广义积分的概念与计算.ppt

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1、2023/9/30,宁波大学教师教育学院,1,第十一章 广义积分,主讲人：陈志勇副教授,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,2,二、无界函数的广义积分,1,常义积分,积分限有限,被积函数有界,推广,一、无穷限的广义积分,广义积分,广义积分的概念与计算,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,3,一、无穷限的广义积分,引例.曲线,和直线,及 x 轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,4,定义1.设,若,存在,则称此极限为 f(x)的无穷限广义积分,记作,这时称广义积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称广义积分,发散.,类似地,若

2、,则定义,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,5,则定义,(c 为任意取定的常数),只要有一个极限不存在,就称,发散.,无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.,并非不定型,说明:上述定义中若出现,它表明该广义积分发散.,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,6,引入记号,则有类似牛 莱公式的计算表达式:,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,7,例1.计算广义积分,解:,思考:,分析:,原积分发散!,注意:对广义积分,只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,8,例2.证明第一类 p 积分,证:当 p=1 时有,当

3、 p 1 时有,当 p 1 时收敛;p1,时发散.,因此,当 p 1 时,广义积分收敛,其值为,当 p1 时,广义积分发散.,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,9,例3.计算广义积分,解:,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,10,二、无界函数的广义积分,引例:曲线,所围成的,与 x 轴,y 轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,11,定义2.设,而在点 a 的右邻域内无界,存在,这时称广义积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称广义积分,发散.,类似地,若,而在 b 的左邻域内无界,若极限,数 f(x)在 a,b 上的广义

4、积分（也叫瑕积分）,则定义,则称此极限为函,记作,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,12,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明:,而在点 c 的,无界函数的积分又称作第二类广义积分,无界点常称,邻域内无界,为瑕点(奇点).,例如,间断点,而不是广义积分.,则本质上是常义积分,则定义,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,13,注意:若瑕点,计算表达式:,则也有类似牛 莱公式的,若 b 为瑕点,则,若 a 为瑕点,则,若 a,b 都为瑕点,则,则,可相消吗?,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,14,下述解法是否正确:,积分收敛,例4.计算广义积分,解:显然瑕点为 a

5、,所以,原式,例5.讨论广义积分,的收敛性.,解:,所以广义积分,发散.,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,15,例6.证明广义积分,证:当 q=1 时,当 q 1 时收敛;q1,时发散.,当 q1 时,所以当 q 1 时,该广义积分收敛,其值为,当 q 1 时,该广义积分发散.,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,16,例7.,解：,求,的无穷间断点,故 I 为广义,积分.,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,17,内容小结,1.广义积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,2.两个重要的广义积分,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,18,说明:(1)有时通

6、过换元,广义积分和常义积分可以互,相转化.,例如,(2)当一题同时含两类广义积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的广义积分.,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,19,(3)有时需考虑主值意义下的广义积分.,义积分收敛.,注意:主值意义下广义积分存在不等于一般意义下广,思考与练习,其定义为,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,20,解,练习1,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,21,当为k何值时，广义积分,求其最大值.,当k为何值时，这广义积分发散？又当k为何值时，这广义积分取得最小值？,收敛？,提示：,练习2,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,22,备用题 试证,并求其值.,解:,令,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,23,2023/9/30,宁波大学教师教育学院,24,作业,P.2771（2）（3）（4）P.2891（2）（3）,