常系数齐次线形微分方程.ppt

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1、二阶常系数线性微分方程,常系数齐次线性微分方程,二阶常系数齐次线性微分方程解法,n 阶常系数齐次线性微分方程解法,一、定义,n阶常系数线性微分方程的标准形式:,二阶常系数齐次线性方程的标准形式:,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式:,二、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程,得,故有,特征方程,特征根,（1）有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,（2）有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,（3）有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:,(1)写出相应的特征方程,(

2、2)求出特征方程的两个根,(3)根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解,小结,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,例2,求,的特解,解：,特征方程,通解,代入,代入,特解,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例3,三、n阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为,根据特征方程的根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解,注意,n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.,例4.,的通解.,解:特征方程,特征根:,

3、因此原方程通解为,例5.,解:特征方程:,特征根:,原方程通解:,(不难看出,原方程有特解,推广 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,解:特征方程:,即,其根为,方程通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,解:特征方程:,特征根为,则方程通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8,求,的通解,解：,通解,（三重根）,例9,求,的通解,解：,（单根）,（三重根）,四个线性无关的特解,通解,特征根为,故所求通解为,解,特征方程为,例10,例11,解,例12,解,该方程叫做无阻尼自由振动的微分方程.,由牛顿第二定律得,这是简谐振动方程,函数图形为,例13,解,这就是要找满足有阻尼的自由振动方程,方程的通解为,令,上式又可以写成,因此所求特解为,函数图形为,方程的通解为,方程的通解为,解,例,这是一个非线性微分方程，,思考题,求微分方程 的通解.,思考题解答,令,则,特征根,通解,