二维随机变量及其分布.ppt

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1、第五章 二维随机变量及其分布,二维随机变量及分布函数二维离散型随机变量二维连续型随机变量边缘分布随机变量的独立性条件分布,1.1 二维随机变量及分布函数,一般地，如果两个变量所组成的有序数组即二维变量（X，Y），它的取值是随着实验结果而确定的，那么称这个二维变量（X，Y）为二维随机变量，相应地，称（X，Y）的取值规律为二维分布,一、二维随机变量,5.1 二维随机变量及分布函数,设(X,Y)是二维随机变量，则称 F(x,y)=PXx,Yy 为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数,其中x,y 是任意实数.,二、联合分布函数,定义：,注：联合分布函数是事件 Xx与Yy同时发生(交)的概率,5

2、.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,几何意义,如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面随机点的坐标,那么联合分布函数 F(X,Y)在(X,Y)的函数值就是随机点(X,Y)落在,以为(x,y)右上角拐点的无穷矩形内的概率.,5.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,性质,对任意的x,y,有 0F(x,y)1;F(x,y)关于x、关于y 单调不减；,5.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,性质,F(x,y)关于x、关于y 右连续,5.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,性质,5.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,性质,随机点(X,Y)落在矩形区域,

3、的概率,5.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,性质,注：任何一个二维联合分布函数F(x,y)必具有以上五条基本性质，还可证明具有以上五条性质的二元函数F(x,y)一定是某个二维随机变量的分布函数.即这五条性质是判定一个二元函数是否为某个随机变量的分布函数的充要条件,例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为,求常数A，B，C.,解:,5.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,若二维离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij,则称PXxi,Yyjpij，(i,j1,2,)，为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.可记为

4、(X,Y)PXxi,Y yj,pij,(i,j1,2,)，,1.二维离散型随机变量定义,若二维随机变量(X,Y).如果它可能取的值是有限个或可数多个数组对(xi,yj),(i,j1,2,)，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。,2.联合分布律,5.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,联合分布律的性质(1)(2),二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:,0pij1,i,j1,2,5.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,例2,一口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,2.从这,袋中任取一球后,不放回袋中,再从袋中任取一球.设每,次取球时,袋中各

5、个球被取到的可能性相同.以X,Y分别,记第一次、第二次取得的球上标有的数字.,求:,(1)X,Y的分布律;,(2)P(XY).,解:,P(X=1,Y=2)=(1/3)1=1/3,P(X=2,Y=1)=(2/3)(1/2)=1/3,P(X=2,Y=2)=(2/3)(1/2)=1/3,5.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,(2),P(XY)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2),=0+(1/3)+(1/3)=2/3,由于事件XY=X=1,Y=1X=2,Y=1X=2,Y=2,且三个事件互不相容,因此,有放回抽取方式,P(X=1,Y=2)=2/9,

6、P(X=2,Y=1)=2/9,P(X=2,Y=2)=4/9,P(X=1,Y=1)=1/9,5.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,若(X,Y)的分布律为PX=xi,Y=yj=pij,i,j=1,2,则(X,Y)的分布函数为,其中和式是对一切满足xix,yjy求和。,分布律与分布函数的关系,5.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,例 若(X,Y)的分布律如下表，,Y,X,0 1,0 1/2 0,1 0 1/2,求(X,Y)的分布函数。,解,5.3 二维连续型随机变量,一、二维连续型随机变量及联合密度函数,1.定义：设(X,Y)的分布函数为F(x,y

7、),若存在一非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y有,则称(X,Y)是连续型二维随机变量,函数 f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的(联合)概率密度函数.,2概率密度f(x,y)的性质,5.3 二维连续型随机变量,一、二维连续型随机变量及联合密度函数,(3).若f(x,y)在点(x,y)连续，则有,(4).设G是xy平面上的一个区域,点(X,Y)落在G内的概率为:,在几何上z=f(x,y)表示空间的一个曲面。P(X,Y)G的值等于以G为底,以曲面z=f(x,y)为顶面的柱体体积。,5.3 二维连续型随机变量,一、二维连续型随机变量及联合密度函数,例3:设二维随机变量(X,Y)具有概

8、率密度,求：,(1)常数c；,(2)P(XY).,因此解得,(1)由性质,得到,c=8,解:,5.3 二维连续型随机变量,一、二维连续型随机变量及联合密度函数,(2)P(XY)=,=,=,=,=,5.3 二维连续型随机变量,二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数,(一)均匀分布 定义:设G是平面上的有限区域,面积为A,若二维 随机向量(X,Y)具有概率密度.,则称(X,Y)在G上服从均匀分布。,5.3 二维连续型随机变量,二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数,例：设二维随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布,其中G=0 x1,|y|x,求(X,Y)的联合密度函数.,解：,5.3

9、 二维连续型随机变量,二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数,例：若(X,Y)在D1上服从均匀分布，D1为x轴、y轴及直线y=2x+1所围。求:(X,Y)的概率密度。,解：,5.3 二维连续型随机变量,二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数,(二)二维正态分布 定义:若(X,Y)具有概率密度,其中-0,20,|1,则称(X,Y)服从参数为1,2,21,22,的二维正态分布，记为:(X,Y)N(1,2,21,22,).,求：（1）PX0,(2)PX1,(3)PY y0,1.随机变量（X，Y）的概率密度为,x,y,D,答:PX0=0,练习,解,续解.,x+y=3,5.4 边缘分布,一、

10、边缘分布函数,1边缘分布 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，称 P(Xx)=P(Xx,Y+)(-x+)为X的边缘分布函数,并记为Fx(x).,2.公式.由于Fx(x)=P(XxY+)=PXx,Y+=F(x,+)同理有 FY(y)=F(+,y).,5.4 边缘分布,一、边缘分布函数,例:,试从联合分布函数F(x,y)，求关于X,关于Y的边缘分布函数FX(x),FY(y).,解:,由边缘分布函数的定义我们有,5.4 边缘分布,一、边缘分布函数,例:,已知(X,Y)的分布函数为,求FX(x)与FY(y).,5.4 边缘分布,二、离散型二维随机变量的边缘分布律,1.边缘分布律 设(

11、X,Y)为离散型二维随机变量,其联合分布律为 PX=xi,Y=yj=pij,i,j=1,2,称PX=xi,Y+(i=1,2,)为X的边缘分布律。,2.计算,以后将 记为 pi.,5.4 边缘分布,二、离散型二维随机向量的边缘分布律,X的边缘分布为,Y的边缘分布为,5.4 边缘分布,二、离散型二维随机向量的边缘分布律,1,x1 xi,求(X,Y)关于X和Y的边缘分布律。,解:X的可能取值为1,3且 PX=1=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0+PX=1,Y=4=0.17+0.05+0.21=0.43 因此关于X的边缘分布律为,同样的方法求得关于Y的边缘分布律为,例联合分布律的为：,5.4 边缘

12、分布,三、连续型随机变量(X,Y)的边缘密度函数,边缘密度函数 设二维连续型随机变量(X,Y)有联合密度函数f(x,y),分别称,为(X,Y)关于X的边缘密度函数；,为(X,Y)关于Y的边缘密度函数.,说明,例:(X,Y)的联合密度函数为求：边缘概率密度fx(x),fY(y)。,解：（1）X 的边缘密度函数为,Y 的边缘密度函数为,例:设(X,Y)在单位圆D(x,y)|x2+y21/2)。解:(X,Y)的联合密度函数为：,先求fx(x):当-1x1时,（2）,例 设(X,Y)N(1,2,12,22,)，即(X,Y)具有概率密度,求边缘概率密度fx(x),fY(y).,即XN(1,12)，YN(

13、2,22).且不依赖参数.,可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布能不能确定联合分布？,解 关于X的边缘密度函数为,所以，,同理可得,不同的联合分布，可有相同的边缘分布。,可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布,5.5 随机变量的独立性,随机变量相互独立是概率论中非常重要的概念,它是随机事件相互独立的推广.设X，Y为随机变量.如果对于任意实数x,y，事件Xx、Yy相互独立的，即 PXx,Yy=PXxPYy 那么称X，Y相互独立,特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于,定义 设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个边缘分布函数分别为FX(x),FY(y

14、)，如果对于任意的x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。,对任意i,j,对任意x,y,一、二维随机变量独立性的定义,在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用.,在X与Y是相互独立的前提下，,边缘分布可确定联合分布！,实际意义,补充说明,例:试证明例1中的两个随机变量X与Y的独立性.解:(X，Y)的分布函数为,边缘分布函数分别为,容易看出，对于任意实数x，y都有 F(x，y)=Fx(x)FY(y),所以X与Y是相互独立的,例,设(X,Y)的联合分布律为,证明:X,Y相互独立.,证 X,Y的边缘

15、分布律为,由于 p11=(2/20),而p1.=(1/4),p.1=(2/5),易见p11=p1.p.1,i,j=1,2,3.因此,由定义知X与Y独立.,设二维随机变量X与Y的联合密度函数为 问(X,Y)是否相互独立？分析：为判断X与Y是否相互独立，只需看边缘密度函数之积是否等于联合密度函数.,所以X的边缘密度函数为,所以Y 的边缘密度函数为,故X与Y不相互独立,例:设随机变量(X,Y)的概率密度函数为,试证X和Y相互独立.,解,于是有 f(x,y)=fX(x)fY(y)所以X和Y相互独立.,5.5 随机变量的独立性,四、独立性推广的一些定义,分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。事实上，

16、对n维随机变量(X1,X2,Xn)，F(x1,x2,xn)P(X1 x1,X2 x2,Xn xn)称为的n维随机变量(X1,X2,Xn)的分布函数，或随机变量X1,X2,Xn的联合分布函数。,1.5 随机变量的独立性,四、独立性推广的一些定义,定义.若(X1,X2,.Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,.Xn)为n维离散型的，称 PX1=x1,X2=x2,.Xn=xn,(x1,x2,.xn)Rn为n维随机变量(X1,X2,.Xn)的联合分布律。,1.5 随机变量的独立性,四、独立性推广的一些定义,定义.n维随机变量(X1,X2,.Xn)，如果存在非负的n元函数f

17、(x1,x2,.xn)使对任意的n元立方体,则称(X1,X2,.Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,.xn)为(X1,X2,.Xn)的概率密度。,1.5 随机变量的独立性,四、独立性推广的一些定义,独立性的概念推广至高维随机变量的情形 定义:设(X1，X2，Xn)为n维随机变量，其分布函数为F(x1，x2，xn)，关于xi的边缘分布函数Fxi(xi)，若对于任意实数x1，x2，xn有,则称X1，X2，Xn是相互独立的。,设(X,Y)的概率密度为(1)求常数c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度.,练习,1.6 条件分布,一、离散型随机变量的条件分布律,设(X,Y)是二维离散型随机

18、变量,其分布律为 PX=xi,Y=yj=pij,i,j=1,2,.(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为 PX=xi=pi i=1,2,.PY=yj=pj j=1,2,.设pi0,pj0，考虑在事件Y=yj已发生的条件下事件X=xi发生的概率,即 X=xi|Y=yj,i=1,2,.的概率,由条件概率公式,1.6 条件分布,一、离散型随机变量的条件分布律,条件概率具有分布律的特性(1).PX=xi|Y=yj0；,1定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定 的j，若PY=yj0，则称,为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。,1.6 条件分布,一、离散型随机变量的条件分布律,同理，对

19、于固定的i，若PX=xi0，则称,为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律。,2.条件分布函数,同理，,X,Y,-1 1 2,0 1/12 0 3/12 3/2 2/12 1/12 1/12 2 3/12 1/12 0,试分别求Y|X=0及X|Y=-1的条件分布律,例 二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为,解,X|Y=-1,0 3/2 2,P 1/6 2/6 3/6,Y|X=0,1 1 2,P 1/4 0 3/4,p.1=p(Y=-1)=1/12+2/12+3/12=3/6,P1.=p(Y=0)=1/12+0+3/12=2/6,1.6 条件分布,二、连续型随机变量条件分布的定义,设(X,Y)

20、是二维连续型随机变量,这时由于对任意x,y有PX=x=0,PY=y=0,因此不能直接用条件概率公式引入条件分布函数PXx|Yy.下面我们用极限的方法来处理.给定y,设对于任意固定的正数,Py-Yy+0,于是对于任意x有,上式给出了在任意y-Yy+下X的条件分布函数,现在我们引入以下的定义.,1.6 条件分布,二、连续型随机变量条件分布的定义,1.条件分布函数的定义：给定y,设对于任意实数x,若极限,存在,则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数,记为PXx|Y=y或记为FX|Y(x|y).,2.公式：设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度为f(x,y).若在点(x,y)处f(x,y)连续,且fY(y)0,则有,1.6 条件分布,二、连续型随机变量条件分布的定义,1.6 条件分布,二、连续型随机变量条件分布的定义,3.条件概率密度 定义,同理，,称为在Y=y条件下X的条件概率密度，且满足概率密度的两个性质。,称为在X=x条件下X的条件概率密度，且满足概率密度的两个性质。,例1:设(X,Y)服从二维正态分布 N(1,2,12,22,),求在X=x的条件下,Y的条件密度函数fY|X(y|x).解:(X,Y)的密度函数为,由上前面的例题知道,所以X=x条件下Y的条件概率密度为,这正是正态分布,