弹塑性力学的数学基础.ppt

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1、第一章弹塑性力学的数学基础,在弹塑性力学中经常采用矢量和张量符号，这些符号具有简洁的优点,可以将各种力学关系用简明的数学形式表示出来。这样，就可以将大部分注意力集中在物理原理上而不是方程本身。,标量场的梯度矢量场的散度矢量场的旋度,1.1 矢量,1.1.1 标量场的梯度,假定在空间某区域定义一个标量函数，那么可以得到 别对三个坐标的导数，,其中，三个 为矢量 的分量，称为 的梯度，它描述了标量场变化最大的方向和最大的变化率,也可表示为,即,1.1.1 标量场的梯度,可以证明，垂直于 的曲面。,算子矢量 自身没有实际意义，而是一种方便运算的符号。,1.1.2 矢量场的散度,算子 与一个矢量V 的

2、点积定义为这个矢量场的散度,是一个标量；不像矢量那样有三个分量。,由于 不存在，因而点积 不能互相交换：,1.1.3 矢量场的旋度,与 的叉积可写成 的形式，称之为 的旋度。,如果 的偏导数存在，可以证明,称为 的拉普拉斯算子。,(4)泊松方程,(2)拉普拉斯方程,(1)热传导方程,1.2 常见的数学物理方程,(3)波动方程,一维热传导方程的展开形式,波动方程的展开形式,介绍与张量有关的几个记法和概念：,1.3.1 指标记法1.3.2 求和约定1.3.3 微分的记法1.3.4 符号1.3.5 符号（置换符号）1.3.6 笛卡尔张量的定义1.3.7 张量性质,1.3 张 量,指标记法,一个矢量

3、可采用不同的方式表示：,矢量的指标记法,1.3.2 求和约定,举例说明求和约定的规则。考虑下面的方程组：,作为第一步缩写，可以写成：,最后可以缩写为：,其中 称为自由标，称为哑标。,第一行,第二行,第三行,关于下标的约定可以总结为以下三条规则：1.如果在一个方程或表达式的一项中，一种下标只出现一次，则称之为“自由指标”，自由指标在表达式或方程的每一项中必须只出现一次。2.如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两次，则称之为“哑标”，它表示从1到3求和。哑标在其他任何项中可以正好出现两次，也可以不出现。3.如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数多于两次，则是错误的。,1.3

4、.3 微分的记法,矢量 的散度：,在上边的连等式中，就是一种典型的微分记法。在下标中，第一个指标表示 的分量，逗号表示对第二个指标的偏导数，第二个指标对应于相应的坐标轴，所以,1.3.3 微分的记法,同理，的梯度可作如下表示：,偏导数的记法：逗号后面紧跟一个下标 i 时，表示某物理量对 x i 求偏导数。,利用偏导数的记法，偏导数均可缩写为：,偏导数的记法,1.3.4 符号,称为Kronecker符号，也称置换算子。后一名称源于下式:,在将 作用于 时,只是将 中的 用 置换；,对于单位矢量，当 时,点积；当 时，点积。这正好与 的 分量一致，因此有,显然,运算规律,Kronecker符号,1

5、.3.5 符号（置换符号）,符号有27个元素，这些元素根据下标值规定为+1，-1，0。例如，这种定义是根据将下标交换成1，2，3自然顺序所需交换的次数而定的。若下标交换次数为偶数，则元素的值为1；若下标交换的次数为奇数，则元素的值为-1；若下标出现重复，则元素的值为0。,偶排列：有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数字,对换次数为偶数而得到的排列；奇排列：有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数字,对换次数为奇数而得到的排列。,1.3.5 符号（置换符号）,如,1.3.5 符号（置换符号）,采用图解法确定交错张量的符号。假设将数字1，2，3放在一个圆的圆周上，如果下标是按顺时针方向排列，则符号为

6、正，如果下标是按逆时针方向排列，则符号为负。,置换符号为缩写提供了另一种方法，如：,同理有,在证明时，可以省去证明冗长的中间步骤，如表达式，由于下标 必须互不相同，所以可能的组合有。因而,用同样的方法可以证明其他两项。,下面用一个例子来说明置换符号的用途：例：利用指标证明,其中 为一标量函数。,证：,对于，表达式 产生矢量的一个分量。对于，非零项为 和。所以,对于，可得到同样的结果，,得证。,1.3.6 笛卡尔张量的定义,有些量既不是矢量也不是标量。例如物体的转动惯量。引入与物体转动惯量有关的量。当坐标系转动时，此量按下式变化,引入张量的概念。如果每个笛卡尔坐标系都有 个数 与之对应，且这些数

7、当笛卡尔坐标系变到另一个时，按规律,变化则这 个数全体就称为三维空间中的二阶张量。：是 过渡到新坐标系的系数。,一阶张量：,二阶张量：,三阶张量：,张量可以有任意阶，从以上表达式中可以得出张量一般的变换规则。由于受笛卡尔坐标系的限制，所以这些张量称为笛卡尔张量。,同理可定义其它阶张量,在高等数学中有坐标的旋转变换，如下图中所示：,可以证明如下结论：,old,new,2.一个三阶张量与一个二阶张量相乘，构成一个五阶张量。证明：,则,令,所以,为五阶张量。,3.三阶张量缩并成一阶张量,证明：,因为,所以,又因为,所以,又,所以,因,则,得证。,二阶对称张量反对称张量,任意一个二阶张量，总是可以分解

8、为一个对称张量和一个分对称张量之和。张量的对称和反对称性质，可以推广到二阶以上高阶张量。,泛函和泛函的极值,泛函：函数值依赖于其它的一个或者几个函数变分法：求泛函极值的方法。泛函的极值条件：d J=02J0，则J0，泛函 J y 为极小值；2J0，则J0，泛函 为极大值。,其它对于泛函，如果y(x)由 y0(x)变到 y1(x)则 y1(x)-y0(x)叫做 y(x)在y0(x)上的变分。记作 d J=y1-y0(x),泛函极值的必要条件-欧拉方程,化简括弧中第二项,在 x=x1 和 x=x2 时，有,则,（欧拉方程）,欧拉方程仅仅是泛函极值存在的必要条件，确定泛函J 为极大值或者极小值，还需要判断其二阶变分 d 2J 大于0还是小于0。,由于在区间（x1，x2）是x的任意函数，所以上式成立的必要条件为被积函数在区间（x1，x2）内为零。,（欧拉方程）,