高等数学II(微积分龚德恩范培华)31导数的概念.ppt

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1、1,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数思想最早由法国,数学家 Ferma 在研究,极值问题中提出.,英国数学家 Newton,第三章 导数与微分,2,3.1 导数的概念,第三章 导数与微分,3.2 求导法则,3.3 基本导数公式与高阶导数,3.4 函数的微分,3.5 导数在经济学中的简单应用,3,3.1 导数的概念,一、导数产生的背景,二、导数的定义,三、导数的几何意义,五、函数的可导性与连续性的关系,四、单侧导数,4,一、导数产生的背景,变速直线运动的速度,设描述质点运动位

2、置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,自由落体运动,物理背景,5,平面曲线上切线的概念,割线MQ,切线MT,切点,曲线的切线斜率,数学背景,6,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,(当 时),割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,7,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.,共性？,8,二、导数的定义,9,由定义求导数（三步法）,10,11,k 0为常数.,如果函数 f(x)在点 x0 处可导,反之是否成立？,不成立！,12,导数的几何意义,13,x 轴、或不存在,反映出点 x0 处的导数值也是三种情况。,y,O,x,x0,y

3、=c,f(x0)=0,y,O,x,f(x0)=,x0,O,x,y,x0,y,O,x,x0,f(x0)不存在,f(x0)不存在,切线平行于x 轴：,切线垂直于x 轴：,无切线：,无切线：,曲线 y=f(x)在点 x0 处的切线可能平行于x 轴、垂直于,14,瞬时速度,切线斜率,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,15,16,先求导、后代值！,17,解:,即,通常说成：常数的导数为零.,18,练习 求函数,的导数.,解:,即,类似可证得,和差化积

4、,等价无穷小,或重要极限,19,等价无穷小代换,解:,20,例如，,21,解:,等价无穷小代换,22,等价无穷小替代,故,解:,23,24,三、导数的几何意义,25,解:,即,故点(3,9)的切线方程为：,即,点(3,9)的法线方程为：,26,解:,27,四、单侧导数,28,连续不一定可导！,判断可导性:,用导数定义！,29,解,30,逆否命题是？,五、函数的可导性与连续性的关系,可导必连续！,31,解,32,f(x)在 x=0 处可导,从而,f(0)=1,f(x)在 x=0 处连续,f(0)=a.,例11.,解:,33,由可导性：,故 b=1,此时函数为,34,35,求,解:方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,练习1 设,36,内容小结,1.导数的实质:,3.导数的几何意义:,4.可导必连续,但连续不一定可导;,5.已学求导公式:,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,6.判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,