工程力学力的平移定理.ppt

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1、第四章 平面任意力系,41 力的平移42 平面任意力系向一点简化43 平面任意力系的平衡条件44 刚体系的平衡45 静定与静不定问题的概念 平面任意力系习题课,主要介绍：平面任意力系的简化、平面任意力系的平衡条件、刚体系的平衡。,平面任意力系：各力的作用线位于同一平面内，但既不汇交 于一点又不相互平行的力系叫平面任意力系。,研究方法：,平面任意力系(未知),平面汇交力系(已知),平面力偶系(已知),41 力的平移,定理：作用在刚体上的力可以平行移动到刚体上的任一点而不 改变其对刚体的作用效应，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力对新的作用点的力矩。,=,=,平移,等效,可知：平移时力的

2、大小、方向不变，M 随平移点的位置而变。,平移,42 平面任意力系向一点简化,一、平面任意力系向一点简化,平面任意力系,平面汇交力系：,平面力偶系：,平面汇交力系合力：,平面力偶系合力偶矩：,MO,的作用线过O点，称 为平面任意力系的主矢。,称 MO 为平面任意力系对简化中心 O 点的主矩。,=,平面任意力系,平面汇交力系：,平面力偶系：,平面汇交力系合力：,平面力偶系合力偶矩：,MO,结论：平面任意力系向一点简化，可得到一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，力的作用线通过简化中心 O点，这个力偶的力偶矩等于该力系对简化中心 O 点 的主矩。,可知：O 点位置不同时，主矢 不变，主矩 MO

3、 不同。,=,MO,取坐标系 Oxy，则,O,主矢的解析式：,对O 点主矩的解析式：,=,固定端(插入端)的约束力：,如：,雨 棚,车 刀,认为固定端受一平面任意力系作用；,将平面任意力系向 A 点简化，得,一力：,一力偶：MA,限制物体移动。,限制物体转动。,固定端约束力：,二、平面任意力系简化的最后结果,简化结果：,1.平面任意力系简化为一个力偶,若,此时原力系简化为一力偶，其力偶矩为，且为一常量。,即 MO 与 O 点位置无关(力偶对平面内任一点的矩都相同)。,2.平面任意力系简化为一个合力,若,合力的作用线过O 点。,原力系简化为一合力，且,若,原力系简化为一力，一力偶，可进一步简化为

4、一力。,MO,作用线通过 A 点，,3.平面任意力系平衡的情形,若,则平面任意力系平衡。,MO=FRd,43 平面任意力系的平衡条件,一、平面任意力系平衡方程的基本形式,简化结果：主矢，主矩 MO,若 时，力系向其他点简化也均为零，,力系一定平衡充分性；,反之，若要力系平衡，、MO 必须为零必要性。,平面任意力系的平衡条件：、MO 均为零。,即：,而：,得平衡方程,力系各力在 x 轴上投影的代数和为零；,力系各力在 y 轴上投影的代数和为零；,力系各力对任一点之矩的代数和为零。,二、平面任意力系平衡方程的二力矩形式与三力矩形式,其中A、B为任意两点，但 A、B 连线不得垂直于 x 轴(或 y

5、轴)。,1.二力矩形式,2.三力矩形式,其中 A、B、C 为任意三点，但 A、B、C 三点不得共线。,当平面任意力系平衡方程用于平面汇交力系时：,对力系汇交点总有：,只需,当平面任意力系平衡方程用于平面力偶系时：,总有：,只需,三、平面平行力系的平衡条件,平面平行力系：力系中各力作用线位于同一平面且相互平行。,设力系各力平于 y 轴：,即总有：,只需,可求解二各未知量。,则各力在 x 轴上的投影均为零，,也可用二力矩形式：,其中 A、B 连线不得与各力平行。,例1 支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连接，并各以铰链A、D连接于铅直墙上，如图所示。已知杆AC=CB，杆DC与 水平线成45角；载

6、荷F=10kN，作用于B处。设梁和杆的 重量忽略不计，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。,1.取AB杆为研究对象；,3.选坐标系，列平衡方程,解：,2.作受力图；,SFx=0 FAx+FC cos45=0,SFy=0 FAy+FC sin45 F=0,SMA(F)=0 FC cos45l F2l=0,4.求解,FC=28.28kN,FAx=20kN,FAy=10kN,例2 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重P=2200 N，吊车 D、E连同吊起重物各重F1=F2=4000 N。已知：l=4.3 m，a=1.5 m，b=0.9 m，c=0.15 m，a=25。试求A处的约束力，以及拉索 BH

7、 的拉力。,解：,1.取伸臂AB为研究对象,2.受力分析如图,3.选如图坐标系，列平衡方程,SFx=0 FAx FB cosa=0,SFy=0 FAyF1P F2+FB sina=0,SMA(F)=0,4.联立求解,FB=12456 NFAx=11290 NFAy=4936 N,例3 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2 kN，F2=1.5 kN，M=1.2 kNm，l1=1.5 m，l2=2.5 m。试求支座A及支座B的约束力。,1.取梁为研究对象,解：,2.受力分析如图,3.选坐标系，列平衡方程,SFx=0 FAx F2 cos60=0,SFy=0 FAy+FB F1F2 sin60=0,

8、SMA(F)=0,FBl2M F1l1F2 sin60(l1+l2)=0,4.求解,FB=3.56 kN FAx=0.75 kN FAy=0.261k N,例4 如图所示为一悬臂梁，A 为固定端，设梁上受分布集度为 q 的均布载荷作用，在自由端 B 受一集中力F 和一力偶 M 作用，梁的跨度为 l。试求固定端的约束力。,2.受力分析如图,1.取梁为研究对象,解：,3.选坐标系，列平衡方程,SFx=0 FAx F cos45=0,SFy=0 FAy ql F sin45=0,SMA(F)=0,MA qll/2 F cos45l+M=0,4.求解,FAx=0.707 F FAy=ql+0.707F

9、,解：,1.取梁AB为研究对象,2.受力分析如图,其中F=qAB=300 N，作用在AB的中点C处。,3.选坐标系，列平衡方程。,SFx=0 FAx=0,SFy=0 FAy F+FD=0,SMA(F)=0,例5 梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度(即梁的每单位长度上所受的力)q=100 N/m，力偶矩 M=500 Nm。长度AB=3m，DB=1m。试求活动铰支座 D 和固定铰支座A的约束力。,例5 梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度(即梁的每单位长度上所受的力)q=100 N/m，力偶矩 M=500 Nm。长度AB=3m，DB=1m。试求活动铰支座 D 和固

10、定铰支座A的约束力。,3.选坐标系，列平衡方程。,SFx=0 FAx=0,SFy=0 FAy F+FD=0,SMA(F)=0,4.联立求解,FD=475 NFAx=0 FAy=175 N,例6 某飞机的单支机翼重 G=7.8 kN。飞机水平匀速直线飞行时，作用在机翼上的升力 F=27 kN，力的作用线位置如图示，其中尺寸单位是mm。试求机翼与机身连接处的约束力。,解：,1.取机翼为研究对象,2.受力分析如图,3.选坐标系，列平衡方程。,SFx=0 FAx=0,SFy=0 FAy G+F=0,SMA(F)=0,4.联立求解,FAx=0 N FAy=-19.2 kNMA=-38.6 kNm(顺时针

11、）,例7 塔式起重机如图所示。机架重G1=700 kN，作用线通过塔架的中心。最大起重量G2=200 kN，最大悬臂长为12 m，轨道AB的间距为4 m。平衡荷重G3到机身中心线距离为6 m。试问：(1)保证起重机在满载和空载时都不翻倒，求平衡荷重G3应为多少?(2)若平衡荷重G3=180kN，求满载时轨道A，B给起重机轮子的约束力？,解：,1.取起重机为研究对象,2.受力分析如图,SMB(F)=0,3.列平衡方程,SMA(F)=0,G3(6+2)+G12G 2(12-2)FA4=0,G3(6 2)G12G 2(12+2)+FB4=0,4.起重机不翻倒时平衡荷重G3,(1)满载时(G2=200

12、 kN)不绕B点翻倒,应有FA0，即,临界情况下为FA=0，可得G3min,8G3min+2G110G 2=0,G3min=75 kN,(2)空载时(G2=0)不绕A点翻倒,应有FB0，即,临界情况下为FB=0，可得G3max,2G1 4G3max=0,G3max=350 kN,有 75 kN G3 350 kN,5.取G3=180kN，求满载(G2=200 kN)时轨道A，B对起重机的约束力FA、FB。,=210 kN,=870 kN,45 静定与静不定问题的概念,汇交力系,未知力数：,平衡方程：,平行力系,未知力数：,平衡方程：,F1、F2,FA、FB,任意力系,未知力数：,平衡方程：,F

13、Ax、Fay、MA,静定问题：未知力数 静力平衡方程数,汇交力系,未知力数：,平衡方程：,平行力系,未知力数：,平衡方程：,、F3,、FC,F1、F2,FA、FB,任意力系,未知力数：,平衡方程：,FAx、FAy、MA,、FB,在静定问题上再加上多余约束，则成为静不定问题。,此时仅由静力平衡方程不能求解全部未知量。,静不定问题(超静定问题)：未知力数 静力平衡方程数,须建立补充方程求解，在材料力学中研究。,注意：实际中多余约束可提高结构的强度、刚度、稳定性，并 不多余。多余约束只是针对结构平衡而言是多余的。,如：,物系外力：物系外其他物体对物系的作用力叫物系外力。,刚体系：由若干个刚体通过约束

14、所组成的系统。又称为物系。,44 刚体系的平衡,物系内力：物系内部各物体之间的相互作用力叫物系内力。,如：主动力、约束力。,如：左图中AC杆与CE杆在C铰链处的相互作用力。,物系平衡的特点：,物系静止,物系平衡时，其中每一物体也处于平衡状态，满足各自的 平衡条件。,对每一物体都可列出相应的独立平衡方程，其总和即为物 系具有的独立平衡方程的数目。,设物系由 n 个物体组成，每个物体均受平面任意力系作用，其平衡方程数为 3，则物系的独立平衡方程数为 3n 个，可求解 3n 个未知量。,当物系中某些物体受平面汇交力系或平面平行力系作用时，其平衡方程数应相应减少。,若物系未知量数不多于物系的独立平衡方

15、程数时，为静定问题，否则为静不定问题。,未知力数：,平衡方程数：32=6,FAx、FAy、MA、FCx、FCy、FB,未知力数：,为静定问题。,FAx、FAy、MA、FCx、FCy、FBx、FBy,平衡方程数：32=6,为静不定问题。,对静定问题，可列出每一物体的平衡方程，再组成方程组联立求解，但常要进行较繁的数学运算。,在解题时，若能选取适当的研究对象，列出必须足够的平衡方程，可使运算过程简便。,求解物系平衡问题的一般方法：,例7 如图所示为曲轴冲床简图，由轮I，连杆AB和冲头B组成。A，B两处为铰链连接。OA=R，AB=l。如忽略摩擦和物体 的自重，当OA在水平位置，冲压力为 F 时系统处

16、于平衡状 态。求(1)作用在轮I 上的力偶矩 M 的大小；(2)轴承O处的 约束反力；(3)连杆AB受的力；(4)冲头给导轨的侧压力。,解：,1.取冲头为研究对象,受力分析如图,列平衡方程,求解得：,2.取轮 I 为研究对象,受力分析如图,列平衡方程,求解得：,例8 三铰拱桥及尺寸如图所示，由左右两段用铰链C连接，又用 铰链A，B与基础相连接。已知每段重G=40 kN，重心分别 在D，E处，且桥面受一集中载荷F=10 kN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时各铰链中的力。,解：,1.取AC段为研究对象,受力分析如图,列平衡方程,SFx=0 FAx FCx=0,SFy=0 FAy G FCy=0,S

17、MC(F)=0,FAx6 FAy 6+G5=0,2.取BC段为研究对象,受力分析如图,列平衡方程,SFx=0 FBx+FCx=0,SFy=0 FBy+FCy G F=0,SMC(F)=0,FBx6+FBy6 F3 G5=0,列平衡方程,SFx=0 FAx FCx=0,SFy=0 FAy G FCy=0,SMC(F)=0,FAx6 FAy 6+G5=0,列平衡方程,SFx=0 FBx+FCx=0,SFy=0 FBy+FCy G F=0,SMC(F)=0,FBx6+FBy 6 F3 G5=0,联立求解得：,FAx=-FBx=FCx=9.17 kN,FAy=42.5 kN FBy=47.5 kN F

18、Cy=2.5 kN,此时求解过程较繁。,若先取整体为研究对象,受力分析如图,列平衡方程,SFx=0 FAx+FBx=0,SFy=0 FAy+FBy G G F=0,SMA(F)=0,FBy12 F9 G1 G11=0,再取BC段为研究对象,受力分析如图,列平衡方程,SFx=0 FBx+FCx=0,SFy=0 FBy+FCy G F=0,SMC(F)=0,FBx6+FBy6 F3 G5=0,FBy=47.5 kN,FAy=42.5 kN,FBx=-9.17 kN,FCx=9.17 kN,FCy=2.5 kN,FAx=9.17 kN,例9 组合梁AC和CE用铰链C相连，A端为固定端，E端为活动铰

19、链支座。受力如图所示。已知：l=8 m，F=5 kN，均布载荷 集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小M=5 kNm。试求固定端A，铰链C和支座E处的约束力。,解：,1.取CE段为研究对象,2.受力分析如图,3.列平衡方程,SFy=0,SMC(F)=0,4.联立求解,FE=2.5 kN，FC=2.5 kN,6.列平衡方程,SFy=0,SMA(F)=0,7.联立求解,FA=12.5 kN，MA=30 kNm,5.取AC段为研究对象，受力分析如图,例10 刚架结构的尺寸和载荷如图所示。试求A，B支座及C铰链处的约束力。,解：,1.取刚架整体为研究对象,受力分析如图,列平衡方程,SFx=0 FAx+

20、FBx+qb=0,SFy=0 FAy+FBy G=0,SMB(F)=0,求解得：,2.取刚架左半部为研究对象,受力分析如图,列平衡方程,SFx=0 FAx+FCx+qb=0,SFy=0 FAy+FCy=0,SMC(F)=0,求解得：,一、力的平移定理,1.一力偶,二、平面任意力系向一点简化的最后结果,本章小结：,平面任意力系习题课,是力系简化的理论基础。,平移,2.一合力,3.平衡,基本形式,A、B连线不得x 轴,A、B、C不得共线,三、平面一般力系的平衡方程,平面平行力系的平衡方程,A、B 连线不得与各力平行,二力矩形式,三力矩形式,二力矩形式,若力系各力平于 y 轴：,平面汇交力系的平衡方

21、程：,平面力偶系的平衡方程：,四、静定与静不定问题的概念,五、物系平衡问题,静不定问题：未知力数 独立的静力平衡方程数,静定问题：未知力数 独立的静力平衡方程数,物系平衡时，其中每一物体也处于平衡状态。,求解物系平衡问题的一般方法：,六、解题步骤与技巧,1.解题步骤 选研究对象 画受力图（受力分析）选坐标、取矩心、列平衡方程 求解未知数,2.解题技巧与注意事项 选研究对象应能应联系已知力和未知力；不要漏掉固定端约束处的约束力偶；选坐标轴最好与未知力或，取矩心最好选在未知力 的汇交点上；充分发挥二力杆的直观性；灵活使用合力矩定理；力偶矩M=常数，它对任一点之矩都相等。,G2,FA,G1,G3,G

22、,FB,B,3.0 m,2.5 m,1.8 m,2.0 m,例11 一车载式起重机，车重G1=26kN，起重机伸臂重G2=4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重G3=31 kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置。试求车子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。,八、例题分析,G,解：,1.取汽车及起重机为研究对象,2.受力分析如图,3.选坐标系，列平衡方程,SFy=0,FA+FB G G1 G 2 G3=0,SMB(F)=0,4.联立求解,5.由不翻倒的条件：FA0,得：,最大起吊重量为 Gmax=7.5 kN,例12 A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为G，通过绳子绕 过滑轮

23、水平地连接于杆AB的E点，各构件自重不计。试求B处的约束力。,解：,1.取整体为研究对象,受力分析如图,列平衡方程,SFx=0 FAx+FBx FE=0,求解得：FAx=2.5G,FBx=1.5G FBy=2G,SMC(F)=0 G5r FAx2r=0,2.取杆AB为研究对象,受力分析如图,列平衡方程,SMA(F)=0,FBx2r FBy2r FEr=0,联立求解，得：,求解得：,例13 已知各杆均铰接，B端插入地内，F=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，各杆重不计。求AC 杆所受的力？B点的约束力？,解：,1.取整体为研究对象,受力分析如图,选坐标如图，取矩心B点，列平衡方程,SFx

24、=0 FBx=0,SFy=0 FBy F=0,SMB(F)=0 MB FBy1=0,MB=1000 Nm,2.再研究CD杆,受力如图,取E为矩心，列平衡方程,求解得：,SME(F)=0,FCAsin451 F1=0,例14 已知：F=100N，AC=1.6m，BC=0.9m，CD=EC=1.2m，AD=2m，AB水平，ED铅垂，BD垂直于斜面。求杆BD的受力FBD以及A支座约束力？,解：1.研究整体,画受力图,选坐标列平衡方程,SMB(F)=0 FA2.5 F1.2=0,SFx=0,FAxsinaFAycosa+F sina=0,求解得：,FAx=136 N FAy=48 N,2.研究AB杆，受力如图,SMC(F)=0,FBsina0.9 FAy 1.6=0,求解得：,例15 已知：连续梁上，F=10kN，Q=50kN，CE 铅垂，不计梁重 求：A、B和D处的约束力。,（看出未知数多余三个，不能先整 体求出，要拆开）,解：1.研究起重机,画受力图,列平衡方程,SMH(F)=0,FG2 Q 1F 5=0,求解得：,FG=50 kN,3.再研究整体,2.再研究梁CD,SMC(F)=0,FD6 FG 1=0,FD=8.33 kN,SMA(F)=0,FB3+FD12 F10 Q6=0,FB=100 kN,SFy=0 FAy+FB+FD F Q=0,FAy=48.33 kN,