数学物理方法第十章球函数.ppt

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1、数学物理方法,第十章 球函数,球函数,轴对称问题和勒让德多项式转动对称问题和连带勒让德函数一般问题和球函数本章小结,轴对称问题和勒让德多项式,轴对称拉普拉斯方程的求解勒让德多项式勒让德多项式的母函数和递推公式勒让德多项式的性质勒让德多项式的应用,轴对称拉普拉斯方程的求解,勒让德多项式,定义,一般表示,具体形式,级数表示,微分表示,积分表示,代数表达式,图象,勒让德多项式的代数表达式,勒让德多项式的图象,勒让德多项式的图象,母函数和递推公式,母函数定义：u(x,r)=Pl(x)r l 形式：u(x,r)=(12rx+r2)-1/2推导应用递推公式基本递推公式证明应用,母函数的推导,母函数的应用,

2、基本递推公式,递推公式的证明,递推公式的应用,勒让德多项式的性质,奇偶性Pl(-x)=(-1)l Pl(x)零点定理L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。正交性正交性公式模正交性应用例题完备性完备性公式广义傅立叶系数完备性应用例题,勒让德多项式的正交性,模,正交性,正交性应用例题,勒让德多项式模的计算,勒让德多项式的完备性,广义傅立叶系数为,完备性,如果函数 f(x)满足适当的条件，则有,完备性应用例题,例1：把函数 f(x)=x2 用勒让德多项式展开。,例2：把函数 f(x)=|x|用勒让德多项式展开。,例3：把函数 f(x)=(x-1)5 用勒让德多项式展开。,例4：把函数 f(x)=

3、x3 用勒让德多项式展开。,勒让德多项式的应用,例题 1,半径为a的球面上电势分布为 f=Acos2，确定球内空间的电势 u。,解：,勒让德多项式的应用,例题 2,半径为a的球面上电势分布为 f=Acos2，确定球外空间的电势 u。,解：,勒让德多项式的应用,例题 3,一空心圆球区域，内半径为a，外半径为b，内球面上电势为 f=cos，外球面上电势为零，确定区域内电势u。,解：,勒让德多项式的应用,例题 4,半径为a的导体球面附近的电场分布为 f=Acos，确定球外空间的电势 u。,解：,勒让德多项式的应用,例题 5,半径为a的球面保持温度分布为 f=Acos，确定球外空间的稳定温度分布 u。

4、,解：,勒让德多项式的应用,例题 6,半径为a的半球球面上电势分布为 f=A，底面电势为零，确定半球内空间的电势 u。,解：,勒让德多项式的应用,例题 7,半径为 a 的半球球面上温度分布为 f=A，底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u。,解：,转动对称问题和连带勒让德函数,转动对称稳定问题的求解连带勒让德函数连带勒让德函数的性质连带勒让德函数的应用,转动对称稳定问题的求解,连带勒让德函数,定义,微分表示,具体形式,代数表达式,图象,连带勒让德函数的代数表达式,连带勒让德函数的图象,连带勒让德函数的图象,连带勒让德函数的性质,奇偶性Plm(-x)=(-1)l+m Plm(x)正交性正交性

5、公式模正交性应用例题完备性完备性公式广义傅立叶系数,连带勒让德函数的正交性,正交性和模,正交性应用例题,连带勒让德函数的完备性,广义傅立叶系数为,完备性,如果函数 f(x)满足适当的条件，则,连带勒让德函数的应用,例题 1,半径为a的球面上电势分布为 f=Asin2cossin，确定球内空间的电势 u。,解：,连带勒让德函数的应用,例题 2,半径为a的球面上电势分布为 f=Asin2cossin，确定球外空间的电势 u。,解：,连带勒让德函数的应用,例题 3,半径为a的导体球面附近电场分布为 f=Asincos，确定球外空间的电势 u。,解：,连带勒让德函数的应用,例题 4,半径为a=2的球面

6、上温度分布为 f=Asincossin，确定球内空间的稳定温度分布 u。,解：,一般问题和球函数,非对称稳定问题的求解球函数的概念球函数的性质球函数的应用球函数的归一化,非对称稳定问题的求解,球函数的概念,定义,一般表示式,具体形式,球函数的具体形式,球函数的性质,对称性,正交性,完备性,球函数的应用,例题 1,半径为a的球面上电势分布为 f=Asin2cos2，确定球内空间的电势 u。,解：,球函数的应用,例题 2,半径为a的球面上电势分布为 f=Asin2cos2，确定球外空间的电势 u。,解：,球函数的归一化,归一化的球函数,正交性,完备性,本章小结,一般球面边界稳定问题的半通解为,转动对称球面边界稳定问题的半通解为,轴对称球面边界稳定问题的半通解为,递推公式的证明,