高等数学微分方程.ppt

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1、1,一阶微分方程的,习题课(一),一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,解法及应用,第十二章,2,一、一阶微分方程求解,1.一阶标准类型方程求解,关键:辨别方程类型,掌握求解步骤,2.一阶非标准类型方程求解,(1)变量代换法,(2)积分因子法,四个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程,3,例1.求下列方程的通解,提示:(1),故为分离变量方程:,通解,4,方程两边同除以 x 即为齐次方程,令 y=u x,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.,化为,5,方法 1 这是一个齐次方程.,方法 2 化为微分形式,故这是一个全微分方程.,

2、6,例2.求下列方程的通解:,提示:(1),令 u=x y,得,(2)将方程改写为,(贝努里方程),(分离变量方程),原方程化为,7,例3.,设F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在(,+),内满足以下条件:,(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;,(03考研),(2)求出F(x)的表达式.,解:(1),所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:,8,(2)由一阶线性微分方程解的公式得,于是,9,二、微分方程的应用,1.建立数学模型 列微分方程问题,建立微分方程(共性),利用物理规律,利用几何关系,确定定解条件(个性),初始条件,边界条件,2.解微分方程问题,3.分析解所包含

3、的实际意义,10,思考:能否根据草图列方程?,例4.已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.,提示:设曲线上的动点为 M(x,y),令 X=0,得截距,由题意知微分方程为,即,定解条件为,此点处切线方程为,它的切线在纵,11,二阶微分方程的,习题课(二),二、微分方程的应用,解法及应用,一、两类二阶微分方程的解法,第十二章,12,一、高阶微分方程的解法,1.可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,13,例1 求微分方程 的通解,提示:令,则方程变为,14,例2 求解,提示:令,则方程变为,积分得,利用,再解,并利用,定常数,15,2.二阶线性常系数微分方

4、程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,特征根法,待定系数法,16,17,5.求以,为通解的微分方程.,提示:由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,18,特征根:,例1.解初值问题,提示:,故通解为,设特解:,代入方程定 A,B,得,得,19,例2.,且满足方程,提示:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,20,特征根:,齐次方程通解:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思 考,若(7)中非齐次项改为,提示:,原方程通解为,特解设法有何变化?,21,例4.,求质点的运动规,上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比(比例系数,提示:,两边对 s 求导得:,牛顿第二定律,为 k),已知一质量为 m 的质点作直线运动,作用在质点,二、微分方程的应用,22,有特,而对应齐次方程有解,微分方程的通解.,解:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,一阶线性非齐次方程,1.设二阶非齐次方程,补充题,23,故,再积分得通解,复习:一阶线性微分方程通解公式,24,解,代入原方程,原方程的通解为,