高等数学(同济第六版)课件第七章微分方程总结.ppt

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1、微分方程部分总结,一、基本概念,1.微分方程。2.微分方程的解。3.微分方程的解、通解、特解。4.初始条件、初值问题。5.微分方程的积分曲线。,可分离变量的方程：可化为g(y)dy=f(x)dx,解法,二、一阶微分方程的解法,2.齐次方程：,解法:设,可化为,解法:设,3.一阶线性微分方程,（1）通解为,（2）常数变异法,（3）积分因子法,4.伯努利(Bernoulli)方程,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,化为一阶线性微分方程.,三、可降阶的高阶微分方程,2.不显含x型的.,3.不显含y型的.,四、高阶线性微分方程,1.解的结构,定理1 如果函数 与 是方程(1)的两个解,那么

2、 也是(1)的解.（是常数）,定理3 设y*是非齐次线性方程(2)的特解，Y是齐次线性方程(1)的通解,则 y=Y+y*是非齐次线性方程(2)的通解。,定理4 设 分别是方程(3)与(4)的特解,则 是方程,的特解。,定理2：若 与 是方程,则 就是方程(1)的通解.,的特解,的两个线性无关,五、二阶常系数线性微分方程的解法,2.以 为一个特解的二阶常系数齐次,一、填空题,1.曲线族 所满足的一阶微分方程是_,微分方程为_,3.微分方程,的通解为_,4.当n满足 _时，,为贝努利方程。,综合练习,5.微分方程,的通解为_,的一个特解形式是_。,1.微分方程,（A）可分离变量的方程（B）线性方程

3、（C）伯努利方程（D）齐次方程,是（）,二、选择题,B,2.微分方程,D,3.函数y=Cx与微分方程,（A）是通解(B)是特解,的关系为_。,C,（C）是解但即不是通解也不是特解(D)不是解,4.方程 的一个特解具有形式(),B,三、试解下列各题,1.求微分方程,满足y(0)=2的特解.,2.求微分方程,使其在点(0,2)与直线x-y+2=0相切.,的积分曲线方程,证明若f(x)在某不同两点处的函数值为0，,四、设f(x)是二阶可微函数，且,则f(x)在该两点之间恒为零。,故f(x)=0,1.求通过点(1,2)的曲线方程，使此曲线在 1,x上所形成的曲边梯形面积的值是此曲线段终点的横坐标 x 与纵坐标 y 乘积的二倍减去4,五、应用题：,解 设所求曲线为y=f(x),由题意,2.求通过点(1,1)的曲线方程，使此曲线上任意,点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点法线,在x轴上截距乘积的二倍。,解 设所求曲线为y=f(x),在点(x,y)处的法线斜率：,法线方程：,法线在x轴上截距：,3.有一弹性系数为k=8(千克/米）的弹簧，其上端固定，下端挂一重19.6千克的物体，达到平衡位置，现使物体受一向下的外力F(t)=16cos4t(千克）,求物体在任一时刻的位移和速度（假设物体有向上的初速度2米/秒，且阻尼力忽略不计）,解,弹簧的恢复力,