广义积分与含参变量的积分复习.ppt
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1、第十一章 广义积分与含参变量的积分,复习,1 广义积分,1.无穷积分(1)定义a:设函数f(x)在a,+)上有定义,且对任意Aa,f(x)在a,A上可积。若 存在,则称无穷积分 收敛,并定义否则称无穷积分发散。,1 广义积分,1.无穷积分(1)定义b:设函数f(x)在(-,b上有定义,且对任意Ab,f(x)在A,b上可积。若 存在,则称无穷积分 收敛,并定义否则称无穷积分发散。,1 广义积分,1.无穷积分(1)定义c:设函数f(x)在(-,+)上有定义,且在任意区间a,b上可积。若 与 同时存在,则称无穷积分 收敛,并定义否则称无穷积分发散。,我们得出结论:当p 1时,发散,当p1时积分有值,
2、1.无穷积分,(2)无穷积分的性质若两个无穷积分 与 都收敛,则无穷积分 也收敛,且其中k1,k2为常数。,1.无穷积分,(3)无穷积分收敛的充要条件柯西收敛原理:无穷积分 收敛的充要条件是:任给0,存在正数A0a,只要AA0,AA0,便有,1.无穷积分,(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义若 收敛,则称 绝对收敛;若 收敛,但 发散,则称 条件收敛。命题:若 收敛,则 也收敛。,1.无穷积分,(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义命题:若 收敛,则 也收敛。,(5)无穷积分收敛的判别法,无穷积分收敛的充要条件引理:若f(x)是a,+)上的非负可积函数,则 收敛的充要条件是:对一切Aa,积分
3、 有界。,(5)无穷积分收敛的判别法,定理1(比较判别法):设f(x)与g(x)在a,+)上有定义,且当xXa时有0f(x)g(x).又设f(x)与g(x)在任一区间a,b上可积,则(1)由 收敛可推出 也收敛;(2)由 发散可推出 也发散。,(5)无穷积分收敛的判别法,推论(比较判别法的极限形式):设当 xa 时,f(x)0,g(x)0,它们在任意区间a,b上都可积,且则有以下结论:(1)当0k+时,若 收敛则 收敛;(2)当0k+时,若 发散则 发散。当0k+时,两无穷级数同时收敛或同时发散。,(5)无穷积分收敛的判别法,定理2(狄利克莱判别法):设f(x)与g(x)在a,+)上有定义,并
4、考虑无穷积分设对一切Aa,积分 有界,即存在常数M0使又设函数g(x)在a,+)上单调且趋于零(当x+时),则上述无穷积分收敛。,(5)无穷积分收敛的判别法,定理3(阿贝尔判别法):设f(x)与g(x)在a,+)上有定义,并考虑无穷积分若无穷积分 收敛,且函数g(x)在 a,+)上单调有界,则无穷积分 收敛。,2.瑕积分,(1)定义a:设函数f(x)在(a,b上有定义,且f(x)在任意区间a+,b上可积,但xa+0时f(x)无界,我们称a为瑕点。若极限 存在,则称瑕积分收敛,并定义否则称瑕积分发散。,2.瑕积分,(1)定义b:设函数f(x)在a,b)上有定义,且f(x)在任意区间a,b-上可积
5、,但xb-0时f(x)无界,我们称b为瑕点。若极限 存在,则称瑕积分 收敛,并定义否则称瑕积分发散。,2.瑕积分,(1)定义c:设函数f(x)在(a,b)上有定义,且f(x)在任意区间a+,b-上可积,a与b均为f(x)的瑕点。若极限 与 都存在,则称瑕积分 收敛,并定义若上述两个极限中至少有一个极限不存在,就称瑕积分 发散。,2.瑕积分,(2)瑕积分收敛的充要条件柯西收敛原理:以a为瑕点的瑕积分 收敛的充要条件是:任给0,存在0,只要0 1,0 2,便有,2.瑕积分,(3)瑕积分的绝对收敛与条件收敛若瑕积分 收敛,则称瑕积分 绝对收敛;若瑕积分 收敛,但瑕积分 发散,则称瑕积分 条件收敛。命
6、题:若瑕积分 收敛,则 也收敛。,2.瑕积分收敛的判别法,定理4(比较判别法):设f(x)与g(x)在(a,b上有定义,且a是它们的瑕点。设当x(a,c)属于(a,b)时有0f(x)g(x),则(1)由 收敛可推出 也收敛;(2)由 发散可推出 也发散。,2.瑕积分收敛的判别法,推论(比较判别法的极限形式):若f(x)与g(x)在(a,b有定义,且f(x)0,g(x)0,并有则(1)当0k+时,若瑕积分 收敛则 收敛;(2)当0k+时,若瑕积分 发散则 发散。当0k+时,两瑕积分同时收敛或同时发散。,2.瑕积分收敛的判别法,定理(狄利克莱判别法):设积分有唯一的瑕点a,是的有界函数,g(x)单
7、调且当xa时趋于零,则积分收敛。,2.瑕积分收敛的判别法,定理(阿贝尔判别法):设积分 有唯一的瑕点a,收敛,g(x)单调有界,则积分收敛。,2 含参变量的正常积分,含参变量的积分设u=f(x,y)是a,b c,d上的一个连续函数,对任意的y c,d,y到积分值的对应形成了c,d上的一个函数。,2 含参变量的正常积分,1.连续性定理1:设二元函数f(x,y)在闭矩形域a,b c,d上连续,则参变量积分 在区间c,d上连续。即对任意的y0c,d,有,2 含参变量的正常积分,2.可积性定理2:设二元函数f(x,y)在闭矩形域a,b c,d上连续,则函数 在区间c,d上可积。且即,2 含参变量的正常
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- 关 键 词:
- 广义 积分 参变量 复习
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