数列的极限、性质及运算.ppt
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1、有许多实际问题的精确解,仅仅通过有限次的算术运算是求不出来的,而必须通过考察一个无限变化过程的变化趋势才能求得,由此产生了极限的理论和方法。例如,设有一圆,首先作内接正6边形,把它的面积记为A1;再作内接正12边形,其面积记为A2;在做正24边形,把它的面积记为A3;循环下去,每次边数加倍,一般地把内接正62n-1边形的面积记为An(n=1,2,3,.)这样就得到一系列内接正多边形的面积:A1,A2,A3,An,它们构成一列有次序的数。N越大,内接正多边形与圆的差别就越小,从而以An作为圆的面积的近似值也越精确。但无论n取多么大,An终究只是多边形的面积,而不是圆的面积。设想n无限增大,即内切
2、正多边形的边数无限增加,在这个过程中,从图形上看,内接正多边形将无限接近于圆;因此从数值上看,内接正多边形的面积An将将无限接近于一个确定的值,这个数值就是所要求的圆的面积。在数学上,将这个确定的数值称为上面这列有次序的数(称作数列)A1,A2,A3,An,的极限。可以看到,正是这个数列的极限精确地表达了圆的面积。,设xn=f(n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列,x1,x2,xn,称为一个数列.xn称为数列的第n项,也称为通项,数列也可表示为xn或xn=f(xn),第一节数列的极限,一、数列的极限,例.,看数列1.,从直观上看,这个数列当n越来越大时,对应的
3、项xn会越来越接近于1,或者说“当n趋向于无穷大时,数列xn趋近于1.如何用精确的,量化的数学语言来刻划这一事实?,注意到,实数a,b的接近程度由|ab|确定.|ab|越小,则a,b越接近.因此,要说明“当n越来越大时,xn越来越接近于1”就只须说明“当n越来越大时,|xn1|会越来越接近于0”.而要说明“|xn1|越来越接近于0”则只须说明“当n充分大时,|xn1|能够小于任意给定的,无论多么小的正数”就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数,当n充分大时,|xn1|比还小,由于是任意的,从而就说明了|xn1|会越来越接近于0.,事实上,给,很小,只须n1000 即可,数列中,从第1001项
4、开始,以后各项都有,要,也即在这个,又给,则从第10001项开始,以后各项都有,一般,任给 0,不论多么小,只须,.因此,从第,项开始,以后各项都有,.因是任意的,这就说明了当n越来越大时,xn会越来越接近于1.,要使,定义:设xn是一个数列,a是一个常数,若 0,正整数N,使得当nN时,都有|xna|,则称a是数列xn当n无限增大时的极限,或称xn收敛于a,记作,这时,也称xn的极限存在,否则,称xn的极限不存在,或称xn是发散的.,定义中的“当n无限增大时,xn无限接近于某个确定的常数a”的意思是:当n无限增大的过程中,xn与常数a的距离|xna|可以任意小,要它有多小就有多小。以数列xn
5、=为例,如果要|xn0|=小于,那么只要n100,即从第101项其,以后的一切项均能满足这个要求;如果要|xn0|1000,即从第1001项起,以后的一切项均能满足这个要求;一般地,如果要|xn0|10k,即从第10k+1项起,以后的一切项均能满足这个要求。这就是“当n无限增大时,无限接近于常数0”的含义。,比如,对于刚才的数列1.有,若 0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|,例1.若xn=c(常数),则,若 0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|,证:,0.由于|xn1|=|c c|=0,取N=1,当nN时,有|xnc|=0,故,即常数的极限就是常数本身.,例2.已知,证明数列
6、,的极限为1.,证:,欲使,即,只要,因此,取,则当,时,就有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时,就有,故,故也可取,也可由,N 与 有关,但不唯一.,不一定取最小的 N.,说明:,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,反设xn收敛,但极限不唯一,设ba,取,即,xna,且xn b,(n),ab.,第二节数列极限的性质及收敛准则,一、数列极限性质,定理1.若数列收敛,则其极限唯一.,由极限定义,1,当nN1时,N2,当nN2时,取N=maxN1,N2,则当nN时,上两式同时成立.,从而当 nN时,有,矛盾,故极限唯一.,若 0
7、,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|,几何意义:,数列的有界性.,定义:设有数列xn=f(n),若M0,使得|xn|M,n=1,2,.则称数列xn有界,否则,称xn无界.,由于|xn|MMxnM xnM,M.,故,所谓xn有界,就是xn要全部落在某个对称区间M,M内.,看图,例1.xn=(1)n有界,而xn=n2无界.,x,1,1,x,0,1,9,4,x1,x2,x3,0,x2n,x2n-1,设xna(n),则对n=1,2,有|xn|M,证:,由定义,对=1,存在自然数N,当nN时,有|xna|1,故|xn|xna|+|a|1+|a|.取M=max|x1|,|x2|,|xN|,1+|a|
8、,M,若 0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|,定理2.若xn收敛,则xn有界.,定理2的逆命题不成立,即:有界数列未必收敛。如xn=(1)n有界,但由定义和几何意义知(1)n是发散的.,看图,定理3.,推论2.,推论3:设有数列xn,若正整数N,当nN时,夹逼准则.,xn yn zn,证:,0,N1,当n N1时,有|xn a|.,(1),即 a xn a+(2),.设数列xn,yn,zn满足正整数N,当 n N 时,有,N2,当n N2时,有 a zn a+(3),取 N*=maxN,N1,N2,则当n N*时,(1),(2),(3)同时成立.,有,a xn yn zn a+,即|
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