数学分析课件第5章导数和微分.ppt

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1、一、导数的四则运算,2 求导法则,导数很有用，但全凭定义来计算导,四、基本求导法则与公式,三、复合函数的导数,二、反函数的导数,求导法则,使导数运算变得较为简便.,数是不方便的.为此要建立一些有效的,返回,一、导数的四则运算,在点 x0 也可导,且,推论 若 u(x)在点 x0 可导,c 是常数，则,在点 x0 也可导,且,定理 5.6 若函数 在点 x0 可导,则函数,定理 5.5 若函数 在点 x0 可导,则函数,定理 5.6 可推广到任意有限个函数相乘的情形,如,下面证明乘积公式(2),请读者自行证明公式(1).,证(2)按定义可得,记错了.,例1,解,因此,对于多项式 f 而言,总是比

2、 f 低一个幂次.,例2,解 由公式(2)，得,在点 x0 也可导，且,定理5.7 若函数 在点 x0 可导,证,由于 在点 x0 可导,因此,对 应用公式(2)和(5),得,(5),例3 求下列函数的导数：,解,同理可得,同理可得,证,定理 5.8 设 为 的反函数，在,二、反函数的导数,则 在点 可导,且,点 的某邻域内连续，严格单调,且,例4 求下列函数的导数：,单调,从而有,解,上的反函数，故,同理有,的反函数，故,上,定理 5.9,在点 x0 可,这个定理一般用有限增量公式来证明，但为了与,导，且,三、复合函数的导数,证法,为此需要先证明一个引理.,今后学习向量函数相联系，这里采用另一种新的,引理 f 在点 x0 可导的充要条件是:在 x0 的某邻,证 设 f(x)在点 x0 可导,且令,得 f(x)在点 x0 可导,下面证明定理 5.9(公式(7).,根据极限,于是当 有,公式(7)改写为,连续，,根据引,理的充分性,这样就容易理解“链”的,例5,在链式法则中一定要区分,意义了.,例6,解 运用复合求导法则,分别计算如下:,例8 求下列函数的导数:,解,所以 在 处不可导.,化某些连乘、连除式的求导.,例9,解 先对函数两边取对数,得,再对上式两边求导,又得,于是得到,求导法则：,四、基本求导法则与公式,基本初等函数的导数公式：,