工程电磁场导论第三次.ppt

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1、矢量场的环量与旋涡源 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力 线是闭合的。它有以下两个特点：（1）、对于任何闭合曲面的通量积分为零；（2）、在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。引入环量与旋度的目的就在于：研究矢量场的线积分不为零这一问题。,五、矢量场的环量与旋度,（一）矢量场的环量,例：磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：上式建立了磁场与电流的关系。,引入环量概念。矢量场对于闭合曲线L的环量定义为该矢量对闭合曲线L的线积分，记为：（1)如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称 该矢量场为无旋场，又称为保守场。（2)如

2、果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量 场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。,旋度概念的提出：矢量场的环量给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，当闭合曲线L所围的面积趋于零时，矢量场对回路L的环量与旋涡源对于L所围的面积的通量成正比，即：,（二）矢量场的旋度(Rotation),J,F,n,矢量场旋度定义为：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为包含M点在内的小面元边界的环量与小面元比值极限的最大值，其方向为极限取得最大值时小面积元的法线方向，即：,根据线积分的计算公式，不难得到旋度在直角坐标系中的表

3、达式为:,利用旋度的定义式，可得到一般曲线和曲面积分之间的变换关系式，即Stokes定理 环量积分旋度的面积分,（三）、环量与旋度之间的联系Stokes定理,方向相反大小相等结果抵消,旋度的计算公式 圆柱坐标系下旋度的计算公式：圆柱坐标系下旋度的计算公式：球坐标系下的旋度计算公式,1.5 矢量场的旋度,（一）、无源场 对于矢量场A，如果在场域中每一点处恒有散度为零，即：则称A为无源场。性质一：在无源场中穿过场域V中任何一个矢量管的所有截面的通量都相等。性质二：无源场存在矢势。,六、无源场和无旋场,（二）、无旋场 对于矢量场A，如果在场域中每一点处恒有旋度为零，即：则称A为无旋场。性质一：在无旋

4、场中，A沿场域V的任何闭合路径L的环量为零。即：性质二：无旋场可以表示为某标量场的梯度场。,（三）、调和场散度和旋度都等于零的矢量场，称为调和场。根据其无旋性可得：根据其无源性可得：,引入Laplacian算子,拉普拉斯方程和泊松方程,若矢量场仅为无旋场，例如连续分布的体电荷内部，任意点的散度不为零，须引入泊松方程,对于矢量场必需考虑如下问题：（1）场的特性：矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？（2）源的特性：是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励源？（3）场的唯一性：如何唯一的确定一个矢量场？,六、Helmholtz定理,1 矢量场的Helmholtz定理 空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无源矢量场的叠加，即：其中 为无旋场，为无源场。,Helmholtz定理明确回答了上述三个问题。即任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无源场，由旋涡源激发；并且满足：另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：,证明：一个标量场的梯度必无旋，一个矢量场的旋度必无散。,正交坐标系下的梯度公式：,正交坐标系下的散度计算公式：,正交坐标系下的旋度计算公式：,