广义积分储宝增高数.ppt

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1、二、无界函数的广义积分,第四节,常义积分,积分限有限,被积函数有界,推广,一、无穷限的广义积分,反常积分,(广义积分),广义积分,第五章,一、无穷限的广义积分,引例.曲线,和直线,及 x 轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,定义1.设,若,存在,则称此极限为 f(x)的无穷限广义积分,记作,这时称广义积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称广义积分,发散.,类似地,若,则定义,则定义,(c 为任意取定的常数),只要有一个极限不存在,就称,发散.,无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.,并非不定型,说明:上述定义中若出现,它表明该反常积分发散.,引入记号,则有类似牛 莱公式的计

2、算表达式:,例1.计算广义积分,解:,思考:,分析:,注意:对广义积分,只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.,例2.计算广义积分,.解,例+计算反常积分,解,例3.计算广义积分,.,例4.证明第一类 p 积分,证:当 p=1 时有,当 p 1 时有,当 p 1 时收敛;p1,时发散.,因此,当 p 1 时,广义积分收敛,其值为,当 p1 时,广义积分发散.,例5.计算广义积分,解:,练习,1.计算,2002年考研数学(一)填空3分,解,2.位于曲线,下方,x轴上方的,无界图形的面积是,解,2002年考研数学(二)填空3分,二、无界函数的广义积分,引例:曲线,所围成的

3、,与 x 轴,y 轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,(瑕积分),定义2.设,而在点 a 的右邻域内无界,存在,这时称广义积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称广义积分,发散.,类似地,若,而在 b 的左邻域内无界,若极限,数 f(x)在 a,b 上的广义积分,记作,则定义,则称此极限为函,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明:,而在点 c 的,无界函数的积分又称作第二类广义积分,无界点常称,邻域内无界,为瑕点(奇点).,例如,间断点,而不是反常积分.,则本质上是常义积分,则定义,注意:若瑕点,的计算表达式:,则也有类似牛 莱公式的,若 b 为瑕点,则,若 a 为瑕

4、点,则,若 a,b 都为瑕点,则,则,可相消吗?,下述解法是否正确:,积分收敛,例6+.计算广义积分,解:显然瑕点为 a,所以,原式,例7.讨论广义积分,的收敛性.,解:,所以反常积分,发散.,例8.证明广义积分,证:当 p=1 时,当 p 1 时收敛;p1,时发散.,当 p1 时,所以当 p 1时,该广义积分收敛,当 p1时,该广义积分发散.,例+.证明广义积分,证:当 q=1 时,当 q 1 时收敛;q1,时发散.,当 q1 时,所以当 q 1 时,该广义积分收敛,其值为,当 q 1 时,该广义积分发散.,例9.计算广义积分,.,解:,例10.计算广义积分,解,，则,所以,内容小结,1.广义积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,2.两个重要的广义积分,说明:(1)有时通过换元,广义积分和常义积分可以,互相转化.,例如,(2)当一题同时含两类广义积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的广义积分.,思考题1(选择题),解答,恒等于常数.,备用题1 试证,并求其值.,解:,令,2.,解：,求,的无穷间断点,故 I 为广义,积分.,