到唯一的北极 N。故我们为方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。,复数 z 是两个独立变量(x,y)的集合。它在数值计算中是一个整体，服从通常的四则运算规则和虚单位的特殊规则；它可以看作具有两个独立分量的量来表示（矢量）和计算。,小结,1.2.复变函数,比较与实变函数相对应的定义,实函数：,x,x,定义域、值域,y=f(x),y=f(x),复函数,定义 在复平面上一点集 E 中每一点，都有一个或几个复数 与之对应，称 为 z 的函数，E 为定义域，,记,E,实

3、函数：定义:对于实数域中一区域 B 中的每一实数 x，都有唯一的一个实数 y 与之对应。则称 y 为 x 的函数。B为此函数的定义域，记。连续，可微：,n 次可微,无限可微,邻域,区域 B 的内点,外点,境界点,境界线,区域,内点组成的连通集合,闭区域,区域和境界线的全体,全体境界点的集合,不是内点，也不是外点的点。,z 和它的邻域都不属于 B，则 z 为 B 的外点。,z 和它的邻域都属于 B，则 z 为 B 的内点。,复平面上圆 内点的集合,几个概念,z,z,r,区域,例,多项式,有理分式,根式,指数函数,三角函数,双曲函数,对数函数,幂函数,连续：,或：,视 z 为矢量,这是平面上的矢量

4、场,可以设矢量函数,1.3.导数,定义,运算规则,复函数是一个二元函数（实部和虚部），复数空间又是个二元空间，故复函数类似于一个矢量场，其导数一般应与方向有关。,可导：对任何方向的，极限都存在并唯一。,可导：对任何方向的，极限都存在并唯一。,因此，复函数的可导性是比实函数的可导性强的多的条件。,柯西黎曼方程,沿实轴,沿虚轴,可导，要求二者相等,必要条件,柯西黎曼方程,必要条件,可导的充分条件:,的,存在，连续且满足柯西黎曼方程。,1.4.解析函数,在点 解析，即在这点可导。,为在区域 B 中解析函数，即在区域的点点解析。,性质,曲线族,相互正交。,即,由柯西黎曼方程,两族曲线的梯度正交,两族曲线正交,(1),已知 U 求 V,当它们是某解析函数的实部和虚部,可由(1)曲线积分(2)凑全微分显式(3)不定积分 求出,满足拉普拉斯方程,由柯西黎曼方程,调和函数,(2),例,求,解:,u 是调和函数;,(1),二元函数的线积分，将来在热力学中出现。,全微分的积分与路径无关,(2),(3),视 x 为参量，对 y 积分,求 满足的方程,小结,复变函数的导数的定义是实函数导数定义的自然推广。复变函数的可导性是很强的要求，必要条件是柯西黎曼方程。充分条件是函数的实部与虚部的导数存在，连续并满足柯西黎曼方程。解析函数是调和函数。,