高等代数多项式.ppt

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1、高等代数,高 等 代 数,Higher Algebra,湖南大学数学与计量经济学院,多项式,推荐教材：,高等代数简明教程(上、下册)蓝以中著,高等代数(上、下册)丘维声著,高等代数学(第2版)姚慕生、吴泉水著,推荐习题集：,高等代数精选题解 杨子胥著,高等代数中的典型问题与方法李志慧、李永明著,高等代数题解精粹 钱吉林著,多项式,第一章 多项式,绪论与准备知识,一、复 数,复数的概念,复数的实部与虚部；模与幅角,复数的三角表示，欧拉公式,代数基本定理,的根,准备知识,二、数 域 的 概 念,在有理数范围内不能进行因式分解，但在实域内就可以分解。,在实数范围内没有根，但在复数域内就有一对共轭复根

2、。,1、数的认识过程,自然数,整数,有理数,实数,复数,2、数的范围对问题的影响,N Z Q R C,多项式,1 数环和数域,1 数环和数域,数是数学中的一个基本概念，人们对数的认识经历了一个长期的发展过程，由自然数到整数、有理数，然后是实数到复数。数学中的许多问题都和数的范围有关，数的范围不同，对同一问题的回答可能也不相同。例如,在实数范围内没有根，但在复数域内就有一对共轭复根。,在有理数范围内不能进行因式分解，但在实域内就可以分解。,多项式,1 数环和数域,我们通常考虑的数的范围主要包括全体实数、全体有理数以及全体复数等，它们具有一些不同的性质，但也有很多共同的性质，在代数中经常将具有共同

3、性质的对象统一进行讨论。,一个数集中，数的加、减、乘、除运算称为数的代数运算。,若数集P中任何两个数做某一运算后的结果仍然在这个数集P中，则称该数集P对这个运算是封闭的。,自然数集N对加、乘运算封闭，对减、除不封闭。整数集Z对加、减、乘运算封闭，对除不封闭。有理数集Q、实数集R、复数集C对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都封闭。,多项式,1 数环和数域,根据数集对运算的封闭情况，可以得到两类数集：数环和数域。,一、数环,定义1：若P是由一些复数组成的非空集合，若数集P对加、减、乘三种运算都封闭，即对a，bP，总有a+b，a-b，abP，则称数集P是一个数环。,例如：整数集Z、有理数集Q、实

4、数集R、复数集C都是数环。,例 1 除了以上数环外，是否还有其他数环？有没有最小数环？,例 2 一个数环是否一定包含0元？除零环外，是否还有只包含有限个元素的数环？,多项式,1 数环和数域,例 3 证明,是包含,的最小数环。,二、数域,定义2：若P是由一些复数组成的集合，其中包含0和1，如果数集P对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都封闭，则称数集P是一个数域。,定义3：若P是一个数环，如果 数集P内含有一个非零数 对a，bP，且b0，有a/b P，则称数集P是一个数域。,例如：有理数集Q、实数集R、复数集C都是数域。,多项式,1 数环和数域,例 4 证明,是一个数域。,例 5 设,证明P2

5、，P是一个数域，而且P是包含P1和P2的最小数域。,例 6 证明任何数域都包含有理数域Q。,例 7 在Q与R之间是否还有别的数域?R与C之间呢？,例 8 设F1和F2是两个数域，证明：1）F1F2是一个数域；2）F1F2是数域的充分必要条件是F1F2或F2F1。,多项式,2 一元多项式的定义和运算,2 一元多项式的定义和运算,一、一元多项式的定义,定义1：设 x 是一个文字(或符号)，n 是一个非负整数，表达式其中a0，a1，an全属于数域P，称为系数在数域 P 中的一元多项式，或简称为数域 P 上的一元多项式。,定义1在以下两方面推广了中学的多项式定义：这里的x不再局限为实数，而是任意的文字

6、或符号。多项式中的系数可以在任意数域中。,常数项，或称零次项,称为首项，其中首项系数an0,多项式,2 一元多项式的定义和运算,例如：,是Q上的一元多项式。,是R上的一元多项式。,是C上的一元多项式。,而,都不是多项式。,定义2：如果在多项式f(x)与g(x)中，除去系数为零的项外，同次项的系数相等，那么就称多项式 f(x)或 g(x)相等，记为f(x)=g(x),多项式,2 一元多项式的定义和运算,定义3：设非负整数 n 称为多项式 f(x)的次数，记为,例如：,几类特殊的多项式：零次多项式：次数为0的多项式，即非零常数。零多项式：系数全为0的多项式，即f(x)=0。对零多项式不定义次数，因

7、此，在使用次数符号时，总假定f(x)0。首一多项式：首项系数为1的多项式。,多项式,2 一元多项式的定义和运算,二、多项式的运算,定义4：设是数域P上次数分别为n和m的多项式(不妨假设mn)，则多项式f(x)和g(x)的和，差为：当mn时，设bm+1=bn=0。多项式f(x)和g(x)的乘积为：,多项式,2 一元多项式的定义和运算,多项式的运算(加、减、乘)满足以下运算规律：,加法交换律：f(x)+g(x)=g(x)+f(x)加法结合律：f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+g(x)+h(x)乘法交换律：f(x)g(x)=g(x)f(x)乘法结合律：f(x)g(x)h(x)=f(x)g(x)

8、h(x)乘法对加法的分配律：f(x)g(x)+h(x)=f(x)g(x)+f(x)h(x)乘法对减法的分配律：f(x)g(x)-h(x)=f(x)g(x)-f(x)h(x),多项式,2 一元多项式的定义和运算,三、多项式的次数定理,定理1：设 f(x)0，g(x)0，则 当 f(x)g(x)0时，有,多项式,2 一元多项式的定义和运算,推论1：f(x)g(x)=0当且仅当f(x)=0或 g(x)=0。,由推论2可知，一元多项式满足乘法的消去律。,推论2：若f(x)g(x)=f(x)h(x)，且f(x)0，则 g(x)=h(x)。,定义5：记P x=数域P上所有一元多项式全体，由于P x对多项式

9、的加、减、乘法封闭，故称P x为数域P上的一元多项式环。,若记Pn x=数域P上所有次数小于n的一元多项式全体+零多项式，那么Pnx是数域P上的一元多项式环吗？,带余除法：对于P x中的任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)0，则一定存在P x中的多项式q(x)，r(x)使得 f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立，其中 或者r(x)=0，并且这样的q(x)和r(x)是唯一确定的。,多项式,3 整除的概念和性质,3 整除的概念和性质,一、带余除法,例 1 用带余除法，求g(x)除 f(x)所得的商式和余式，其中,商式,余式,多项式,3 整除的概念和性质,二、多项式的整除性,定义1：设

10、f(x)，g(x)P x，若存在h(x)P x使得 f(x)=g(x)h(x)则称 g(x)整除 f(x)，记为g(x)|f(x)。否则称g(x)不能整除 f(x)，记为g(x)|f(x)。,定义2：设f(x)，g(x)P x，当g(x)|f(x)时，g(x)称作f(x)的因式，f(x)称作g(x)的倍式。,多项式,3 整除的概念和性质,当 g(x)0 时，带余除法给出了整除性的一个判别法。,定理1：对任意的 f(x)，g(x)P x，其中g(x)0，则g(x)|f(x)的充要条件是g(x)除f(x)的余式r(x)=0。,例 3 设f(x)，g(x)，h(x)P x，其中h(x)0。证明：h(

11、x)|(f(x)-g(x)当且仅当f(x)与g(x)除以h(x)所得的余式相等。,例 2 试求多项式 整除 的条件。,多项式,3 整除的概念和性质,三、整除的性质,性质1(a)对任意的 f(x)P x，有 f(x)|f(x)；(b)对任意的 f(x)P x，有 f(x)|0；(c)对任意的 f(x)P x，a 0，有 a|f(x)；,性质2 对任意的f(x)，g(x)P x，若f(x)|g(x)，且g(x)|f(x)那么f(x)=cg(x)和g(x)=df(x)，其中c，d为非零常数。,性质3 对任意的f(x)，g(x)，h(x)P x，若f(x)|g(x)，且g(x)|h(x)，那么f(x)

12、|h(x)。(整除的传递性),多项式,3 整除的概念和性质,性质4 对任意的f(x)，g(x)，h(x)P x，若h(x)|f(x)，且h(x)|g(x)，那么h(x)|(f(x)g(x)。,性质5 对任意的f(x)，gi(x)P x，i=1,2,r，若f(x)|gi(x)那么对任意的ui(x)P x，i=1,2,r，有 f(x)|(u1(x)g1(x)+u2(x)g2(x)+ur(x)gr(x),性质7 对任意的f(x)P x，cP且c 0，有f(x)|cf(x)。,称作多项式g1(x),g2(x),gr(x)的一个组合,性质6 对任意的f(x)，g(x)P x，若 f(x)|g(x)，则对

13、任意的 h(x)P x，有f(x)|h(x)g(x)。,多项式,3 整除的概念和性质,例 4 设g1(x)g2(x)|f1(x)f2(x)，1)证明：若f1(x)|g1(x)，f1(x)0，则g2(x)|f2(x)；2)若 g1(x)|f1(x)，是否有 g2(x)|f2(x)?,多项式的根与因式分解会因数域的扩大而改变。,问题：数域P上的多项式 f(x)与 g(x)的整除性是否会因为 数域的扩大而改变？,多项式,4 最大公因式,4 最大公因式,一、两个多项式的最大公因式,定义1：对任意的f(x)，g(x)P x，若存在h(x)P x，使得 h(x)|f(x)，h(x)|g(x)，则称h(x)

14、是f(x)和g(x)的一个公因式。,定义2：对任意的f(x)，g(x)P x，d(x)是多项式f(x)和g(x)的一个公因式。若对f(x)和g(x)的任意一个公因式h(x)，都有h(x)|d(x)，则称d(x)是多项式f(x)和g(x)的最大公因式。,多项式,4 最大公因式,所要考虑的问题：,(1)任何两个多项式是否都有最大公因式？(存在性问题)(2)若存在最大公因式，如何求？(求法问题)(3)最大公因式是否唯一？(唯一性问题),引理1：对任意的f(x)，g(x)P x，若其带余除法为 f(x)=q(x)g(x)+r(x)则两对多项式f(x)，g(x)和g(x)，r(x)有相同的公因式和最大公

15、因式。,由引理1知，求f(x)和g(x)的最大公因式可以转化为求g(x)和r(x)的最大公因式。,多项式,4 最大公因式,定理1：对任意的f(x)，g(x)P x，存在最大公因式d(x)，而且d(x)可以表示为f(x)和g(x)的一个组合，即存在多项式u(x)，v(x)P x，使得 d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。,定理1表明对任意的两个多项式都存在最大公因式d(x)，而且d(x)是这两个多项式的一个组合。由定理1的证明过程可以构造出求最大公因式的方法：辗转相除法。,若对不全为零的多项式，用符号(f(x)，g(x)表示首项系数为1的最大公因式，那么(f(x)，g(x)是唯一确定的

16、。,多项式,4 最大公因式,例 1 设求(f(x)，g(x)，并求u(x)，v(x)使得(f(x)，g(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。,例 2 设g(x)0，h(x)为任意多项式。证明：(f(x)，g(x)=(f(x)-h(x)g(x)，g(x),二、两个多项式互素,定义3：对任意的f(x)，g(x)P x，若(f(x)，g(x)=1，则称多项式 f(x)和 g(x)互素。,显然 f(x)和 g(x)互素，那么它们的公因式只有零次多项式。反之，f(x)和 g(x)的公因式只有零次多项式，则f(x)和g(x)互素。,多项式,4 最大公因式,定理2：对任意的f(x)，g(x)P x，多

17、项式f(x)和g(x)互素的充要条件是存在多项式u(x)，v(x)P x，使得 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1。,性质1(f(x)，h(x)=1，(g(x)，h(x)=1，则(f(x)g(x)，h(x)=1,多项式互素的性质,性质2(f(x)，g(x)=1，f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|h(x),性质3 f1(x)|g(x)，f2(x)|g(x)，且(f1(x)，f2(x)=1，则 f1(x)f2(x)|g(x),多项式,4 最大公因式,例 3 设f(x)，g(x)为两个次数大于零的多项式。证明：若(f(x)，g(x)=1，则存在多项式u(x)，v(x)满足 u(x)f(x)

18、+v(x)g(x)=1，其中 并且满足这样条件的多项式 u(x)，v(x)是唯一的。,例 4 设f(x)，g(x)为两个次数大于零的多项式。证明：多项式f(x)和g(x)不互素的充要条件是存在多项式h(x)，k(x)满足 h(x)f(x)+k(x)g(x)=0，其中。,多项式,4 最大公因式,三、多个多项式的最大公因式,定义4：设f1(x)，f2(x)，fs(x)P x，s2，若存在多项式h(x)P x，有h(x)|fi(x)，i=1，2，s，则称h(x)是多项式f1(x)，f2(x)，fs(x)的一个公因式。,定义5：设f1(x)，f2(x)，fs(x)P x，s2，若多项式d(x)是多项式

19、f1(x)，f2(x)，fs(x)的公因式，而且这组多项式的任意一个公因式都整除d(x)，则称多项式f1(x)，f2(x)，fs(x)的最大公因式。,符号(f1(x)，f2(x)，fs(x)表示这组多项式的首一最大公因式。,多项式,4 最大公因式,定理3：若f1(x)，f2(x)，fs-1(x)的最大公因式存在，则多项式f1(x)，fs-1(x)，fs(x)的最大公因式也存在，而且(f1(x)，fs-1(x)，fs(x)=(f1(x)，fs-1(x)，fs(x)进而存在多项式u1(x)，u2(x)，us(x)使得 u1(x)f1(x)+us(x)fs(x)=(f1(x)，fs-1(x)，fs(

20、x),例 5 设求(f1(x)，f2(x)，f3(x)，并求u1(x)，u2(x)，u3(x)使得 u1(x)f1(x)+u2(x)f2(x)+u3(x)f3(x)=(f1(x)，f2(x)，f3(x),多项式,4 最大公因式,定义6：设多项式f1(x)，f2(x)，fs(x)P x，s2，若(f1(x)，f2(x)，fs(x)=1，则称f1(x)，f2(x)，fs(x)互素。,定义7：设多项式f1(x)，f2(x)，fs(x)P x，s2，若对i，j=1，2，s，i j，有(fi(x)，fj(x)=1，则称f1(x)，f2(x)，fs(x)两两互素。,性质4：若f1(x)，f2(x)，fs(

21、x)两两互素，则f1(x)，f2(x)，fs(x)互素，反之则不一定成立。,多项式,5 因式分解定理,5 因式分解定理,一、不可约多项式,定义1：设p(x)是数域P上次数1的多项式，如果它不能表示成数域P上的两个次数比p(x)低的多项式的乘积，则称p(x)为数域P上的不可约多项式。否则，称为可约多项式。,由定义可知：一次多项式都是不可约多项式。多项式的可约性与系数域有关。对零多项式和零次多项式，不讨论它们的可约性。,多项式,5 因式分解定理,不可约多项式的性质,性质1 若p(x)是不可约多项式，则只有c|p(x)和cp(x)|p(x),其中cP，且c 0。,性质2 若p(x)是不可约多项式，则

22、对任意的多项式f(x)，有p(x)|f(x)或者(p(x)，f(x)=1。,性质3 若p(x)是不可约多项式，且对任意两个多项式f(x),g(x)有p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或者p(x)|g(x)。,推论1 若p(x)是不可约多项式，且p(x)|f1(x)f2(x)fs(x)，则对某个fi(x)，1is，有p(x)|fi(x)。,多项式,5 因式分解定理,例 1 设p(x)为数域P上的次数大于零的多项式。证明：若p(x)对任意多项式f(x)有p(x)|f(x)或(p(x)，f(x)=1，则p(x)是数域P上的不可约多项式。(性质2的逆命题),例 2 设p(x)为数域P上的

23、次数大于零的多项式。若对任意两个多项式f(x)和g(x)，当p(x)|f(x)g(x)时必有p(x)|f(x)或者p(x)|g(x)。证明p(x)一定是数域P上的不可约多项式。(性质3的逆命题),二、因式分解定理,定理1：数域P上任意一个次数1的多项式f(x)都可以分解成数域P上一些不可约多项式的乘积。(存在性定理),多项式,5 因式分解定理,定理2：数域P上任意一个次数1的多项式f(x)分解成数域P上一些不可约多项式的乘积 f(x)=p1(x)p2(x)pr(x)若不记零次多项式的差异和因式的排列次序，那么f(x)分解成不可约因式的乘积的分解式是唯一的。(唯一性定理)即若有两个分解式 f(x

24、)=p1(x)p2(x)pr(x)=q1(x)q2(x)qt(x)则有 r=t 适当调整qj(x)的位置后，有 pi(x)=ciqi(x)i=1，2，r,定理1和2在理论上有其重要性，但没有给出一个具体的分解方法。实际上，普遍可行的因式分解方法并不存在。,多项式,5 因式分解定理,三、标准(典型)分解式,在多项式f(x)的分解式中，把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并，于是f(x)的分解式就变成其中an是f(x)是首项系数，p1(x)，ps(x)是首项为1的不可约多项式，k1，ks为正整数，这种分解式称为f(x)的标准分解式。,多项式,5

25、 因式分解定理,由标准分解式的定义可知 每个多项式的标准分解式是唯一的。利用多项式的标准分解式可以判断一个多项式是否整除 另一个多项式。(3)利用两个多项式的标准分解式，可以直接写出它们的最 大公因式。,虽然利用标准分解式可以很方便地写出最大公因式，但是标准分解式并不容易求得，因此求最大公因式的一般方法还是辗转相除法。,多项式,5 因式分解定理,例 3 求 在Qx，Rx上的分解式。,例 4 证明：多项式f(x)与g(x)互素的充要条件是对任意的正整数n，f n(x)和gn(x)都互素。,例 5 设f(x)与g(x)为两个不全为零的多项式，n是任意整数证明：(f(x)，g(x)n=(f n(x)

26、，gn(x),多项式,6 重因式,6 重因式,定义1 不可约多项式p(x)称为f(x)的k重因式，如果pk(x)|f(x)而pk+1|f(x)。当k=1时，p(x)称为f(x)的单因式。当k 1时，p(x)称为f(x)的重因式。,如果f(x)的标准分解式为：则p1(x)，p2(x)，ps(x)分别是f(x)的k1重，k2重，ks重因式。,多项式,6 重因式,定义2 多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的一阶导数f(x)是比f(x)低一次的多项式 f(x)=annxn-1+an-1(n-1)xn-2+a1一阶导数f(x)的导数称为f(x)的二阶导数，记为f(x)。f(x)的导

27、数称为f(x)的三阶导数，记为f(x)。f(x)的k阶导数记为f(k)(x)。,一个n次多项式的导数是一个n-1次多项式，它的n阶导数就是一个常数，它的n+1阶导数就是零。,多项式,6 重因式,多项式的基本求导法则：1)(f(x)+g(x)=f(x)+g(x)2)(cf(x)=cf(x)3)(f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)4)(f m(x)=mf m-1(x)f(x),定理1 若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k 1)，则p(x)是f(x)的k-1重因式。,推论1 若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k 1)，则p(x)是f(x)，f(x)，f(k-1)

28、(x)的因式，但不是f(k)(x)的因式。,多项式,6 重因式,推论2 不可约多项式p(x)是f(x)的重因式的当且仅当p(x)是f(x)与f(x)的公因式。,推论3 多项式f(x)无重因式的充要条件是f(x)与f(x)互素。,例 1 求多项式 有重因式的条件。,例 2 用分离重因式方法求多项式在Q上的标准分解式。,多项式,7 多项式函数,7 多项式函数,一、多项式函数的定义,定义1 设f(x)P x，对任意的xP，作映射f：xf(x)P映射 f 确定了数域P上的一个函数f(x)，f(x)称为P上的多项式函数。,定义2 设f(x)P x，对任意的cP，数 f(c)=ancn+an-1cn-1+

29、a0称为当x=c时多项式函数f(x)的值，若f(c)=0，则称c为f(x)在数域P中的根或零点。,多项式,7 多项式函数,二、余数定理和综合除法,定理1(余数定理)用一次多项式x-c去除多项式f(x)，所得的余式就是一个常数，即这个多项式在x=c时的值f(c)。,问题：有没有更简单的方法确定带余除法 f(x)=q(x)(x-c)+r,利用综合除法求q(x)与r时应注意：多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零除式x+b应变为x-(-b),多项式,7 多项式函数,例 1 求用x+2除f(x)=x5+x3+2x2+8x-5的商和余式。,例 3 每个多项式f(x)都可以唯一表示为x-x0的方幂和，即

30、c0+c1(x-x0)+c2(x-x0)2+cn(x-xn)n 的形式，其中c0，c1，cn为常数。,例 4 把f(x)=x5+x3+2x2+8x-5表示为x+2的方幂和。,例 2 设f(x)=x4+2x3-3x2+4x-5，求f(1+i)。,多项式,7 多项式函数,定理2(因式定理)(x-c)是多项式f(x)的一个因式的充要条件是f(c)=0。,例 5 当a，b是什么数时，f(x)能被g(x)整除？其中f(x)=x4-3x3+6x2+ax+b，g(x)=x2-1。,三、多项式的根,定义3 若x-c是f(x)的k重因式，则称c是f(x)的一个k重根。当k=1时，c称为f(x)的一个单根。,多项

31、式,7 多项式函数,定理3(根的个数定理)Px中的n次多项式(n 0)在数域P中的根至多有n个，重根按重数计算。,定理4 设f(x)，g(x)P x，它们的次数都不超过n。若在P中有n+1个不同的数使得f(x)与g(x)的值相等。,问题：设a1，a2，an是P中n个不同的数，b1，b2，bn是P中n个任意的数，能否确定一个n-1次多项式f(x)，使得 f(ai)=bi，i=1，2，n,多项式,7 多项式函数,四、多项式相等与多项式函数相等的关系,1、多项式相等，即 f(x)=g(x)对应项的系数相等。2、多项式函数相等，即 f(x)=g(x)cP有f(c)=g(c)。,定理5 P x中两个多项

32、式f(x)和g(x)相等的充要条件是它们在P上定义的多项式函数相等。,多项式,8 复系数与实系数多项式,8 复系数与实系数多项式,问题：对于P x中的多项式多项式f(x)，它在数域P上未必有根，但在复数域C上是否有根?,定理1(代数基本定理)每个次数1的复系数多项式在复数域中有一个根。,定理2 每个次数1的复系数多项式在复数域中一定有一个一次因式。,一、复系数多项式,多项式,8 复系数与实系数多项式,定理3 任何次数1的复系数多项式在复数域中有n个根(重根按重数计算)。,推论1 复数域上任何次数1的多项式都是可约的，即复数域上，不可约多项式只能是一次多项式。,推论2 任何一个次数1的复系数多项

33、式在复数域上都能分解为一次因式的乘积，在适当排序后，这个分解是唯一的。,多项式,8 复系数与实系数多项式,一般的复系数多项式在复数域上的根与系数的关系。,设 f(x)=a0 xn+a1xn-1+an-1x+an=a0(x-1)(x-2)(x-n)则 a1/a0=-(1+2+n)a2/a0=(12+13+1n+n-1n)an/a0=(-1)n12n,例1 求一个首项系数为1的4次多项式，使它以1和4为单根，-2为2重根。,多项式,8 复系数与实系数多项式,二、实系数多项式,定理4 如果是实系数多项式f(x)的一个复根，则的共轭复数也是f(x)的根，而且与有相同的重数。,定理5 任何次数1的实系数

34、多项式在实数域上都可唯一分解为一次因式与二次因式的乘积。,推论3 Rx中不可约多项式除一次多项式外，只含有非实共轭复根的二次不可约多项式。,多项式,8 复系数与实系数多项式,推论4 实系数多项式在实数域上的标准分解式F(x)=a0(x-c1)l1(x-cs)ls(x2+p1x+q1)k1(x2+prx+qr)kr其中c1cs,p1pr,q1qr全为实数，l1ls,k1kr全为正整数，并且x2+pi+qi在实数域上是不可约的，即pi2-4qi0,例2 已知实系数多项式x3+2x2+qx+r=0有一根是试求q，r，并求该方程的解。,例3 求多项式xn-1在复数域和实数域上的因式分解。,多项式,9

35、有理系数多项式,9 有理系数多项式,一、整系数多项式的可约性,定义1(本原多项式)若非零整系数多项式f(x)的系数互素，则称f(x)是一个本原多项式。,定理1(高斯引理)两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。,定理2 一个非零整系数多项式f(x)在有理数域上可约的充要条件是它在整数环上可约。,多项式,9 有理系数多项式,推论1 设f(x)，g(x)是整系数多项式，且g(x)是本原的，如果f(x)=g(x)h(x)，其中h(x)是有理系数多项式，则h(x)一定是整系数多项式。,例1 设f(x)，g(x)是整系数多项式，若f(x)=g(x)h(x)，则h(x)是否一定是整系数多项式。,例2 设f(x

36、)，g(x)是本原多项式，且g(x)整除f(x)，证明：f(x)除以g(x)的商也是本原多项式。,多项式,9 有理系数多项式,问题：有理数域Q上的不可约多项式有什么特征？,定理3(Eisenstein定理)设f(x)=anxn+an-1xn-1+a0是一个整系数多项式，若存在素数p使得1、p|an2、p|an-1，an-2，a03、p2|a0则f(x)在有理数域上是不可约的。,例3 证明多项式f(x)=xn+3在有理数域上是不可约的。,多项式,9 有理系数多项式,例4 判断多项式f(x)=x6-10 x3+2，g(x)=5x4-6x3+12x+6在有理数域上是否可约？,例5 设f(x)是有理数域上的多项式。证明：f(x)在有理数域是不可约的当且仅当存在有理数a0，b，使得多项式g(x)=f(ax+b)在有理数域上不可约。,例6 判断多项式x4+4kx+1(k为整数)在Q上是否可约。,多项式,9 有理系数多项式,二、整系数多项式的有理根,定理4 设f(x)=anxn+an-1xn-1+a0是一个整系数多项式，若有理数r/s是它的一个有理根，其中r，s互素，那么必有s|an，s|a0，特别地，如果f(x)的首项系数an=1，那么f(x)的有理根是整数，而且是a0的因子。,例7 求方程 2x4-x3+2x-3=0 的有理根。,例8 证明 f(x)=x3-5x+1在Q上是不可约。,