大数定律和中心极限定理例题与解析.ppt

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1、第五章 大数定律和中心极限定理(简介),第一节 大数定律,P,P,定义5.4(独立随机变量序列)设 是一个随机变量序列，若对任何n，序列中前n个随机变量 都相互独立，则称 为独立随机变量序列(简称 相互独立)。,说明：1.辛钦大数定律中“服从相同分布”仅是指分布类型相同。,2.这两个大数定律实质上是指出：n个满足某种条件的相互独立随机变量的算术平均近似于一个常数。,定理5.5(贝努利大数定律)（教材p146）设A在n重贝努利试验中发生 次，p=P(A)，则对任何0，有,说明：贝努利大数定律是说，当n很大时，故可用事件发生的频率近似代替事件发生的概率。,第二节 中心极限定理,推论(德莫佛-拉普拉

2、斯中心极限定理)（教材p150）设 B(n，p)(0p1)，则对任何x，有,例3(2001年数学四考研试题十一题)一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.(2)=0.977，其中(x)是标准正态分布的分布函数),例2(2002年数学四考研试题)设随机变量 相互独立，则根据列维-林德贝格中心极限定理，当n充分大时，近似服从正态分布，只要().有相同的数学期望(B)有相同的方差(C)服从同一指数分布(D)服从同一离散型分布,例1,已知正常男

3、性成人血液中,每一毫升白细胞,数平均是 7300,均方差是 700.,利用切比雪夫不,等式估计每毫升白细胞数在 5200 9400 之间的,概率.,解,设每毫升白细胞数为,依题意,所求概率为,由切比雪夫不等式,即每毫升白细胞数在 5200 9400 之间的概率不,小于 8/9.,例2,在每次试验中,利用切比雪夫不等式求:,何值时,概率至少为 0.90?,解,则,在切比雪夫不等式中取,则,依题意,解得,中,至少为 0.90.,例1,设有30个电子元件,它们的寿命均服从参数为0.1的指数分布(单位:小时),每个元件工作相互独立,求他们的寿命之和超过350小时的概率.,解,由莱维中心极限定理,即他们

4、的寿命之和超过350小时的概率为0.1814,标准正态分布表,他们的寿命之和超过350小时,例2,一加法器同时收到20个噪声电器Vk(k=1,2,20),设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,10)上,服从均匀分布。记,求PV105的近似值,解,E(Vk)=5,D(Vk)=100/12(k=1,2,20).,近似服从正态分布N(0,1),由莱维中心极限定理,例3 对敌人的防御地段进行100次炮击,在每次炮击中,炮弹命中颗数的数学期望为2,均方差为1.5,求在100次炮击中,有180颗到220颗炮弹命中目标的概率.,解,设Xk为第k次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,100),在100次炮击

5、中炮弹命中的总颗数,Xk相互独立，且E(Xk)=2,D(Xk)=1.52(k=1,2,100),由莱维中心极限定理,有180颗到220颗炮弹命中目标的概率,例4 某工厂有200台同类型的机器,每台机器工作时需要的电功率为Q千瓦,由于工艺等原因,每台机器的实际工作时间只占全部工作的75%,各台机器工作是相互独立的,求:(1)任一时刻有144至160台机器正在工作的概率.(2)需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不少于0.99.,解(1)设随机变量X表示200台任一时刻正在工作的机器的台数，,则 X B(200,0.75).,由棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,有,(1)任一时刻有144至160台机器正在工作的概率.,查标准正态函数分布表，得,(2)设任一时刻正在工作的机器的台数不超过m,则,