高等数学第九章(三重积分).ppt

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1、,第九章 重积分,三 重 积 分,三 重 积 分,一、三重积分的概念,1定义:,2物理意义:,二、三重积分的性质,1.线性性质：,2.可加性：,4.单调性：若 在上，则,3.的体积：,5估值性质：,的体积，则在 上至少存在一点，使得,6.中值定理：设函数 在闭区域 上连续，是,则,7.奇偶对称性：,三、三重积分的计算方法,1利用直角坐标计算,（1）“先一后二”法,则,（2）“先二后一”法,其中 是竖坐标为 的平面截 闭区域所得到的一个,平面闭区域，则,若 为 在 面上的投影区域,若,2利用柱面坐标计算,若,3利用球面坐标计算,若,则,则,四、三重积分的解题方法,计算三重积分主要应用直角坐标、柱

2、面坐标和球面坐标,三种坐标计算。通常要判别被积函数 和积分区域,所具有的特点。如果被积函数,积分区域 的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果,被积函数，则可采用先二后一法计算；如果,被积函数，积分区域 为柱或 的投影,是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备，,则采用直角坐标计算。三重积分计算的解题方法流程图如下：,利用球面坐标计算,先一后二的方法,Yes,No,No,Yes,转化为三次积分,先二后一的方法,求D1及截面面积,求,确定,上顶曲面 下顶曲面,为柱或 投影为圆域,利用柱面坐标计算,确定,上顶曲面 下顶曲面,利用直角坐标计算,Yes,No,1,2,3,11,12,解题方法流

3、程图,五、重积分的应用,1几何应用,2物理应用,（1）质量,（2）质心，,（3）转动惯量,空间立体 的体积:,曲面的面积:,六、典型例题,解:由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为,解:（如图）在平面 上的投影域.,的上顶曲面 为，,即：。,下顶曲面 为。,于是，得,【例3】计算三重积分。其中 是由曲面,与平面，及 所围成的闭区域。,分析 由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一”、柱面,坐标和球面坐标计算的特点，所以，本题考虑利用直角坐标,来计算，即按照框图中线路1 11的方法计算。,解:(1)求（如图）在平面 上的投影区域为,(2)确定上顶曲面 及下顶曲面。,(3)转化为先对 后对

4、的三次积分计算：,因为当 时满足，,。因此,分析 由于积分区域 在 坐标面上的投影区域为圆域,且被积函数中含有，所以可采用柱面,坐标计算，即按照框图中线路1 12的方法计算比较简单。,解：积分区域 的如图所示。,在柱面坐标下,故有,被竖坐标为 的平面所截的平面闭区域为圆域,故本题利用直角坐标系中“先二后一”的方法，即按照框图中,面上的投影区域为圆域，,所以本题也可采用柱面坐标计算，即按框图中线路1 12的方法计算。,解法1：利用“先二后一”方法计算。,由于，,线路3的方法来计算比较简便；考虑到积分区域 在 坐标,分析 由于被积函数 只与变量 有关，且积分区域,其中，故,解法2：利用柱面坐标计算

5、。,在柱面坐标下,故有,注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法,来计算，但“先二后一”法相对简便。,分析 同上题的分析，本题可考虑用直角坐标系中的“先二后一”法和柱面坐标方法进行计算。,解法1：利用“先二后一”方法计算。,因,由于当 时，；,而当 时，。,故需用平面 将积分区域 划分为两部分：,其中,于是，得,解法2：利用柱面坐标计算。,在柱面坐标下,故有,注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法,来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。,分析 由于积分区域 是由球面所围成的球域，且被积函数,线路2的方法计算比较简单。,在球面坐标系下，,中含有，故本题利用球面坐标计算，即框图

6、中,解：积分区域 的图形如图。,故有,分析 由于积分区域 是由两个球面及平面所围成的球壳体，故,本题利用球面坐标计算，即框图中线路2的方法计算比较简单。,解：积分区域 的图形如图。,在球面坐标系下,故有,计算，即框图中线路2和线路112的计算方法。但由于被积,又满足框图中线路3的条件，故亦可用“先二后一”法来求解。,解法1：利用球面坐标计算。,用圆锥面 将 分成两部分,分析 由于 在 平面上的投影区域为圆域（如图），且,的边界曲面是球面，故很容易联想到用球面坐标和柱面坐标,函数 而 的截面面积 又非常容易求,因此，,其中,于是，得,解法2：利用柱面坐标计算。,由于 在 平面的投影区域；,故在柱

7、面坐标下，,于是有,解法3：用“先二后一”法计算。,用平面 将积分区域 划分为两部分：，其中,于是，得,注：从上面三种解法的计算过程中不难发现，虽然此题可用三种方法来求解，但其中的“先二后一”法最为简便。,【例10】设，计算，,分析 由于积分区域 关于 面对称，而函数,关于变量 为奇函数，所以，又，,故本题可利用对称性及积分的性质计算。,解：,【例11】*计算三重积分。其中 为：,分析 由于被积函数中含有绝对值，所以应首先考虑如何去掉,绝对值注意到积分区域 关于三个坐标面均对称，同时被积,可将所求的三重积分简化为如下积分,其中 为 在第一卦限内的区域。而积分 可在直角,解：设,函数 关于 都为偶函数，故由三重积分的对称性结论，,坐标系下采用先对 后对 的“先二后一”的方法计算。,在 投影区域为：,由于积分区域 关于三个坐标面均对称，同时被积函数,注：若本题用球面坐标法计算，尽管积分限很简单，但被积,函数的积分却不易求得。,关于 都为偶函数，故由三重积分的对称性结论，得,分析 本题是三重积分的计算、变上限积分求导和求极限的,综合题目。由于积分区域 为圆柱体,故应首先利用柱面坐标,将三重积分 转化成积分变上限的函数，然后求导，最后,再利用洛必达法则求极限。,解:由柱面坐标得,从而有；于是,型,