数学物理方法解析函数.ppt

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1、1,数学物理方法,数学是科学的大门和钥匙，忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。（英）R.培根,教材：数学物理方法（第二版）姚端正 梁家宝编著任课教师：刘辛,3,数学物理方法,复变函数篇,数学物理方程篇,特殊函数篇,数学物理方法,复变函数篇,4,1.1复数及其运算,数的扩张（完善化）自然数（+负整数）整数（+分数）有理数（+无理数）实数（+虚数）复数,5,第一章 解析函数,复数概念：一对有序的实数（x，y）代数表示z=x+iyx=Real(z)（实部）,y=Imagine(z)（虚部）,i2=-1(虚单位）,几何表示,关系x=r cosy=

2、r sin=Arctan(y/x)特点无序性复数无大小（模比较大小）矢量性复数有方向,6,任一复数z0有无穷多个辐角（相差2k），以argz表示其中在2范围内变换的一个特定值，称之为辐角的主值，通常取-argz 则 Argz=argz+2k（k=0，1，2，）z处于第一象限：argz=arctan（y/x）；第二象限：argz=arctan（y/x）+；第三象限：argz=arctan（y/x）-；第四象限：argz=arctan（y/x）。,7,三角表示z=r(cos+i sin)r=|z|（模）,=Arg(z)（辐角）指数表示z=r exp(i)exp(i)=cos+i sin,代数表示z

3、=x+iyx=Re(z),y=Im(z),复数的表示,8,9,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,例,解,共轭复数,10,共轭复数的性质,以上各式证明略.,11,例1,证,.,(2),;,(1),:,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,z,z,z,z,z,z,z,z,z,z,+,+,=,证明,为两个任意复数,设,12,两边同时开方得,同理可证：,13,设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数,复数加减法满足平行四边形法则,复数的运算,交换律、结合律、分配律成立,14,乘法运算,两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加,除法运算,两个复数相除等于它们的模相除，

4、幅角相减,乘方运算,当r=1时,上式对所有n取整数，恒成立。,15,16,开方运算,从这个表达式可以看出：,1）当k=0,1,2n-1时，得到n个相异的值；当k取其他整数值时，将重复出现上述n个值。因此，一个复数z的n次方根有且仅有n个相异值。,2）上述n个方根具有相同的模，而每个相邻值的辐角差为2/n，故在几何上，w的n个值分布在以原点为中心，r1/n为半径的圆内接正n边形的顶点上。,17,模有限的复数和复数平面上的有限远点是一一对应的。复变函数理论中无穷大也理解为复数平面上的一个“点”，称为无限远点，记为，其模大于任何正数，辐角不定。平面上的具体点难以描绘无限远点，为此引入复球面的概念。把

5、一个球放在复平面，使其南极S与复 平面相切于原点，复平面上任一点A 与 球的北极N连线交与球面A点，则复平面 上每一有限远点与球面上的点一一对 应（此对应称测地投影），A无限远离o 时，A点无限趋近于N，故可将N看做无 限远点的代表点。此球面称为复球面或 黎曼球面，复平面上只有一个无穷远点。,18,19,复平面上的点集,20,定义设D为点集，z0为D中的一点。如果存在z0的一个邻域，该邻域内的所有点都属于D，则称z0为D的内点；若点z0的某一个邻域内的点都不属于D，则称点z0为D的外点。若在点z0的任意一个邻域内，既有属于D的点，也有不属于D的点，则称点z0为D的边界点，点集D的全部边界点称为

6、D的边界。,内点，外点，边界点 开集,注意 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的。,定义 若点集D的点皆为内点，则称D为开集,开集,21,定义点集D称为一个区域，如果它满足：(1)属于D的点都是D的内点，或D是一个开集；(2)D是连通的，就是说D中任何两点z1和z2都可以用完全属于D的一条折线连接起来。,通常称具有性质(2)的集为连通的，所以一个区域就是一个连通的开集。,区域D加上它的边界C(p)称为闭区域或闭域，记为,区域,22,邻域,z,复平面上圆内点的集合,内点,z 和它的邻域都属于 D，则 z 为 D 的内点,外点,z 和它的邻域都不属于 D，则 z 为 D 的外点,边界点

7、,不是内点，也不是外点的点,边界,全体边界点的集合,z,区域,内点组成的连通集合,闭区域,区域和边界线的全体,区域,区域概念总结,23,1,曲线,如果曲线的实部x(t)和虚部y(t)均为t的连续函数，那么曲线就叫连续曲线。,对于连续曲线，则曲线没有重点（纽结），则称为简单曲线。当 时，则称简单闭曲线。,光滑曲线：若连续曲线在区间上存在连续的 及，且两者不同时为零，则在曲线上每点均有切线且切线方向是连续变化的。,简单闭曲线把扩充复平面分为两部分，一部分是不含的点集，称为该曲线的内部；另一部分是含的点集，称为该曲线的外部。这两个区域都以给的简单闭曲线（也称若尔当曲线）作为边界。,曲线内外部区分（若

8、尔当定理）,26,单连通域与多连通域,设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B，则称B为单连通区域，否则称为多连通区域。,单连通域,多连通域,27,举例,指出下列不等式中点z在怎样的点集中变动？这些点集是不是单连通区域？是否有界？,28,1.2 复变函数,复变函数的定义,29,映射(函数)的概念,1.映射的定义:,30,31,2.两个特殊的映射,32,且是全同图形.,33,34,根据复数的乘法公式可知,35,(如下页图),36,将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.,37,以原点为焦点,开口向左的抛物线.(图中红色曲线),以

9、原点为焦点,开口向右的抛物线.(图中蓝色曲线),38,函数的极限,1.函数极限的定义:,注意:,39,定理一,与实变函数的极限运算法则类似.,2.极限计算的定理,40,定理二,证,根据极限的定义,(1)必要性.,41,(2)充分性.,42,证毕,说明,43,例1,证(一),44,根据定理二可知,证(二),45,46,例2,证,47,根据定理二可知,48,函数的连续性,1.连续的定义,49,定理三,例如,50,定理四,51,例3,证,52,1.3导数(微分),1.导数的定义,53,在定义中应注意:,54,例1,解,55,例2,解,56,57,2.可导与连续,函数 f(z)在 z0 处可导则在 z

10、0 处一定连续,但函数 f(z)在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.,证,证毕,58,3.求导法则,由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.,求导公式与法则:,59,60,4.微分的概念,复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.,定义,61,特别地,62,解析函数的概念,设函数f(z)在点z0及z0某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域B内的每一点解析，则称f(z)在区域B内是解析函数

11、,说明,2.称函数的不解析点为奇点,5 解析函数,例：函数,只在z=0点可导，因而在复平面上处处不解析,f(z)在点z0 无定义或无确定值；f(z)在点z0 不连续；f(z)在点z0 不可导；f(z)在点z0 可导,但找不到某个邻域在其内处处可导,由解析函数的定义和函数的求导法则可得:,（1）如果函数f（z）在区域中解析，则它在这个区域中是连续的。（2）如果f1（z）和f2（z）是区域中的解析函数，则其和、差、积、商（商的情形要求分母在内不为零）也是该区域中的解析函数。（3）如果函数=f（z）在区域内解析，而函数w=g（）在区域G内解析，若对于内的每一点z，函数f（z）的值均属于G，则函数w=

12、gf(z)是区域上复变量z的一个解析函数。（4）如果w=f（z）是区域上的一个解析函数，且在点z0 的邻域中|f（z）|0，则在点w0=f（z）G的邻域中函数f（z）的值定义一个反函数z=（w），它是复变量w的解析函数。有f（z0）=1/（w0）。,64,可导：对任何方向的，极限都存在并唯一。,复函数z沿任一曲线逼近零。,柯西黎曼方程,实数：x沿实轴逼近零。,因此，复函数的可导性是比实函数的可导性条件强得多。,Q：当u，v有偏导时，在什么补充条件下，W=f(z)也有导数？,设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D上有定义，在D内一点z=x+iy可导，有,66,柯西黎曼方程,z沿实轴

13、,y0,可导，要求二者相等,z沿虚轴,x0,67,解析函数的充分条件,注意：解析函数的实部和虚部满足C-R条件且都是调和函数（调和函数概念及证明见教材P17）,解析函数的实部和虚部通过C-R条件联系着，因此，只要知道解析函数的实部（或虚部），就能求出相应的虚部（或实部）。具体可以用以下两种方法求：（1）已知u求v，可以从全微分出发：,68,（2）已知u求v，还可以由关系，对y积分来求：当然也可以由关系 两边对x积分，类似上述过程求v。像解析函数的实部和虚部这样的两个由C-R条件联系着的调和函数u和v，称为共轭调和函数。,69,例：试证 在复平面上解析，且,证：,这四个偏导在复平面处处连续，且：

14、,所以f(z)在复平面内解析，同时,70,注：最后的求导利用P16结果,71,1.4 初等解析函数,1 指数函数,这里的ex是实指数函数,实的正余弦函数,性质：,72,三角正弦与余弦函数,将两式相加与相减,得,现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.,2 三角函数,73,三角函数,74,(注意：这是与实变函数完全不同的),sinz的零点(i.e.sinz=0的根)为z=n,cosz的零点(i.e.cosz=0的根)为z=(n+1/2),n=0,1,2,n,(4),(5),75,其它复变三角函数的定义,76,3 双曲函数,77,4 对数函数,因此,78,对数函数的基本运算性质 下

15、面等式不再成立 而应该是,79,多值函数的概念 初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的，所以我们先研究辐角函数：w=Argz函数有无穷个不同的值：其中argz表示Argz的主值：,为了研究方便起见，我们把幅角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数，每一个单值连续函数称为幅角函数在这区域内的一个单值连续分支。考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D。显然，在D内Argz的主值argz：是一个单值连续函数。对一个固定的整数k，也是一个单值连续函数。因此，w=Argz在区域D内可以分解成无穷多个单值连续函数，它们都是w=Argz在D内的单值连续分支。,我们研究下图的情形：沿负实轴的割线,

16、因此，对于幅角函数w=Argz，0和无穷远点是特殊的两点。在复平面上，取连接0和无穷远点的一条无界简单连续曲线L作为割线，得到一个区域D，其边界就是曲线L。则可以将argz分解成一些连续分支。,结论 对于幅角函数w=Argz可以分解成无穷个单值连续分支 Argz在C内上任一点（非原点）的各值之间的联系：通过作一条简单连续曲线围绕0或无穷远点，让z从某点按一定方向沿曲线连续变动若干周后，回到该点时，Argz相应地可从幅角函数的一值连续变动到它在预先指定的其它任一值，即从Argz的一个单值连续分支在该点的值，连续变动到预先指定的其它单值连续分支在该点的值。,三种对数函数的联系与区别,对数函数的每个单值连续分支都是解析的，我们也将它的连续分支称为解析分支。对数函数是一个无穷多值解析函数。我们称原点和无穷远点是对数函数的无穷阶支点（对数支点）；它们存在以下特点：1、当z绕它们连续变化一周时，Lnz连续变化到其它值；2、不论如何沿同一方向变化，永远不会回到同一个值。,90,91,5 幂函数,幂函数的基本性质,3）当a取整数n时，幂函数是一个单值函数。4）当a取1/n（n为整数）时，幂函数是一个n值函数。,92,解：,本章小结,复数 复变函数 解析函数,